La joya de la corona. El Oscilador Armónico (Básico)

Publicado el 29 julio, 2011 por | 7 comentarios

Vamos a hablar del oscilador armónico, que posiblemente sea el sistema más empleado en toda la física.  Y empezaremos con la teoría que se nos explicó en el instituto, o que te han explicado, o que te explicarán.

Simplemente queremos mostrar como se estudia un sistema físico tan elemental como este y además aprovechamos para hablar de ecuaciones del movimiento, soluciones a las mismas e interpretación de dichas soluciones.

Seguramente este es un tema conocido, pero como dijo Fermi:

«Nunca desprecies el placer de estudiar lo que ya sabes«

El ejemplo más utilizado para hablar de osciladores armónicos es el de una masa acoplada a un muelle.  Cuando estiramos o comprimimos tal muelle aparece una fuerza que se opone al desplazamiento producido.

Oscilador Armónico

Traduzcamos esto:

Se opone -> La fuerza llevará un signo menos.

Al desplazamiento producido ->  Si suponemos que el desplazamiento sólo es en una dimensión entonces trabajaremos en el eje X, y llamaremos al desplazamiento x.

Por tanto la fuerza se escribirá:   F=-kx,  donde k es una constante característica del muelle.

Pero sabemos que toda fuerza ejerce una aceleración:  F=ma, donde m será la masa acoplada al muelle (el muelle lo consideramos sin masa para simplificar).

Así pues lo que tenemos es la siguiente relación:

ma=-kx

Y la aceleración será por tanto:

a=-\dfrac{k}{m}x

Pero la aceleración mide cuanto cambia la velocidad (representado por dv) en un intervalo de tiempo pequeño (representado por dt):

\dfrac{dv}{dt}=-\dfrac{k}{m}x

Y además sabemos que la velocidad mide cuanto cambia la posición (representado por dx) por intervalo de tiempo (representado por dt), así que podremos escribir:

\dfrac{d}{dt}\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{k}{m}x

Generalmente el lado izquierdo de la anterior fórmula se escribe:

\dfrac{d}{dt}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d^2x}{dt^2}

Esto es simplemente notación, lo que significa es que tenemos que calcular dos veces las variaciones en el tiempo de las magnitudes que nos interesan, en este caso la posición x.

Con esto la relación del oscilador armónico queda:

\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\dfrac{k}{m}x

¿Qué dimensiones tiene la relación k/m? 

(Para entender esto de las dimensiones de las magnitudes se recomienda leer la entrada sobre las constantes fundamentales)

Utilizaremos la expresión   a=-(k/m)x.

Para hallar las dimensiones tenemos que escribir:  |a|=-|(k/m)||x|

Las dimensiones de a (que se mide en m/s2) son LT^-{2}.

La dimensión de x es de longitud, L.

Por tanto:

LT^{-2}=|\dfrac{k}{m}|L

Así, tenemos que:   |\dfrac{k}{m}|=T^{-2}=\dfrac{1}{T^2}, es decir, tiene dimensiones de la inversa del tiempo al cuadrado.  Por lo tanto podemos  llamar a esta combinación:

\omega^2=\dfrac{k}{m}

Siendo \omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}, y esto es evidente que tendrá dimensiones de 1/T.  Y además es constante, ya que k es una constante propia del muelle y m la masa de la partícula.  Así que \omega es una característica propia del oscilador.

Por lo tanto la forma final de la fórmula que hemos ido trabajando será:

\dfrac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2 x

O escrito de otro modo:

\dfrac{d^2x}{dt^2}+\omega^2 x=0

Y esto es una ecuación diferencial.  Y es la ecuación que nos dice cómo se comporta la posición de la partícula estudiada en el tiempo, por eso la llamamos la ecuación del movimiento.  Cualquier cosa cuya ecuación del movimiento sea de la forma anterior se comporta como un oscilador armónico.

Solución de la ecuación del moviento:

Lo que necesitamos es saber qué posición ocupa la partícula en cada instante.  Para eso necesitamos encontrar qué forma matemática tiene la función x=x(t), que es justamente la posición de la partícula en cada instante.  Así que hay que resolver la ecuación.

