¿Bonnie and Clyde? No, Kaluza y Klein

Vamos a presentar una de las primeras teorías que unificaban gravedad y otras interacciones (en este caso sólo electromagnetismo) a través de aumentar la dimensionalidad del espaciotiempo, la teoría de Kaluza-Klein.  En esta teoría se eleva la dimensión del espaciotiempo de 4 a 5 dimensiones (cuatro espaciales y una temporal).  En cierto sentido es un precursor de la teoría de cuerdas, aunque en la teoría de Kaluza-Klein se fija la dimensión del espaciotiempo a mano y en teoría de cuerdas es la propia teoría la que te fija tal número (para ver más detalles podéis leer la entrada que trata sobre cuerdas y dimensiones extras.)

Sobre 1915…

En aquellos tiempos teníamos una imagen clásica de la física (la cuántica estaba a puntito de ver la luz) donde la gravedad venía descrita por la relatividad general y luego estaba el electromagnetismo, descrito por las ecuaciones de Maxwell.

La pregunta obvia era ¿estas leyes se pueden derivar de una única teoría?  E intentos hubo muchos, Einstein pasó la mayor parte de su vida intentando responder esta pregunta.

Y aquí entra el amigo Theodor Kaluza y da la pista:

El Profesor Theodor Kaluza

Kaluza estudió cómo sería la gravedad descrita por la relatividad general (recordemos que es la geometría del espaciotiempo) en un espaciotiempo de 5 dimensiones en vez de las cuatro usuales.  Esto sucedía en 1925 (la cuántica ya estaba sobre la mesa).

¿En qué se basaba la idea de Kaluza?

• El universo tiene 5 dimensiones.
• La forma de dicho universo es cilíndrica (pero en 5 dimensiones claro).

Idea sobre qué significa eso de dimensión extra y forma cilíndrica.

Nuestro universo tiene 4 dimensiones, en la imagen es la parte a) esas cuatro dimensiones están representadas por las 2 dimensiones que vemos en la imagen.  Ahora Kaluza impone una nueva dimensión adicional, 5 dimensiones, en la parte b) de la imagen eso se representa por el cilindro que ahora se puede ver que tiene dos dimensiones (la superficie) y un radio (de la base) entonces tenemos una dimensión más que al principio.  Ojo, esto no es más que una imagen divulgativa, la realidad no es tan fácil pero es mucho más divertida y la matemática involucrada mucho más.

• Kaluza obtuvo un conjunto de ecuaciones en 5 dimensiones que presentaban una sorpresa.  Al partir dichas ecuaciones en 4 dimensiones + 1 dimensión resulta que encontró que las ecuaciones de su teoría se dividían en dos conjuntos.  Uno de ellos eran las ecuacion de Einstein de la Relatividad General y el otro, sorprendentemente, nos daba el electromagnetismo.

Así que por primera vez gravedad y electromagnetismo se derivaban de un único constructo teórico.

La idea era que la quinta dimensión se ondulaba y daba como resultado en nuestro mundo de 4 dimensiones las ondas gravitacionales, como una especie de sombra (proyección) de lo que pasa en las 5 dimensiones.

El problema es evidente, ¿dónde está y dónde podemos medir esa 5º dimensión? Porque está claro que verla no la vemos.

Y entonces llegó Oskar Klein

Sí, llegó Klein (no confundir con Felix Klein), y salvó dos problemas de la teoría:

El Profesor Oskar Klein

• Por un lado la teoría de Kaluza era puramente clásica.  Es decir, no involucraba los principios de la mecánica cuántica que ya era conocida y aceptada por 1925.
• Por otro lado proponía una 5º dimensión que no observabamos de ninguna manera.

Entonces Klein tomó la idea de Kaluza y dijo:

La 5º dimensión, la dimensión extra, es muy muy pequeña, más pequeña que el átomo más pequeño y por eso no podemos explorarla.  Además dicha dimensión está enrollada en forma circular en cada punto.  Este fue la primera vez que se habló de una dimensión espacial compactificada, es decir, sin principio ni final (como un circulo, que es algo finito pero sin bordes).

El concepto de compactificación de una dimensión es ciertamente visualmente muy sencillo:

Tomemos el espacio de tres dimensiones usual, ejes X,Y,Z.

Ahora tomemos la dirección Z y hagámosla un círculo en vez de una recta infinita (esto se puede hacer sin problema desde el punto de vista matemático.). Si suponemos que en cada punto tenemos un sistema coordenado como el anterior y efectuamos la compactificación nos queda esta imagen:

Esta imagen es muy sugerente, porque nos dice que tenemos una dimensión extra pero muy pequeña, no la podemos ver sólo sentir sus efectos y en el caso de Kaluza-Klein es el electromagnetismo.  De hecho se puede comprobar que el radio del círculo de la 5º dimensión está relacionada con la carga eléctrica mínima que puede existir.

Pero no todo es tan bonito…

Esta teoría tiene ciertos problemillas casi sin importancia 😛

• Primero la teoría predice la existencia de una partícula sin masa, con espín cero y sin carga. La existencia de esta partícula es inherente a la presencia de la 5º dimensión compactificada. Pero claro, esa partícula debería de ser absolutamente observable (porque si no tiene masa no debería de ser problemático crearla, como pasa con los fotones).  Sin embargo, jamás hemos visto una partícula como esa en la naturaleza.
• Otro problemilla es que la geometría de la 5º dimensión ha de estar fijada.  ¿Por qué?  El radio de compactificación de la 5º dimensión está relacionada con el valor de la carga eléctrica de las partículas.  Así que ese radio no puede cambiar porque entonces deberíamos de haber visto ya cambios en las cargas eléctricas.

Pero aquí surge un problemón porque la relatividad general nos dice que la geometría del espaciotiempo cambia por la presencia de masas y energías de otros campos.  Así que si estamos haciendo relatividad general en 5 dimensiones, todas ellas deberían de cambiar y evolucionar dinámicamente en la presencia de otros campos.  Sin embargo, eso tendría consecuencias observacionales en el comportamiento del electromagnetismo así que hay que suponer que por razones desconocidas la dimensión extra está exenta de este comportamiento.

Esperamos que os haya resultado interesante la entrada, la motivación era introducir las dimensiones extra y el concepto de compactificación.  En posteriores entradas sobre teoría de cuerdas y temas afines emplearemos estos conceptos a menudo.  Cualquier crítica, comentario o sugerencia ya sabéis…

Un placer como siempre.