La ley detrás de lo que vio Hubble

Edwin Hubble, el hombre que hizo que el universo se expandiera. Más bien, lo que hizo fue expandir nuestra capacidad de entender el universo y que aceptáramos que el universo no era algo estático sino que se está expandiendo.

En esta entrada no vamos a describir el método observacional que llevó a Hubble a determinar su ley. No lo haremos por dos motivos, a) es un tema muy conocido y muy tratado por ahí y b) lo que nos interesa aquí es ver como se modeliza la ley de Hubble con los ingredientes que hemos ido introduciendo en el minicurso: Cosmología, una introducción fácil. De todas formas en algún momento discutiremos lo que hizo Hubble y sus resultados.

Entendiendo un poco mejor el factor de escala

Como hemos visto en las entradas anteriores del minicurso de Cosmología la variable central de la descripción cosmológica es el factor de escala, a(t). Ahora daremos un argumento para entender mejor un par de detalles al respecto de este factor.

Situación:

1.- Supongamos que queremos estudiar las distancias entre tres puntos en el universo (tres galaxias por ejemplo). Imaginaremos que las galaxias están cerca (en distancias cosmológicas) con lo cual las reglas de la geometría usual servirán (la curvatura del universo se puede despreciar en este contexto). Los puntos los denominaremos 1, 2 y 3. Por lo tanto tendremos tres distancias: $d_{12}$ , $d_{13}$ y $d_{23}$ .

2.- Dado que el universo está expandiendose, si miramos estas mismas distancias en dos tiempo distintos $t_1$ y $t_2$ tendremos:

En esta situación podemos decir que tenemos las distancias entre las partículas determinadas por:

$d_{12}=a(t)x_{12}$

$d_{13}=a(t)x_{13}$

$d_{23}=a(t)x_{23}$

Lo interesante es que todas las distancias se tienen que reescalar con el mismo factor a(t) para asegurarnos de que no rompemos la homogeneidad e isotropía del universo. Por lo tanto lo que vamos a hacer es trabajar con la distancia de dos partículas cualesquiera, la partícula i y la partícula j, en el tiempo vendrá dada por:

$d_{ij}(t)=a(t) x_{ij}$

La x es una cantidad fija y arbitraria, así pues lo que vamos a hacer es tomar dicha cantidad como la distancia que tienen los puntos esos entre ellos en la actualidad (nuestra actualidad, nuestro tiempo $t_0$ ): $x_{ij}=d_{ij}(t_0)$ . Así tenemos:

$d_{ij}(t)=a(t)d_{ij}(t_0)$

Lo interesante aquí viene del hecho de que en el tiempo inicial $t_1$ y en el tiempo final $t_2$ se tiene que cumplir:

$d_{ij}(t_1)=a(t_1)d_{ij}(t_0)$

$d_{ij}(t_2)=a(t_2)d_{ij}(t_0)$

Por lo tanto:

$d_{ij}(t_0)=\dfrac{d_{ij}(t_1)}{a(t_1)}$

$d_{ij}(t_0)=\dfrac{d_{ij}(t_2)}{a(t_2)}$

Eso quiere decir que tenemos la relación:

$\dfrac{d_{ij}(t_1)}{a(t_1)}=\dfrac{d_{ij}(t_2)}{a(t_2)}$

Y entonces podemos estar seguros de que la agrupación:

$\dfrac{d_{ij}(t)}{a(t)}=const$

es una constante para todo valor del tiempo.

Pero tener una cosa constante es muy bueno porque si ahora queremos calcular como varía esa relación en el tiempo (calcular la derivada temporal) no tiene que salir un bonito y lindo cero (las constantes no cambian con el tiempo). Así que calculemos la derivada temporal de esta expresión:

$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d_{ij}(t)}{a(t)}\right)=0$

Escribiremos la expresión de esta forma para simplificar el cálculo de la derivada: $a^{-1}(t)d_{ij}(t)$ . Aplicaremos la derivada del producto de funciones: $\dfrac{dfg}{dt}=\dfrac{df}{dt}g+f\dfrac{dg}{dt}$ . Y tendremos que derivar funciones que son polinomios $\dfrac{df^n(t)}{dt}=nf^{n-1}(t)\cdot \dfrac{df(t)}{dt}$ :