Lo que vamos a hacer es escribir una función x(t) y a comprobar que efectivamente resuelve la ecuación diferencial.  La solución que proponemos es:

x=sin(\omega t)

Derivadas otra vez:

Si miramos en una tabla de derivadas, esos sitios donde nos dicen como se calcula la derivada de una función, encontramos estas reglas:

\dfrac{d}{dx}sin(nx)=ncos(nx)

Es decir, el seno de un número por la variable nos da al derivarlo, la constante multiplicando al coseno del mismo número por la variable.

Y \dfrac{d}{dx}cos(nx)=-nsin(nx)

Entonces hagamos la derivada de esta función:

Función:  x=sin(\omega t)

Derivada una vez respecto a la variable t:

\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dsin(\omega t)}{dt}=\omega cos(\omega t)

Derivada segunda vez respecto a la variable t:

\dfrac{d^2x}{dt^2}=\dfrac{d}{dt}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\omega cos(\omega t))=\omega\dfrac{dcos(\omega t)}{dt}=\omega\left(-\omega sin(\omega t)\right)=-\omega^2 sin(\omega t)=-\omega^2 x

Asombroso, da justamente lo mismo que el lado derecho de la ecuación diferencial que nos da el movimiento de la partícula, así que hemos acertado con la solución. 😉

¿Qué significa esta solución?

Tenemos un muelle con una masa que está en resposo.  Denominemos a la posición de reposo o posición de equilibrio, x=0.

Ahora nos da por elongarlo una cantidad x y lo soltamos:

Entonces el muelle, conforme pasa el tiempo se mueve alrededor de la posición de equilibrio x=0,  y la solución que hemos empleado representada en un diagrama T,X (tiempo en el eje horizontal y posición en el vertical) nos da:

Hemos graficado una solución del tipo  x= sin(5t).

Observemos que hemos desplazado el muelle inicialmente hasta una posición x=1 y por eso el muelle oscila alrededor de x=0 entre x=-1 y x=+1.

De hecho, es fácil ver que la solución también podría ser del tipo: x=Asin(\omega t), donde A es una constante que llamaremos amplitud y respresenta el valor máximo y mínimo que puede tener la elongación.

Por ejemplo si graficamos  x=5sin(3t) obtendremos:

Aquí vemos como efectivamente el oscilador ahora va desde x=5 hasta x=-5.

¿Qué significa \omega?

A la vista de las gráficas, y porque es evidente, estamos tratando con un movimiento periódico.  Es decir, la masa ocupa las mismas posiciones a intervalos regulares de tiempo que denotaremos por T y llamaremos el periodo.

No es difícil deducir el periodo, basta con ir a la gráfica del movimiento del oscilador, buscar dos puntos que tengan la misma coordenada x (línea vertical) y mirar sus coordenadas t (línea horizontal) y restándolas obtendremos el periodo del movimiento.

Pero es mejor que todo eso, en la ecuación del movimiento nos encontramos con \omega.  Y esta omega está relacionada con el periodo:

\omega=\dfrac{2\pi}{T}

Relacionada con el periodo tenemos otra cantidad, llamada la frecuencia \nu.  La frecuencia es simplemente el inverso del periodo:

\nu=\dfrac{1}{T}

Por tanto, \omega está relacionada con la frecuencia también:

\omega=2\pi\nu

Así que a \omega la llamaremos frecuencia angular.

Esperamos que os haya gustado esta entrada.  Volveremos a esto del oscilador más adelante.

Os recomendamos que juguéis con distintas amplitudes y distintas frecuencias haciendo gráficas, podéis emplear:   GRAFICAS QUICKMATH.COM

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7 Respuestas a “La joya de la corona. El Oscilador Armónico (Básico)”

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  2. JNativo | 10 septiembre, 2012 en 23:12 |

    Ante todo veo que es un método de empezar y seguir la física y que por tanto habrá otros métodos, más antiguos o más modernos, más eficaces o menos. Gracias de nuevo, me gusta

  3. Persianas | 28 noviembre, 2011 en 7:07 |

    Gracias por el aporte me dejaron esto en una investigacion. gracias.

  4. 45cr Charliec | 3 noviembre, 2011 en 19:13 |

    Este es el tipo de problema que no se quedò fuera en los laboratorios de fìsica, siempre era objeto de anàlisis bien ponderado, porque èl mismo es bàsico para poder entender la fìsica clàsica, ahora en cuanto a la fisica cuàntica, si mal no recuerdo, no me la enseñaron.

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