Conceptos Métricos

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Una ayudita para percibir el mundo

El mundo percibido es la resultante de al menos dos factores: nuestro aparato sensorial y el mundo exterior. El mundo pensado es también la resultante de al menos dos factores: nuestro sistema conceptual y el mundo real.

En nuestra actividad científica tenemos que partir de nuestro aparato sensorial y del sistema conceptual plasmado en nuestro lenguaje ordinario. Pero difícilmente podría ponerse en marcha la empresa científica si no nos fuera posible trascender las limitaciones de nuestros sentidos mediante instrumentos apropiados: telescopios, microscopios, brújulas, cámaras fotográficas, etc.

De igual modo podemos extender y precisar nuestro sistema conceptual introduciendo conceptos más precisos y de mayor alcance que los del lenguaje ordinario, conceptos científicos que nos permiten describir hechos y formular hipótesis con una precisión y universalidad crecientes.

El concepto es el concepto

La noción de verdad es relativa a la de enunciado, y ésta a la de concepto. Qué verdades haya depende de qué conceptos empleemos. Y muchas veces el progreso de la ciencia consiste no en un aumento del número de verdades expresadas con un sistema conceptual dado, sino en el cambio del sistema conceptual, en su ampliación o extensión o en su sustitución por otro. El mundo no está estructurado de por sí de un modo unívoco. Somos nosotros los que lo estructuramos al proyectar sobre él nuestros conceptos.

El importante papel desempeñado por los conceptos en la teorización científica ha despertado el interés de los metodólogos y filósofos de la ciencia. Lo primero que salta a la vista es la gran variedad de los conceptos científicos. La investigación reciente ha mostrado que uno de los puntos de vista más fecundos para el estudio metacientífico de los conceptos es el de su estructura formal o matemática. De hecho, la profusa variedad de los conceptos científicos se reduce desde este punto de vista a unos pocos tipos básicos, fundamentalmente a tres: los conceptos clasificatorios, los conceptos comparativos y los conceptos métricos.

Si identificásemos los conceptos cualitativos con los clasificatorios y los cuantitativos con los métricos, resultaría que en la ciencia se usan otros tipos de conceptos: los conceptos comparativos (o topológicos).

Supongamos individuos de un dominio que poseen una característica en mayor o menor grado. Si definimos dos relaciones, una de coincidencia y otra de precedencia, respecto a esa característica, estaremos indicando cuándo dos objetos de ese dominio coinciden respecto a esa característica y cuándo uno precede al otro respecto a ella. En eso consiste establecer conceptos comparativos.  Los conceptos comparativos no sólo permiten diferenciar más finamente que los clasificatorios, sino que además representan un primer paso para la posterior introducción de conceptos métricos.

El concepto de metal es en principio clasificatorio. Clasificamos los elementos químicos en metales y no metales. Pero al definir lo que entendemos por metal, es evidente que unos elementos poseen esas características en un grado mayor que otros. Por ello, podríamos tratar de reformular nuestra noción de metalidad como concepto comparativo, explicitando criterios que nos sirviesen para decidir, de dos elementos cualesquiera, si coinciden respecto a metalidad o si unos es más metálico que el otro.

Conceptos métricos

Los conceptos métricos, también llamados conceptos cuantitativos o magnitudes, son una creación original de los lenguajes científicos y están asociados a los estadios más avanzados de la ciencia.

Los conceptos métricos asignan números reales o vectores a objetos o sucesos.

• Los conceptos métricos –como masa o tiempo- que asignan números reales a determinados objetos o sucesos se llaman magnitudes escalares.
• Los conceptos métricos –como fuerza o velocidad- que asignan vectores se llaman magnitudes vectoriales.

Para simplificar nuestro tratamiento, cuando en lo sucesivo hablemos de concepto métrico queremos decir concepto métrico escalar.

En una primera aproximación podemos decir que un concepto métrico en un dominio es simplemente una asignación de un número real a cada uno de los objetos del dominio. ´

En una segunda aproximación podemos observar que con frecuencia tratamos de introducir un concepto métrico en un ámbito en el que ya disponemos de un concepto comparativo.

La metrización de un ámbito o de una característica consiste precisamente en la introducción de un concepto métrico en ese ámbito o para esa característica. No hay que confundir metrización y medida. La medida supone que ya disponemos de un concepto métrico y consiste en la búsqueda del número real o vector que ese concepto métrico asigna a un objeto o suceso determinado. Muchas veces de lo que se trata es de metrizar un ámbito ya previamente ordenado, es decir, se trata de metrizar un sistema comparativo.

Metrizar sería representar determinadas características cualitativas o empíricas de los objetos de un dominio por características cuantitativas o matemáticas de los números reales. Lo que habremos hecho será, pues, establecer un homomorfismo entre el sistema empírico comparativo y el sistema numérico. Esta representación de un sistema empírico en otro numérico constituye la esencia del concepto métrico.

Así, en una tercera aproximación, podemos decir que un concepto métrico es un homomorfismo de un sistema empírico en un sistema numérico homólogo. Dos sistemas son homólogos si tienen el mismo número de relaciones y de funciones y si los números arios se corresponden (es decir, si la primera relación de un sistema es binaria, también lo es la del otro, etc.).

Escalas ordinales

Las escalas ordinales son las más pobres desde el punto de vista de la información que nos suministran. Se limitan a asignar números, conservando el orden de un sistema comparativo dado.

