Revisión de Relatividad Especial 1

Esta entrada está orientada para aquellos que necesitan una presentación breve de los conceptos básicos de la relatividad especial. Por lo tanto, esto es útil para los que estén siguiendo los cursos técnicos de teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas.

Relatividad especial

La relatividad especial se basa en un postulado (en esto no hay acuerdo entre los físicos, la mayor parte de las presentaciones de la relatividad especial dicen que hay dos postulados, podemos dicutirlo):

La física es igual para todo observador inercial.

Este postulado se puede reformular de dos maneras:

La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales.

El espaciotiempo tiene cuatro dimensiones y posee la métrica de Minkowski.

Bajo nuestro punto de vista todos estos enunciados son equivalentes, pero sabemos que no es la posición más común.

En relatividad especial las coordenadas espaciales (x,y,z) y el tiempo están en pie de igualdad. Espacio y tiempo no son conceptos absolutos como en la física Newtoniana.

Sucesos o Eventos

Un suceso (evento) es un proceso físico que se produce en un punto del espacio en un tiempo determinado (para algún observador). Esto se representa en un punto en el espaciotiempo que viene descrito por cuatro componentes: (ct,x,y,z).

Denotaremos un cuadrivector de este tipo mediante la notación $x^\mu$ :

$x^\mu=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$

A esto lo llamaremos 4-vector. Y se podrá escribir como $x^\mu=(x^0,x^i)$ donde i toma los valores 1,2,3 y se corresponde con las componentes espaciales.

Intervalo relativista

Tenemos un sistema de referencia inercial S que mide la distancia espaciotemporal de dos sucesos representados por $x^\mu$ y $x^\mu+dx^\mu$ .

Definiremos el intervalo relativista o simplemente intervalor como:

$-ds^2=-(dx^0)^2+(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2$

(Para calcular esto actuamos de la manera usual, buscamos la diferencia entre los puntos y luego sumamos los cuadrados de las diferencias de cada coordenada)

Los signos menos están puestos de tal forma que luego nos permita la clasificación de los distintos tipos de intervalo empleada usualmente en teoría de cuerdas y teoría cuántica de campos. Lo importante es que la componente temporal tiene signo opuesto a las componentes espaciales en esta expresión.

Si tuvieramos otro sistema inercial S’ midiendo el intervalo de los mismos sucesos en su sistema les asignaría las coordenadas $x'^\mu$ y $x'^\mu+dx'^\mu$ y el intervalo sería:

$-ds'^2=-(dx'^0)^2+(dx'^1)^2+(dx'^2)^2+(dx'^3)^2$

Se exige que el intervalo sea una cantidad invariante. Es decir, cada observador asignará un intervalo de tiempo y una distancia espacial diferente entre sucesos pero el intervalo relativista valdrá lo mismo para todos los observadores inerciales:

$ds^2=ds'^2$

Esta es la primera señal de lo que se conoce como objeto Invariante Lorentz que explicaremos con más detalle en lo siguiente. Notemos que el intervalo $ds^2$ no tiene índices, es decir, no es un 4-vector ni generalizaciones del mismo, esto siempre es indicativo de la invariancia Lorentz de un objeto.

Clasificación del intervalo

Dado que tenemos una diferencia de signo entre la parte temporal y espacial en el intervalo está claro que el intervalo podrá ser negativo, nulo o positivo. Le vamos a poner nombre a cada caso:

1.- $ds^2$ > $0$ lo que implica $dx^0$ > $(dx'^1)^2+(dx'^2)^2+(dx'^3)^2$ . A este tipo de intervalo lo llamaremos tipo tiempo o intervalo temporal. Dos sucesos unidos por una línea de mundo (trayectoria en el espacio tiempo) de una partícula moviéndose a velocidades menores que la de la luz tienen intervalos de tipo tiempo. Estas líneas de mundo siempre están contenidas dentro del cono de luz asociado al observador.

2.- $ds^2=0$ A esto lo llamamos intervalo tipo nulo o intervalo nulo. Este tipo de intervalo identifica a las partículas que se mueven a la velocidad de la luz y que conforman el cono de luz.

3.- $ds^2$ < $0$ este intervalo se llama de tipo espacial o intervalo espacial. Si dos sucesos están separados por un intervalo espacial significa que están causalmente desconectados, no hay forma de enviar información entre ellos porque para eso la velocidad de las partículas conectando estos sucesos deberían de superar la velocidad de la luz. Aquí estamos considerando transmisión de partículas con masa en reposo real positiva o nula.

