De Newton a la ecuación de Friedmann. Segunda Parte

En esta entrada continuamos con el intento de recuperar las ecuaciones de Friedmann que empezamos en la entrada anterior de este minicurso Cosmología, una introducción fácil.

Ahora introduciremos el concepto esencial que nos falta, las coordenadas comóviles y el factor de escala.

Describir algo que sabemos que se expande

Sabemos que el espacio en nuestro universo se expande. Esta es una evidencia observacional con muchas pruebas. Lo que queremos aquí no es hacer una revisión de estas pruebas, ya tendremos tiempo, sino presentar cómo podemos definir las distancias en un universo en expansión.

Supongamos que tenemos dos puntos en el universo (dos galaxias) que queremos estudiar cómo se comportan. Suponemos además que estos puntos no se están moviendo relativamente:

Cuando decimos que el espacio se expande directamente pensamos en que las distancias entre las partículas en ese espacio aumenta. Pero hay una sutilidad, que el universo se expanda no significa que las partículas se estén moviendo entre sí sino que son las distancias entre las partículas las que están aumentando en el tiempo.

Si el universo se expande, si lo miramos en tres instantes de tiempo veremos lo siguiente:

Aquí vemos claramente que es todo el espacio el que se expande, pero las coordenadas que hemos elegido son fijas, a estas se las denomina coordenadas comóviles. Se llaman así porque están adaptadas al espacio y a su expansión.

¿Cómo podemos describir entonces la expansión?

El truco está en darse cuenta que lo que varía entre las partículas no son sus posiciones sino las distancias que las separan. Si tengo dos partículas separadas por una distancia r, el efecto es que dicha distancia se puede escribir como:

$r=a(t)x$

donde x es una cantidad constante (y arbitraria) y a(t) es lo que se conoce como el factor de escala.

El factor de escala

Este factor de escala a(t) tiene las siguientes propiedades fundamentales:

– Es sólo función del tiempo. Esto es evidente porque la expansión es la misma en todas las direcciones, así que el factor de escala no puede depender del punto espacial, en todos ellos tiene que ser el mismo.

– Este factor nos da la información de cómo se expande el universo a dar cuenta del aumento de las distancias entre dos partículas fijas (en coordenadas comoviles) conforme pasa el tiempo.

– Además este factor ha de ser positivo en todo instante de tiempo. Este factor nos da la distancia entre dos puntos y las distancias sólo pueden ser positivas.

La energía en términos del factor de escala

En la entrada anterior dedujimos la energía de un cuerpo de masa m en el universo debido a su interacción gravitatoria con la masa M contenida en una esfera de radio r. Técnicamente es la interacción entre dos partículas como vimos en la entrada ¿Hacia dónde se atrae?. Este argumento se aplica entre cualquier par de partículas en el universo (a escala cosmológica) dado que estamos suponiendo el principio cosmológico. En términos de la densidad encerrada en la esfera la ecuación de la energía quedaba:

$U=\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{4\pi \rho r^2 m}{3}$

Analicemos cada término de esta fórmula y escribámoslo en términos del factor de escala.

Energía total U: Por conservación de la energía este término es una constante.

Energía cinética T: La energía cinética viene dada por:

$T=\dfrac{1}{2}mv^2$

La velocidad es la variación de la distancia recorrida por una partícula por unidad de tiempo. Eso se expresa con la derivada, que nos da precisamente esa información, de la distancia respecto al tiempo:

$v=\dfrac{dr}{dt}$

La distancia se expresa a través del factor de escala $r=a\cdot x$ . El factor de escala es una función del tiempo, así que puede variar cuando varie el tiempo. El término x es una constante, así que no varía respecto al tiempo:

$v=\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{d(ax)}{dt}$

Aplicamos la regla de la cadena para la derivada de un producto de funciones: $\dfrac{d(fg)}{dt}=\dfrac{df}{dt}g+f\dfrac{dg}{dt}$ :

$v=\dfrac{da}{dt}x+a\dfrac{dx}{dt}$

El segundo término se anula, la derivada de una constante da cero (no varía), por lo que:

$v=\dfrac{da}{dt}x$

Usaremos esta notación para la derivada temporal $\dfrac{df}{dt}=\dot{f}$ :

$v=\dot{a}$

Agrupando todo esto la energía cinética se escribe como:

$T=\dfrac{1}{2}mx^2\dot{a}^2$

Energía potencial U:

Aquí simplemente tenemos que sustituir r por ax:

$V=-G\dfrac{4\pi \rho a^2x^2 m}{3}$

Así pues tenemos:

$U=\dfrac{1}{2}mx^2\dot{a}^2-G\dfrac{4\pi \rho a^2x^2 m}{3}$

La ecuación de Friedmann

Vamos a manipular la fórmula anterior para llegar a la ecuación de Friedmann que es:

$\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}$

Pasos

1.- Multiplicamos ambos términos de la fórmula por $2/ma^2x^2$

$\dfrac{2}{ma^2x^2}U=\dfrac{2}{ma^2x^2}\dfrac{1}{2}mx^2\dot{a}^2-\dfrac{2}{ma^2x^2}G\dfrac{4\pi \rho a^2x^2 m}{3}$

Lo que queda:

$\dfrac{2}{ma^2x^2}U=\dfrac{\dot{a}^2}{a^2}-G\dfrac{8\pi \rho}{3}$

2.- Aislamos el término que involucra al factor de escala y su derivada:

$\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho+\dfrac{2U}{ma^2x^2}$

3.- Notemos que la asociación $2U/mx^2$ es constante dado que la energía total del sistema es constante y x también lo es. Por lo tanto llamaremos a esta agrupación, cambiada de signo por conveniencia, $kc^2=-2U/mx^2$ , donde k es una constante y c evidentemente lo es. Quedando entonces:

$\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}$

Y hemos llegado a la ecuación de Friedmann que nos dice que la velocidad de expansión del universo depende de dos términos. Hemos de comentar que este paso que aquí parece sacado de la manga efectivamente lo es. Sin embargo, si desarrollamos este problema cosmológico en Relatividad General estos factores y signos aparecen directamente en el formalismo. La introducción de la velocidad de la luz al cuadrado se justifica porque es necesaria para asegurar que todos los términos de la ecuación tienen las mismas unidades. Por lo tanto k es una constante que tiene dimensiones de $[Longitud]^{-2}$ . Esta constante tiene la información sobre la curvatura del espacio en el universo y lo llamaremos justamente curvatura. La constante de curvatura puede tener un valor negativo, positivo o nulo, esto corresponderá a distintas geometrías del universo como veremos.

Vamos a describir lo que significa esta ecuación:

a) $\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2$ este término da cuenta de la velocidad de la expansión del universo. De hecho esta agrupación $\dot{a}/a$ aparece muchas veces y recibe un nombre $H(t)$ que es conocida como la función de Hubble.

Esta velocidad de expansión es debida por lo tanto a dos términos:

b) $\dfrac{8\pi G}{3}\rho$ el término que tiene en cuenta la contribución a la expansión de la distribución de densidad de energía/materia en el universo. Aunque aquí hemos hecho el ejemplo teniendo en mente que $\rho$ es una densidad de masa (masa dividida por el volumen que ocupa) en este contexto esta densidad puede ser de energía o de materia, por ejemplo puede ser densidad de radiación electromagnética.

c) $\dfrac{kc^2}{a^2}$ el término que tiene en cuenta la contribución a la expansión de la propia curvatura del espacio en el universo.

Nos seguimos leyendo…

13 Respuestas a “De Newton a la ecuación de Friedmann. Segunda Parte”

Azote de la Indolencia | 28 septiembre, 2015 en 16:33 | Responder

Buenas.
Cuando se calcula la energía cinética de la masa m (genérica) se le atribuye (o por lo menos yo lo entiendo así leyendo esta entrada) sólo energía cinética por la variación de «r» que es el radio de la esfera que estamos considerando, es decir, por efecto de la expansión. ¿No habría que tener en cuenta además su velocidad respecto a M?
Incluso sin considerar esta velocidad sino exclusivamente la derivada de la expansión, no veo que sea aplicable el ppio de conservación de la energía porque la expansión está añadiendo energía al sistema en forma de energía cinética a las masas m contenidas en esa esfera de referencia de radio «r». luego está habiendo una aportación, no?
Cuando un globo se hincha, estamos aportando aire a su interior, luego si hacemos el balance energético sólo en su superficie resulta que nos falta el término de la presión interior del globo.
Azote de la Indolencia | 22 septiembre, 2015 en 12:27 | Responder

Hay un pequeño error porque dice que «v=a’punto» cuando es «v=x·a’punto». En la siguiente fórmula de la energía cinética está sustituido bien así que no afecta en nada.
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federico | 6 noviembre, 2011 en 22:02 | Responder

Planteo aquí una pregunta que tengo desde hace mucho tiempo, pero que no acabo de encontrar una respuesta satisfactoria.
Si el espacio se dilata con el tiempo, en principio de forma directamente proporcional a la distancia entre dos puntos, también se dilatará en la misma proporcional nuestra «regla de medir», y por lo tanto al medir dicha distancia expandida con nuestra regla, también expandida por la misma ley, seremos incapaces de detectar dicha diferencia.
Nuestra regla puede ser la distancia entre los límites de un objeto material, o la longitud de onda de una emisión electromagnética, o lo que se quiera, da igual, el problema es que también se expandirá.
¿Alguien que me proporcione una explicación a esta paradoja?
Gracias.
- Cuentos Cuánticos | 6 noviembre, 2011 en 23:29 | Responder
  
  Hola, dado que hemos detectado que esta pregunta se repite en distintos formatos hemos escrito una entrada para explicarla:
  
  Si el universo se expande… nosotros nos expandimos ¿no?
  