En mineralogía se dispone de un concepto comparativo de dureza. Siempre que asignemos números a los minerales, de tal manera que a dos minerales les corresponda el mismo número o a uno de ellos un número menor que el otro según que coincidan en cuanto dureza o el uno sea menos duro que el otro, tendremos una escala ordinal de dureza. La escala de Mohs, por ejemplo, se limita a expresar numéricamente el hecho de que un mineral es más o menos duro que otro, pero no nos dice cuánto más o menos duro es que el otro. No mide diferencias de dureza. Precisamente por ello, son muchas las transformaciones permisibles, es decir, las transformaciones del homomorfismo dado que dan lugar a homomorfismo del mismo tipo.

Si en vez de asignar 1 al talco, 2 al yeso, 3 a la calcita, etc., como hacía Mohs, asignamos 0 al talco, 500 al yeso, 500,5 a la calcita, 507 a la fluorita, etc., esa asignación sigue siendo uno escala ordinal de dureza. Precisamente esta indeterminación es la que impide que pueda haber una fórmula general para pasar de una escala ordinal a otra (correspondiente al mismo concepto).

Escalas proporcionales

Las escalas proporcionales son las más ricas desde el punto de vista de la información que suministran. No sólo nos dicen que un objeto es más o menos que otro respecto a alguna característica, sino que nos señalan en qué proporción exacta el uno es más o menos eso que el otro.

Para fijar una escala proporcional se elige un objeto cualquiera de A y se le asigna convencionalmente un número cualquiera. Así, en la escala métrica decimal se elige un determinado cilindro de platino e iridio (el “kilo patrón”) que se conserva en el museo de pesas y medidas de Sèvres y se le asigna el número 1.000. Con esto queda fijada la escala de masa en gramos.

A diferencia de lo que pasaba con las escalas ordinales, no todas las transformaciones monótonas de escalas proporcionales dan lugar a escalas proporcionales. Supongamos que un frasco destapado tiene 200 gramos de masa, y su tapa, 100 gramos. Por tanto, el frasco tapado tendrá 300 gramos de masa. Una transformación monótona de la escala métrica decimal en gramos podría asignar al frasco el número 2, a su tapa, el 1, y al frasco tapado el 9. Pero esa función no sería un homomorfismo.

Un homomorfismo f de un sistema empírico en un sistema numérico constituye una escala proporcional si y sólo si cualquier transformación similar de f es también un homomorfismo del mismo sistema empírico en el mismo sistema numérico. De aquí se sigue que para pasar de una escala proporcional a otra basta siempre con multiplicar por un número fijo, así, para pasar de una escala en kilos a otra en gramos basta con multiplicar por 1.000.

Magnitudes extensivas e intensivas

Los conceptos de masa o de longitud son homomorfismos de un sistema empírico que contiene una operación binaria de combinación de objetos en un sistema numérico que contiene la adición. Las magnitudes de este tipo se llaman magnitudes aditivas o extensivas.

La masa de un objeto compuesto de dos partes es igual a la suma de las masas de sus partes. La longitud del objeto resultante de colocar dos objetos en línea recta uno a continuación de otro es igual a la suma de sus longitudes. Lo mismo ocurre con el tiempo.

Las magnitudes que no son extensivas se llaman intensivas. Así, respecto a la operación de combinar dos economías nacionales para formar una unión económica, los conceptos de producto nacional bruto o de población son extensivos o aditivos, mientras que los conceptos de renta per cápita o de tasa de natalidad son intensivos. Respecto a la operación de vaciar el contenido de dos recipientes en un tercero el concepto de volumen es extensivo o aditivo, pero no los de temperatura o de densidad.

Decimos que un homomorfismo de un sistema empírico en otro numérico es una escala de intervalos si y sólo si toda transformación lineal positiva de ese homomorfismo es otro homomorfismo entre los mismos sistemas. Así como los conceptos métricos intensivos dan lugar a escalas proporcionales, los conceptos métricos intensivos dan lugar a escalas de intervalos. Las escalas de temperatura, por ejemplo, son escalas de intervalos.

Metrización fundamental y derivada

En la práctica la metrización suele realizarse simplemente mediante una definición en función de otras magnitudes previamente introducidas.

Así, podemos introducir el concepto métrico de densidad mediante la definición:

densidad(x)=masa(x)/volumen(x)

suponiendo que ya disponemos de los conceptos de masa y volumen. Cuando introducimos un concepto métrico en función de otros previamente introducidos, decimos que se trata de una metrización derivada. La mayoría de las metrizaciones son derivadas.

Este procedimiento no puede seguirse en toda metrización. Con algunos conceptos métricos hay que empezar, algunas magnitudes han de ser introducidas sin presuponer la previa introducción de otras. En estos pocos pero importantes casos hablamos de metrización fundamental. La introducción del concepto métrico de masa constituye una metrización fundamental, pues no presupone ninguna otra magnitud previa.

Ventajas de los conceptos métricos

Las ventajas de los conceptos métricos respecto a los clasificatorios o comparativos son evidentes. El vocabulario científico resulta mucho más simple, claro y manejable. Con un solo concepto métrico tenemos infinitas posibles situaciones ya descritas y ordenadas. Si pretendiésemos sustituir un concepto métrico como el de temperatura por una serie de conceptos clasificatorios (gélido, frío, fresco, tibio, etc.), no sólo descendería considerablemente el nivel de precisión, sino que cargaríamos nuestra memoria con gran cantidad de términos distintos. Otra ventaja es la de facilitar la búsqueda de leyes científicas.

La razón profunda de todas las ventajas que se pueden aducir estriba en que los conceptos métricos constituyen un puente entre el mundo real y el mundo ideal de la matemática. El mundo real es un mundo poco manipulable intelectualmente. El mundo de la matemática, por el contrario, es un mundo perfectamente estructurado y ordenado. Por eso, en cuanto los problemas que se plantean en el mundo real resultan demasiado complicados e inabarcables, la mejor estrategia para su solución suele consistir en representarlos como problemas matemáticos.

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