Esto no era tan complicado. Las aventuras del Hamiltoniano.

En divulgación, especialmente en la de física, nos hablan de teorías superchulas.  De como se hacen cálculos, como la teoría nos pone al borde del sentido común, de como los físicos son extremadamente inteligentes y tienen herramientas que les proporcionan conocimientos y habilidades fuera del alcance del resto de los mortales.

Ni tanto, ni tan calvo.  Generalmente una buena idea es suficientemente simple que se puede captar su esencia sin necesidad de ser Einstein, aunque si lo eres mucho mejor.  Lo que sí es verdad es que adquirir soltura y perderle el miedo a los conceptos físicos y matemáticos que se manejan en la construcción de una teoría lleva su tiempo. Pero bueno, tampoco es para tanto, si uno puede lo normal es que todos podamos (con mayor o menor esfuerzo).

En esta entrada nos vamos a centrar en las siguientes preguntas:

¿Qué entiende un físico por tener una teoría? ¿Cómo se condensa eso en fórmulas? ¿Qué conceptos son esenciales y útiles para ello? ¿Por qué funcionan?

Aviso:  Si estás interesado en esta entrada lo mejor es que primero leas por el orden recomendado estas dos:

La joya de la corona. El Oscilador Armónico

El secreto de la energía.

En la entrada anterior sobre la energía hemos acabado introduciendo el concepto de Hamiltoniano.  Groso modo, el Hamiltoniano es la suma de la energía cinética y la energía potencial de un sistema (y esto es cierto en la mayoría de los casos, algunas veces hay modificaciones pero no es el momento de discutirlas).

Ya hemos visto en la mencionada entrada (la inmediatamente anterior a esta) que la energía es útil porque nos permite predecir cómo se moverá el sistema con argumentos muy simples.  El ingrediente clave es la conservación de la energía.

Pero los físicos nunca están contentos con lo que tienen, y por supuesto no están nada contentos si las cosas sólo dan información cualitativa.  Ellos quieren sacar numeritos y consecuencias que puedan luego estudiar experimentalmente, lo que viene siendo una predicción de la teoría.

¿Podemos usar el concepto de energía o el Hamiltoniano para calcular cosas?

Por ejemplo, en el caso del oscilador armónico uno puede estudiar como se mueve un muelle identificando la fuerza que actúa sobre él.  Eso nos da la aceleración y nos da una ecuación que llamamos ecuación del movimiento cuyas soluciones nos dicen qué posición ocupa el sistema en cada instante.  Y a partir de esas soluciones es fácil obtener velocidades, aceleraciones y las formas exactas de las energías en cada caso. ¿Podemos sacar las ecuaciones del movimiento a partir del Hamiltoniano?

La respuesta, asombrosamente, es sí.  Sí podemos. (nótese el paralelismo con el eslogan Yes, we can!!!) Y para hacerlo necesitamos un par de ingredientes.

Haciéndole perrerías al Hamiltoniano:

A vista de pajaro, uno diría que el momento lineal (introducido en la entrada del oscilador) no es independiente de las posiciones.

El momento lineal viene dado por (dado que vamos a trabajar con el ejemplo del oscilador en el eje X, una sola dimensión espacial, no necesitamos vectores):

es decir, el producto de la masa del sistema por su velocidad (con signo + cuando se mueve hacia la derecha y signo – cuando se mueve hacia la izquierda).

Pero la velocidad no es más que el cociente entre el cambio de posición (dx) en un intervalo pequeño de tiempo (dt), la conocida derivada. (Este concepto ha sido tratado en el hilo del mecanismo de Higgs):

Por lo tanto el momento será:  

Así que de independientes poco, porque yo puedo calcular el momento sabiendo la posición.

Pero ahora vamos a hacer una travesura.  Ahora nos ha pegado por decir, el momento y la posición son independientes, en principio no están relacionados entre sí. La relación me la tiene que dar una teoría, tanto si estoy estudiando osciladores como si estoy estudiando campo electromagnético, la propia teoría es la que tiene que fijar la relación entre posiciones y momentos.  Entonces, lo que hacen los físicos es decir:

Un sistema tiene una energía cinética dada por:  

Si dicho sistema está interactuando de algún modo, la interacción viene descrita por una energía potencial V(x) (que generalmente sólo depende de la posición, es fácil de comprobar eso si buscamos el potencial gravitatorio, el potencial eléctrico, o el de un oscilador).

