El oscilador armónico cuántico 1º parte

Publicado el 9 agosto, 2011 por | 5 comentarios

En esta entrada vamos a estudiar uno de los potenciales más importantes de la cuántica.  El oscilador armónico que ha sido tratado tanto es sus aspectos clásicos como en la introducción a la cuantización en los siguientes minicursos (que recomendamos fuertemente leer antes de esta entrada):

Teorías clásicas a través del oscilador armónico

De la clásica a la cuántica

Muchos sistemas se pueden considerar como sistemas de osciladores armónicos asociados, y además las oscilaciones moleculares bajo ciertas condiciones también se desciben perfectamente usando el oscilador armónico.

En esta entrada vamos a presentar simplemente la solución a la ecuación de Schrödinger asociada.

Tratamiento clásico del oscilador armónico

Diremos que tendremos un oscilador armónico cuando tengamos una partícula de masa m sometida a un potencial del tipo, V=\frac{1}{2}kx^2, donde k es la constante del oscilador. Este potencial no es acotado ya que su crecimiento es de tipo parabólico, tal y como indicamos en la siguiente figura:

Ecuación de Schrödinger del oscilador armónico

Pasemos a planearnos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para este potencial:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+\frac{1}{2}kx^2\psi(x)=E\psi(x)

Esta inocente ecuación es muy complicada de resolver y hay que recurrir a ingeniosos cambios de variables para poder extraer su solución. Por ello nosotros simplemente vamos a presentar las funciones de onda aceptables para esta ecuación:

\psi_v(x)=N_vH_v(\alpha x)e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}

observemos ciertas características de esta ecuación:

1.- Aparece un número cuántico v.
2.- La solución depende de unos polinomios H_v(x) conocidos como los polinomios de Hermite. Estos polinomios están tabulados y cumplen ciertas reglas de ortonormalidad.
3.- El parámetro \alpha toma el valor \alpha=\frac{\sqrt{km}}{\hbar}. También podemos expresarla como \alpha = \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} donde \omega es la pulsación del oscilador que se relaciona con la frecuencia a través de \omega=2\pi\nu. Esta frecuencia está fijada por las propiedades del sistema, la masa de la partícula m y la constante elástica k, \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.

La constante de normalización no es globlal para todos los estados sino que depende del número cuántico v.

Polinomios de Hermite

Estos polinomios toman la siguiente forma para los valores v=0,1,2,3

H_0 = 1
H_1=2x
H_2=4x^2-2
H_3=8x^3-12x

Notemos que en la solución que hemos presentado H_v(\alpha x) aparece el factor \alpha x, esto lo único que significa es que los polinómios llevarán potencias de \alpha iguales a las potencias de las x que acompañan:

H_0=1
H_1=2\alpha x
H_2=4\alpha^2 x^2-2
H_2=8\alpha^3x^3-12\alpha x

Constante de Normalización

Como se nos ha mostrado en la solución, la constante de normalización N_v depende del número cuántico, es decir, no será la misma para todos los estados. Obtenerla de manera analítica es bastante laborioso así que aquí daremos la forma general:

N_v=\left(\frac{\alpha}{2^v v!\sqrt{\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}

Niveles de energía

La energía de un oscilador armónico está cuantizada y toma el siguiente valor:

E_v=(h\nu v + \frac{1}{2}h\nu)

También podemos escribir la frecuéncia como \omega=2\pi\nu, quedando la energía en términos de \omega como:

E_v=\hbar\omega v +\frac{1}{2}\hbar\omega

En las soluciones de oscilador armónico el número cuántico toma los siguientes valores v=0,1,2,\cdots

Es interesante notar que hay un factor que hace que no haya problemas con el principio de indeterminación en el estado v=0. Además, ¿qué ocurre con el espaciamiento entre niveles en el oscilador armónico?.

Lo que hay que saber del oscilador armónico

Vamos a resumir los puntos esenciales del oscilador armónico:

1.- La solución a la ESIT del oscilador armónico tiene la forma:
\psi_v(x)=N_vH_v(\alpha x)e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}
2.- La constante de normalización en este caso depende del número cuántico que identifica el estado propio del Hamiltoniano del oscilador:
N_v=\left(\frac{\alpha}{2^v v!\sqrt{\pi}}\right)^{\frac{1}{2}}
3.- Las funciones propias del oscilador armónico toman la siguiente forma en general:

\psi_v(x)=\left(\dfrac{\alpha}{2^v v!\sqrt{\pi}}\right)^{\dfrac{1}{2}}H_v(\alpha x)e^{-\dfrac{\alpha x^2}{2}}

4.- Los estados propios tienen una energía de:

E_v=\hbar\omega v +\frac{1}{2}\hbar\omega

5.- El espaciamiento entre niveles en este caso es constante e igual a \hbar\omega

Y podemos observar de nuevo los niveles en la siguiente figura:

Ya entraremos en más detalles de las soluciones y de qué significa todo esto en una entrada más ligerita.  Pero hemos querido hacer esta para tener un sitio donde tener a mano las expresiones necesarias.

Nos leemos…

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5 Respuestas a “El oscilador armónico cuántico 1º parte”

  1. Anónimo | 20 mayo, 2013 en 15:35 | Responder

    muy malo

  2. Andrés Alejandro | 15 enero, 2013 en 1:59 | Responder

    Hola, me parece excelente la información, he estado estudiando mediante el Griffith y tengo algunos problemas con una demostración teórica del Oscilador Armónico, alguien me podría ayudar?
    Gracias
    Andrés Alejandro, Venezuela

  3. Anónimo | 19 diciembre, 2011 en 3:09 | Responder

    Fabuloso!, La sección «Lo que hay que saber sobre el oscilador. ..» son las conclusiones necesarias para organizar lo aprendido. Me ha sido de mucha ayuda. La información está muy bien organizada. Gracias y éxitos!

  4. cac | 9 agosto, 2011 en 12:38 | Responder

    Vaya, muchas gracias. Soy estudiante de Física y es magnífico poder repasar leyendo tu artículo. Un saludo!

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