Por lo tanto:

a) $\dfrac{d}{dt}\left(a^{-1}(t)d_{ij}(t)\right)=0$

b) Aplicamos la regla del producto:

$\dfrac{da^{-1}(t)}{dt}d_{ij}(t)+a^{-1}(t)\dfrac{d d_{ij}(t)}{dt}=0$

c) Derivamos las funciones:

$(-1)a^{-1-1}(t)\dfrac{da(t)}{dt}d_{ij}(t)+a^{-1}(t)\dfrac{d_{ij}(t)}{dt}=0$

d) Arrelgamos un poco la expresión y empleamos la notación usual $\dfrac{df}{dt}=\dot{f}$ :

$-a^{-2}(t)\dot{a}(t)d_{ij}(t)+a^{-1}(t)\dot{d}_{ij}(t)=0$

$-\dfrac{\dot{a}(t)}{a^2(t)}d_{ij}(t)+\dfrac{1}{a(t)}\dot{d}_{ij}(t)=0$

e) Multiplicamos todo por a(t):

$-\dfrac{\dot{a}(t)a(t)}{a^2(t)}d_{ij}(t)+\dfrac{a(t)}{a(t)}\dot{d}_{ij}(t)=0$

$-\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}d_{ij}(t)+\dot{d}_{ij}(t)=0$

f) Dividimos todos por $d_{ij}(t)$ :

$-\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}\dfrac{d_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}+\dfrac{\dot{d}_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}=0$

$-\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}+\dfrac{\dot{d}_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}=0$

g) Lo cual significa que:

$\dfrac{\dot{d}_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$

Esto es por lo que en nuestras expresiones cosmológicas como en la ecuación de Friedmann aparece el factor $\dot{a}/a$ , porque este factor escala exactamente igual que las distancias entre distintos puntos del universo como acabamos de ver. Pero hay un detalle interesante, esta relación no depende de los puntos i o j que utilicemos para calcularla, es decir, hubiera salido lo mismo con el par 12, 13, 23… o cualquier otro par si tenemos más partículas. Este hecho es lo que nos dice que el universo es homogéneo e isótropo y se expande por igual en todo punto y dirección.

El parámetro de Hubble

En el cole ya nos decían que todas las galaxias se alejaban de la nuestra con una velocidad de alejamiento (de recesión) proporcional a la distancia que nos separaban y que eso era la ley de Hubble.

$v=Hd$

v es la velocidad de separación.

H es una constante llamada constante de Hubble

d es la distancia entre las galaxias.

En realidad hoy sabemos que la constante de Hubble no es una constante. Pero podemos descubrirlo por nosotros mismos. ¿Qué es la velocidad en la fórmula de la ley de Hubble? Pues como toda velocidad será la (derivada) variación de la distancia por unidad de tiempo, es decir $\dfrac{dd}{dt}=\dot{d}=v$ . Así podemos escribir:

$\dot{d}=Hd$

Pero justamente antes hemos obtenido:

$\dfrac{\dot{d}_{ij}(t)}{d_{ij}(t)}=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$

como esta relación es válida para cualquier par de puntos podemos escribir:

$\dfrac{\dot{d}(t)}{d_{ij}(t)}=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$

Pero entonces podemos aislar la derivada de la distancia:

$\dot{d}(t)=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}d(t)$

Comparando con la ley de Hubble encontramos que:

$H(t)=\dfrac{\dot{a}(t)}{a(t)}$

y por tanto no es una constante sino una función del tiempo que de hecho no es más que el ratio de expansión del factor de escala.

Está claro que si ahora medimos la constante de Hubble obtendremos un valor $H(t_0)=H_0$ que evidentemente nos parecerá constante porque las variaciones sólo son perceptibles a escalas cosmológicas. Así que lo que se conoce como constante de Hubble en realidad es el valor del parámetro de Hubble en la actualidad. El valor estimado en la actualidad oscila entre los 67.0 ± 3.2 km/s/mega pársec y los 75 km/s/mega pársec. La medida de este parámetro es ciertamente complicada y por eso no hay un concenso total en su valor.