Como la naturaleza es tal que un fenómeno físico da igual a que hora lo estudie, hoy, ayer, mañana, de noche, por la tarde, etc, eso implica que hay una cantidad que es conservada, la suma de energía cinética y potencial, y a eso lo llamamos Hamiltoniano:

Está claro que para que el Hamiltoniano nos diga algo con sentido hemos de precisar la energía potencial del sistema que nos interesa.  En este caso la del oscilador armónico:

Entonces tenemos el señor Hamiltoniano para el oscilador armónico:

Y como no queremos imponer dependencia alguna entre posiciones y momentos consideramos que podemos variar el valor de p y de x independientemente.  Es decir, que en principio he de poder variar p y x (variando con ello H) de manera arbitraria. Pues entonces hemos de considerar que el Hamiltoniano depende por un lado de p y por otro lado de x. Y eso lo denotaremos por H(p,x).

H(p,x) indica que el objeto H es una función que depende de dos variables en vez de una, y esas dos variables son independientes.

Una ida de olla: El paréntesis de Poisson.

Vamos a parar un momento nuestra discusión acerca de Hamiltonianos, momentos y posiciones, y vamos a introducir una salvaje operación que los físicos adoran.  El paréntesis de Poisson.

Esta operación es ciertamente complicada, su definición no es lo que se podría decir sencilla.  Recordemos que en matemáticas las operaciones son relaciones arbitrarias que uno define y luego estudia sus propiedades.

Ejemplo:

Supongamos que sabemos sumar, eso está controlado.  Y ahora llega alguien y nos dice:  Me he inventado la operación que la llamo multiplicar.

La regla suma tantas veces un número como te diga el otro, por ejemplo   o bien .  Esa es la definición de cómo actúa esa operación, y a partir de ahí sacamos sus propiedades.  Por ejemplo, no es complicado ver que la operación es conmutativa es igual a .

Pues ahora vamos a introducir una operación un tanto más exótica, el paréntesis de Poisson, que representaremos por { , }.

La multiplicación actúa sobre números, ¿en qué actúa el paréntesis de Poisson? Pues actúa sobre funciones que pueden depender de p’s y x’s.  Por ejemplo una función f(p,x) con la forma que ella tenga (por ejemplo ) y una función g(p,x) con la forma que ella tenga:

{ }

La multiplicación nos dice que tenemos que sumar un número tantas veces como nos diga el otro. ¿Qué regla sigue el paréntesis?

Bien, ¿estás sentado?… Sí… mejor.  La regla es esta:

{}

Buuuufffff…. necesitamos un rato…

Ya!! ….  Lo que nos dice esto es:

Calcula el cociente de la variación de la función f cuando sólo variamos x.  Multiplica eso por el cociente de la variación de la función de g cuando sólo variamos p.  Y ahora réstale el caso contrario.  Estos cocientes de variaciones (pequeñas) son derivadas como las que hemos visto antes, sólo que ahora cuando tenemos funciones que tienen dos variables independientes pues empleamos el símbolo para llamar a la derivada que sólo se ocupa de las x, lo que significa que a todos los efectos la variable p es «como una constante» a ojos de tal derivada (análogamente para las p’s).

Un ejemplo simple:

Vamos a coger la forma más simple de funciones f y g:

    y    

Entonces el paréntesis queda:

{x,p}

Recordemos que como explicamos en la entrada del mecanismo de Higgs, la derivada de una constante era nula.

Así que a todos los efectos:   porque para la derivada según p, las x’s son constantes.  Análogamente

Y además también explicamos en la mencionada entrada que la derivada de una variable respecto a ella misma daba un señor 1.  Por lo tanto:

   y    

Metiendo todo esto en el paréntesis encontramos:

{x,p}=1

Una vez sabido esto, este paréntesis ya no hay que calcularlo más, cuando veamos una agrupación de {x,p} sabemos que vale 1.

¿Por qué es tan importante este paréntesis de Poisson?

Este bicho que acabamos de mostrar como funciona es una cosa de dar escalofríos.  Acabamos de ver que {x,p}=1. Es decir, hay una relación entre posiciones y momentos que se pone de manifiesto cuando los aplicamos al paréntesis.  Aunque nosotros nos empeñemos en considerarlos independientes, esta operación te dice que ni hablar, que hay una relación entre ellos.

Hemos de dejar claro que esta operación, el paréntesis de Poisson, no ha salido de la nada, no ha salido de la imaginación de alguien que dijo, mira voy a probar con esto.  Este objeto aparece de manera natural cuando uno estudia el comportamiento dinámico de un sistema, pero su deducción involucra conceptos de geometría diferencial ciertamente abstractos para exponerlos aquí y ahora (pero todo se andará).  Lo que intentamos exponer aquí es que este paréntesis en realidad condensa toda la información relevante a la pregunta:

¿Cómo es la dinámica de mi sistema?