Sólo para sucesos separados por un intervalo temporal se puede escribir: $ds=\sqrt{ds^2}$ .

Indices arriba, índices abajo

Uno puede definir los 4-vectores con índices arriba (como hemos hecho hasta ahora) o con los índices abajo. No entraremos por ahora en las sutilidades de esto que las hay y son muy interesantes desde el punto de vista matemático. Por ahora nos interesa mostrar que dado un objeto con índices arriba se puede convertir en un objeto con índices abajo y viceversa con la participación de la métrica. Todo esto será claro en lo que sigue.

Definamos el objeto $dx_\mu=(dx_0,dx_1,dx_2,dx_3)$ donde tendremos la siguiente relación con las componentes del objeto con los índices arriba:

$dx_o=-dx^0$ y $dx_i=dx^i$

Por lo tanto,

$dx_\mu=(dx_0,dx_1,dx_2,dx_3)=(-dx^o,dx^1,dx^2,dx^3)$

Antes hemos visto como expresar $-ds^2$ :

$-ds^2=-(dx^0)^2+(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2$

Esto se puede reescribir como:

$-ds^2=dx_0dx^0+dx_1dx^1+dx_2dx^2+dx_3dx^3$

Podemos abreviar esto con la siguiente notación:

$-ds^2=\sum_{\mu=0}^3 dx_\mu dx^\mu=dx_\mu dx^\mu$

En la última parte de las igualdades mostradas hemos empleado el convenio de suma de Einstein. Este convenio nos dice que cuando tenemos un objeto con dos índices iguales, uno arriba y otro abajo, hemos de sumar cada producto de cada componente. A estos índices repetidos arriba y abajo e iguales lo llamamos índices mudos y siempre podemos renombrarlos:

$dx_\mu dx^\mu=dx_\nu dx^\nu$

La métrica de Minkowski

Hemos de reconocer inmediatamente que la expresión $dx_\mu dx^\mu$ (con el convenio de suma de Einstein) da como resultado la suma de la multiplicación de cada componente (en caso de ser el mismo 4-vector, la suma de los cuadrados de cada componente). Esto es esencialmente un producto escalar. Cuando es posible hacer esto tenemos entre manos un espacio que dispone de una métrica. Para repasar esto visitar la entrada sobre la métrica.

El intervalo se puede expresar como:

$-ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$

donde $\eta_{\mu\nu}$ es la conocida como métrica de Minkowski. (Aquí tenemos dos índices iguales y repetidos, así que hemos de emplear el convenio de Einstein).

Este objeto es el que nos permite medir distancias, ángulos, áreas, etc, en el espaciotiempo.

Propiedades de la métrica:

1.- La propiedad fundamental de la métrica es que es un objeto simétrico, es decir, si intercambiamos sus índices el objeto permanece igual:

$\eta_{\mu\nu}=\eta_{\nu\mu}$

2.- Comparemos con el resultado del intervalo:

$-ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu=\eta_{00}dx^0dx^0+\eta_{11}dx^1dx^1+\eta_{22}dx^2dx^2+\eta_{33}dx^3dx^3$

Eso quiere decir que los elementos diagonales (los dos índices iguales) son: -1 para la componente (00), y 1 para las componentes (11), (22), (33).

En forma matricial la métrica se puede expresar:

$\eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$

3.- La métrica es el objeto que nos ayuda a subir y bajar índices. Es fácil ver que si multiplicamos matricialmente la métrica por un vector (en forma de columna) el resultado es lo que hemos definido como el «vector» con índice abajo. En general tendremos que:

$V_\mu=\eta_{\mu\nu}V^\nu$

Y en nuestro caso $dx_\mu=\eta_{\mu\nu}dx^\nu$ .

Así el producto escalar entre dos 4-vectores $a\dot b$ se puede escribir como:

$a\cdot b=a_\mu b^\mu=\eta_{\mu\nu}a^\mu b^\nu$

Con lo que en nuestro caso de interés podemos escribir $-ds^2=dx\dot dx$ .

4.- Por último la métrica es invertible (es fácil comprobar que su determinante es distinto de cero. Así definiremos la métrica inversa (con los índices arriba):

$\eta^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}$

De forma que es fácil comprobar que:

$\eta^{\mu\sigma}\eta_{\sigma\nu}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{pmatrix}=\delta^\mu_\nu$

en este caso la delta es la delta de Kronecker que toma un valor igual a 1 cuandos ambos índices toman el mismo valor, y un valor cero en caso contrario como es fácilmente deducible de la expresión anterior.