Entonces, si recordamos las ecuaciones de Friedmann:

$\left(\dfrac{\dot{a}}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}$

Pues podemos entenderlas como una ecuación que nos dice como evoluciona el parámetro de Hubble:

$H^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho-\dfrac{kc^2}{a^2}$

Nota: La ley de Hubble entendida como velocidad «real» a la que una galaxia se aleja de la otra es evidente que no puede ser correcta. Ya hemos visto que aquí no hay movimientos reales (recordar la discusión de las coordenadas comóviles) sino que es el propio espacio el que se expande y da esa sensación de movimiento. Aunque esta aproximación es más o menos correcta para galaxias cercanas, pierde todo el sentido si estudiamos galaxias muy alejadas porque nos diría que se alejan a velocidades superiores a la de la luz lo cual sería inconsistente. Recordemos que en la expansión no hay involucrados movimientos relativos reales.

Esperamos que haya sido de interés la entrada y haber sabido transmitir lo que significa el factor de Hubble.

Una magnífica discusión de todo esto se puede encontrar en:

Modern Cosmology – Dodelson

Y en el gran clásico: Principles of physical cosmology – Peables

13 Respuestas a “La ley detrás de lo que vio Hubble”

Héctor de Jesús Monsalve Gómez | 16 octubre, 2012 en 2:35 | Responder

Existen 4 dimensiones: Tres hechas de espacio-tiempo, y una cuarta, que es el observador. Las demás dimensiones sólo son especulaciones mentales, que sólo sirven para hacer coincidir matemáticamente, más no físicamente, las diferentes hipótesis, teorías y «leyes», admitidas en la actualidad, como verdades científicas.
oscar roberto e | 15 noviembre, 2011 en 15:56 | Responder

Si lo miraseis diferente, todo sería más claro, la gravedad es como una curva del espacio tridimensional, en la cuarta dimensión (dibujo con una dimensión menos en “tela del espacio-tiempo”), esa “tela” representa la superficie del globo (figura para la explicación de la expansión del universo).

Es ineludible una velocidad perpendicular a la tridimensión, y me pregunto: ¿Porqué nadie habla de esto?
Donde la expansión o contracción del espacio será de acuerdo a la dirección en la cuarta dimensión, razón por la cual Einstein, introduce la constante cosmológica, porque de lo contrario, todo se juntaría en un “montón”. A nivel local hay contracción (gravedad)…

¿Cuál es la velocidad?

Por otro lado es imprescindible para una razonable explicación de la gravedad, la geodésica (geodesia), no soluciona el problema de la aceleración gravitacional.

Parece que hablo a las paredes; es simple, la solución está en el factor de Lorentz, donde “c” es la velocidad en la cuarta dimensión:
https://sites.google.com/site/teoriatiempoespacio/factor-de-lorentz
Pingback: El desplazamiento al rojo NO ES DEBIDO a la velocidad de las galaxias | Cuentos Cuánticos
Pingback: Desplazamiento al rojo y expansión. Tratamiento matemático elemental | Cuentos Cuánticos
Pingback: Desplazate al rojo… | Cuentos Cuánticos
CaspolinoX | 5 noviembre, 2011 en 18:18 | Responder

… y perdón por los términos que utilizo. No soy matemático ni físico, pero creo que tengo la cabeza bien amueblada y abierta a la conceptualización.
CaspolinoX | 5 noviembre, 2011 en 15:36 | Responder

Suponiendo que es más probable lo segundo, o sea, que estén perdiendo energía con el paso del tiempo… ¿llegará un momento en que los átomos no tendrán energía suficiente para mantener su estabilidad?
- Cuentos Cuánticos | 5 noviembre, 2011 en 15:41 | Responder
  