  Si aún así no ha quedado claro no dudes en volver a preguntar.
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Tom Wood | 3 noviembre, 2011 en 7:16 | Responder

El método puede ser diferente, pero si el mensajero es el mismo (la luz), no importa que te de la información, escrita, verbal, o por señas, si no lo conoces bien puede que lo que te diga no sea real ciento por ciento. Es buena una teoría que para explicar la interacción de los electromagnéticos y las partículas (la materia) que los produce, tiene que recurrir a dos conceptos diferentes; es decir, según el fenómeno un mismo ente físico será onda o corpúsculo. ¿Que tienen adentro las partículas que emiten o absorben esa luz? nadie sabe. El intercambio de información en el entrelazamiento cuántico, entre los fotones o las ondas que una vez producidas ya no se verán jamas, ¿es convincente la explicación? Siempre abra teorías y gente que pueden explicar las cosas, aunque no convenzan. Muchos efectos físicos donde esta presente la luz sus explicaciones son dudosas, el AB, el Casimir…, haciendo uso de las partículas virtuales (otro desespero que resuelve, por ahora), Y en cuanto al fondo de microondas ( que si existe, es luz también, lo mismo de arriba), es la única base experimental que en rigor se le podría achacar al Big Bang, otra cosa es que ese sea su origen; y como toda explosión causa expansión, el universo se expande y como el universo se expande, existió una gran explosión, y de ahí la radiación del fondo de microondas. ¿Qué esta primero el huevo o la gallina? Yo no digo que todo este mal, y se que esto es el grado de explicación mas complejo al que el intelecto humano ha podido llegar, en los pocos anos en que ha adoptado a la ciencia como su mejor aliado, solo que con las maquinas que crearemos, se vera que muchas explicaciones que remueven, y otras traídas por los pelos, están muy lejos de verdadera realidad. En lo próximos cincuenta anos veremos caer muchas de estas explicaciones extrañas, a pesar de la crisis y los pocos recursos con que se cuenta, ya no hay un día que no aparezcan resultados que nos indican que no hemos completado nuestro conocimiento sobre el electromagnético. http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/10/06/el-pulsar-del-cangrejo-emite-rayos-gamma-ultraenergeticos-imposibles-de-explicar-por-las-teorias-actuales/)
Edazez | 2 noviembre, 2011 en 23:32 | Responder

Había leído mucho de cosmología pero desconocía esta ecuación.
Gracias
oscar roberto e | 2 noviembre, 2011 en 19:10 | Responder

“Sabemos que el espacio en nuestro universo se expande. Esta es una evidencia observacional con muchas pruebas.”

Seamos más precisos para no introducir errores:
No tenemos muchas pruebas, sino sólo una, el efecto Doppler sobre las galaxias lejanas, que se aumenta en proporción a la distancia (Ley de Hubble).

La inferencia es, que se alejan de nosotros, con una velocidad mayor, en la medida que aumenta la distancia hasta ellas. Aunque no tiene “velocidad”, que en el espacio de Minkowski se da con el agregado de una dimensión.

“ Técnicamente es la interacción entre dos partículas como vimos en la entrada ¿Hacia dónde se atrae?.”
Allí traté de explicar el error introducido: (Para no repetir)
http://cuentos-cuanticos.com/2011/11/02/hacia-donde-se-atrae-gauss-gravedad/

Si fundamentamos una conclusión o razonamiento en un error, este no será más verdad, por bonito y sofisticado que sea.
- Cuentos Cuánticos | 2 noviembre, 2011 en 19:37 | Responder
  
  La expansión del universo se mide con:
  
  Observación de espectros de galaxias y otros objetos distantes como hizo Hubble.
  
  Observación del comportamiento de las explosiones supernovas.
  
  Observación de efectos de lentes gravitacionales.
  
  Observación de la evolución y distribución de inhomogeneidades en la radiación cósmica de fondo.
  
  En fin, que hay muchas evidencias que apoyan la expansión del universo no sólo un método como tú dices.