Toda la información que queramos obtener, básicamente llegar a las ecuaciones del movimiento está contenida y oculta en el paréntesis de Poisson. Pero el paréntesis es una herramienta general, es lo mismo para todas las «teorías», entonces ¿dónde reside la información dinámica de la teoría?

Cuando hablamos de dinámica, o de evolución dinámica, nos referimos a cómo se mueve el sistema cuando interactúa con otros sistemas o campos. Es decir, a cómo dependen posiciones y momentos respecto al tiempo. Y podemos decir que el generador de la dinámica, de la evolución en el tiempo del sistema, es el señor Hamiltoniano.

Veámoslo en acción:

1.-  El Hamiltoniano de un oscilador armónico es:  

2.- Ahora calculemos el siguiente paréntesis:

{}={}

Las propiedades que nos van a ayudar a calcular este paréntesis son simples y coinciden con las propiedades de la operación [,] que nos inventamos en el Reto Matemático que propusimos en una entrada anterior.  Vamos a resumirlas aquí:

1.-  {x, p}=1

2.- {p, x}=-{x, p}=-1  (se dice que la operación es antisimétrica)

3.- {f, g+h}={f, g}+{f, h} (donde f, g y h son funciones de x’s y p’s)

4.- {f,ng}=n{f, g}  (donde f y g son funciones de x’s y p’s y n es una constante)

5.- {f, gh}=g{f, h}+{f, g}h  (donde f, g y h son funciones de x’s y p’s)

6.- {f, f}=0

Así que apliquemos esto a nuestro caso:

{}={}

Por la propiedad 3 tenemos:

{}={}+{}

Por la propiedad 4 aplicada a ambos paréntesis tenemos:

{}={}+{}

Ahora esto lo podemos reescribir de este modo:

{}={}+{}

Por lo tanto aplicando la propiedad 5 a ambos paréntesis de la derecha:

{}=(p{p, p}+{p, p}p)+(x{p, x}+{p, x}x)

Y para acabar, aplicando la propiedad 6 para el primer paréntesis (,) de la derecha y la 2 para el segundo:

{}=

Así que reagrupando:

{}=-kx

Wow, ¿pero eso no era la fuerza que provocaba el movimiento armónico del oscilador?

Efectivamente, el oscilador tiene una fuerza F=-kx.  Y como la fuerza produce una aceleración:   ma=-kx.

Pero un segundo, Newton nos dijo que la fuerza era el producto de la masa por la aceleración, y la aceleración es la variación de la velocidad por unidad de tiempo (que se expresa así: dv/dt).

Pero observemos una cosa, nosotros sabemos que el momento lineal p=mv, ¿qué pasa si calculamos la variación del momento por unidad de tiempo (dp/dt)?

Es decir que la fuerza en realidad lo que mide es cómo varía el momento por unidad de tiempo.  La expresión ma es útil cuando la masa del sistema es constante, por ejemplo si estoy arrastrando una caja de leche.  Pero si el sistema tiene masa variable, por ejemplo un cohete expulsando gases o la caja de leche con un agujero, la expresión de la fuerza es dp/dt ya que tanto velocidad como masa varían con el tiempo.

Por lo tanto acabamos de ver que:

={p, H}

Confirmando que el Hamiltoniano general la evolución dinámica (variaciones de una magnitud respecto al tiempo) en nuestro sistema.  Y recordemos, el Hamiltoniano es la energía, así que conocida la energía del sistema podemos determinar como evoluciona un sistema

(El que quiera puede calcular {x,H} en el caso del oscilador y podemos comentar el resultado).

Una vez que tenemos que, en nuestro ejemplo del oscilador,  tenemos las ecuaciones del movimiento y podemos buscar su solución, como hicimos en la entrada del oscilador .

Ahora sí, ¿qué es una teoría?:

Cuando los físicos hablan de tal o cual teoría lo que tienen en mente fundamentalmente es un Hamiltoniano.

Las teorías establecen una interacción que está representada por un potencial, y nos dicen como afecta eso al movimiento del sistema (variación del momento respecto al tiempo).  Toda esa información está contenida en el Hamiltoniano y la podemos extraer identificando las variables de la teoría (las posiciones y momentos) y aplicando convenientemente los paréntesis de Poisson.

Esperamos que esta entrada arroje luz sobre el significado de la palabra teoría en boca de un físico y sobre el por qué la energía es tan fundamental en la descripción de la física.

Nos leemos…