  No, los átomos no están perdiendo energía porque de ser así lo estaríamos notando (básicamente la materia ya no sería estable y no habría átomos y nosotros no estaríamos tecleando el ordenador). Ahora bien, si la expansión es acelerada llegará un momento en el que superará la intensidad de las interacciones (electromagnética por ejemplo) y entonces incluso el espacio entre núcleo y electrón aumentará porque la interacción no será capaz de vencer a la expansión y mantener las distancias (en promedio) fijas.
  - CaspolinoX | 5 noviembre, 2011 en 16:02 | Responder
    
    No le veo relación entre que la expansión sea acelerada o no, ya que la diferencia será el tiempo que tendrá que pasar hasta que llegue a ocurrir.
    Pero yo no estoy conjeturando cuánto tiempo tendrá que pasar hasta que ocurra, sino si ocurrirá o no ocurrirá, y más concretamente, si está ocurriendo o no.
    Que esté ocurriendo no tiene porqué significar que nosotros no podamos estar aquí tecleando el ordenador.
    …y retomando el tema::
    Si está ocurriendo, parece que, necesariamente las partículas del átomo deban estar «perdiendo» energía, o mejor dicho, ya que la energía ni se crea ni se destruye, transfiriéndola. Y la seguiente pregunta sería: ¿dónde se transfiere dicha energía? y la respuesta podría ser: AL ESPACIO.
    De lo que se podría deducir que El Espacio (vacío) es Energía.
    
    Pero nada… olvídalo.. son conjeturas de un novato en la materia.
    - Cuentos Cuánticos | 5 noviembre, 2011 en 18:23 | Responder
      
      Lo importante es la «intensidad» de la expansión, uno puede tener una expansión continua pero débil de forma que nunca llegue a dominar sobre las interacciones entre partículas.
      
      Otra cosa es que la expansión se haga cada vez más «intensa», acelerada, entonces llegará un momento en el que desgarrará todo, los electrones no podrán unirse a los núcleos, etc. Es lo que se conoce como muerte del universo por Big Rip.
      
      Evidentemente, de forma local si ocurriera eso que dices la energía de las interacciones (energía potencial) se podría considerar transferida al propio espacio (a formar parte de eso que llaman energía oscura o constante cosmológica). Pero el tema, como veremos, es cómo evoluciona la tendencia a la expansión en un universo, si frena, si acelera, si se mantiene constante, etc. Dependiendo de cómo lo haga tendremos una evolución distinta para el universo.
  - CaspolinoX | 5 noviembre, 2011 en 18:13 | Responder
    
    Sobre la misma conjetura, otra forma de verlo seria: considerar que no es totalmente cierta la frase: «La energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma», y que en realidad, una parte muy,muy,muy pequeña de la energía se pierde en toda transferencia de energía.
    Esa pérdida constante de energía, que abarca al universo entero, implica que: con el paso del tiempo, a las partículas (a nivel cuántico) les cuesta más tiempo transferir energía (hacer el mismo trabajo). Esa diferencia de tiempo podría ser lo que representamos como «velocidad a la que se expande el universo».
    
    Se que la conjetura es un poco atrevida, pero quizás haya que empezar a «romper» mitos para continuar avanzando.
CaspolinoX | 5 noviembre, 2011 en 15:29 | Responder

pregunta de novato:
Si al expandirse el espacio aumenta la distancia entre dos puntos cualesquiera… ¿Los átomos también estarán aumentando la distancia media entre el núcleo los electrones o por el contrario no estarán aumentando dicha distancia media pero estará «perdiendo» energía constantemente para recuperar dicha distancia media?
- Cuentos Cuánticos | 5 noviembre, 2011 en 15:34 | Responder
  
  Pues aquí estamos hablando de cosmología, así que los puntitos cosmológicos son mínimo galaxias completas. El tema de la expansión sólo se pone de manifiesto a escalas cosmológicas donde lo que domina es la gravedad como interacción. Es decir, que el espacio se expande sí, pero su expansión no es tan fuerte como para poder vencer las interacciones nos gravitatorias como el electromagnetismo, así en un átomo de Hidrógeno, aunque el espacio se está expandiendo, el átomo no se «agranda» porque la interacción electromagnética es más intensa que la expansión. En definitiva que la expansión sólo se puede notar a escalas cosmológicas (afortunadamente).

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