Dejamos aquí, por el momento, este breve repaso al formalismo de la relatividad especial. En la siguiente entrada veremos como se deducen las transformaciones de Lorentz, como la métrica de Minkowski es un invariante Lorentz, e introduciremos los conceptos de energía y momento relativista.

Con esto cerraremos este repaso que será útil tanto en los cursos de introducción a las supercuerdas como el de introducción a la teoría cuántica de campos.

13 Respuestas a “Revisión de Relatividad Especial 1”

Dafne | 6 enero, 2016 en 15:08 | Responder

Hola buenas,
En el apartado «Intervalo Relativista» pone:
Definiremos el intervalo relativista o simplemente intervalor como:

-ds^2=-(dx^0)^2+(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2
Mi pregunta: no debería poner:

-ds^2=-(dct^0)^2+(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2 ?
Muchas gracias, un saludo y Enhorabuena por este fantástico curso
- kevingv93 | 20 noviembre, 2016 en 10:56 | Responder
  
  Hola, sólo para responder tu pregunta, lo que tú estás haciendo es reemplazar el «x^0=ct» (por cierto, el «^0» que está acompañando a «ct» no debe ir), ya que x^u=(ct, x,y,z), si tomamos eso en cuena, nos quedaría algo así:
  ds^2=-(cdt)^2+(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2
Paulina Pradel (@Pau_Pradel) | 2 diciembre, 2013 en 6:13 | Responder

Hola. ¿Podrías poner la referencia de este pequeño resúmen sobre relatividad? Me causa duda, ya que en el libro de Schutz, el intervalo temporal es cuando ds^2>0, y tu lo manejas al revés (obviamente lo mismo para el intervalo de tipo espacial). Quisiera saber si es simplemente convención (y conocer un libro en el que así aparezca). Gracias!
- Cuentos Cuánticos | 10 diciembre, 2013 en 1:54 | Responder
  
  En realidad es un convenio, lo importante es que la coordenada temporal tenga el signo opuesto al de las coordenadas espaciales. En teoría cuántica de campos se suele usar la métrica diag(+1,-1,-1,-1) y en los textos de relatividad general diag(-1,+1,+1,+1).
  
  En la página 3 de este texto tienes una explicación al respecto. Y creo recordar que en la mayoría de los textos de relatividad o de teoría cuántica de campos hacen mención a este hecho y aclaran de entrada que signatura de la métrica van a utilizar.
  
  Si te queda alguna duda no dudes en insistir 🙂 (disculpa por la tardanza en la respuesta)
Alejandro González (@Evocid) | 21 octubre, 2013 en 20:58 | Responder

Hay una pequeña errata. En el apartado «Clasificación del intervalo», cuando dice:

ds^2>0 lo que implica dx^0>(dx’^1)^2+(dx’^2)^2+(dx’^3)^2

debería decir:

ds^2>0 lo que implica (dx^0)^2>(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2

Es decir, el primer dx^0 debe estar al cuadrado y las dx del segundo miembro de la desigualdad no deberían estar primadas.

Un saludo, hacía tiempo que quería profundizar un poco en mecánica cuántica y cuando he visto esta introducción a la teoría cuantica de campos creo que he encontrado lo que necesitaba. La relatividad especial más o menos ya la conocía, pero creo que mejor empiezo por el principio, que hace mucho que no estudio.

Muchas gracias por el trabajo.
Pingback: Matrices Gamma de Dirac- Parte I | Cuentos Cuánticos
Pingback: El fotón y la masa | Cuentos Cuánticos
45cr CharlieC | 17 diciembre, 2011 en 2:53 | Responder

Estoy pegao a esto como un chicle, aunque hay ciertas informaciones que tengo que digerirla al pasito, la gran mayorìa las entiendo, pero nunca me habìan explicado esto con la claridad con que lo haces CC, nos seguiremos leyendo.
Pingback: Para ser un Rindler de primera… acelera… acelera… | Cuentos Cuánticos
Pingback: Pildorazo Relatividad Especial: El cono de luz | Cuentos Cuánticos
Jayden | 31 octubre, 2011 en 20:06 | Responder

I was looking eerwvyhere and this popped up like nothing!
Edazez | 12 octubre, 2011 en 8:50 | Responder

Por fin alguien explica esto de los subíndices y superíndices.
Aunque tengo que dedicarle más rato.
Animo y Gracias!
Anónimo | 11 octubre, 2011 en 4:05 | Responder

Gracias!!, ahora es muchos mas claro abordar los cursos.