Cuestión de dimensiones

Hoy nos hemos levantado fractales así que aprovecharemos y hablaremos un poco de estos bichos.

Intentaré explicar, no puedo prometer nada, qué se entiende por dimensión fractal. También discutiremos varias de las propiedades de estos hermosos objetos geométricos.

¿Qué es un fractal?

Se puede definir un fractal como un objeto geométrico que consiste en un conjunto de puntos que tienen asociada una dimensión que por regla general no tiene porqué ser un número entero. Además tiene una particularidad denominada autosimilitud que implica que el objeto presenta la misma estructura en cualquier escala a la que lo observemos.

Un ejemplo extremos de autosimilitud se muestra en la siguiente imagen:

Imagen tomada de: http://mark.rehorst.com/Bug_Photos/index.html

Construyamos un fractal: El triángulo de Sierpinski

La forma más simple de construir un fractal es generar un proceso iterativo. Para ejemplificar esta idea tomaremos el triángulo de Sierpinski. Para ello seguiremos este procedimiento:

Tomamos un triángulo.

Identificamos los puntos medios de cada lado del triángulo y eliminamos el triángulo que queda en el medio.
En los tres triángulos (negros) restantes volvemos a repetir el paso anterior.
Continuamos el proceso indefinidamente.

Lo que nos quedaría (suponiendo que podemos hacer este proceso indefinidamente) es lo que se conoce como el triángulo de Sierpinski.

Tomando cualquier porción y haciendo un zoom en ella encontramos de nuevo la misma estructura que el objeto completo. Esta es la propiedad de autosimilitud:

Esto implica que las mismas estructuras se repiten en el fractal en todas las escalas. Podemos concluir que en un fractal no hay una escala característica. Es decir, no podemos decidir si lo que estamos viendo es el objeto completo o un zoom del mismo que haya sido reescalado.

¿Qué entender por dimensión?

En matemáticas encontramos muchas definiciones diferentes de lo que se entiende por dimensión. Aquí tomaremos la más intuitiva:

Llamaremos dimensión al menor número de coordenadas que necesitamos para identificar un punto en un espacio dado.

Imaginemos que nos movemos por un espacio de 2 dimensiones. Decimos que tiene dos dimensiones porque podemos identificar sus puntos mediante duplas de números:

Este espacio es de 2 dimensiones porque necesitamos dos números como mínimo para identificar un punto en él.

En una curva, una vez elegido un origen, basta dar 1 número para identificar los puntos que la componen. Por esto decimos que una curva es un objeto de una dimensión. En una superficie necesitamos dos números, 2 dimensiones. Y en un volumen necesitaríamos 3 números.

Decimos que este espacio tiene tres dimensiones porque necesitamos como mínimo tres números para identificar sus puntos.

En un espacio de dimensión D, tal y como la hemos definido, podemos tener objetos cuyas dimensiones vayan desde 0 hasta D. Por ejemplo, en un espacio de dimensión 2 podemos tener puntos (0D), curvas (1D), y superficies (2D). Es evidente que en un espacio de dimensión 2 no podemos «meter» volúmenes (3D).

Según lo que hemos dicho hasta ahora no tiene ningún sentido hablar de una dimensión que no sea un número entero. Pero, aunque las matemáticas parecen ser muy rígidas, siempre hay hueco para flexibilizar las definiciones y ver que sale de ello.

Reescalar

Ahora tomemos curvas (1D), superficies (2D) y volúmenes (3D) y reescalemos sus dimensiones por un factor $\dfrac{1}{r}$ .

Reescalamos las dimensiones por un factor r.

¿Qué significa esto?

Imaginemos que tenemos un segmento de longitud $L_1$ .
Ahora dividimos ese segmento en dos trozos de igual longitud. Cada trozo es autosimilar al segmento original.
Tomemos uno de estos trozos. Para obtener un segmento igual al inicial tenemos que magnificarlo por un r=2.
Aquí podemos ver que el número de trozos autosimilares N=2 viene dado por la magnificación r=2, elevada al número de dimensiones del objeto, D.

$N=r^D$

Este procedimiento es válido para cualquier número de divisiones de igual longitud que hagamos en el segmento original

Análogamente podemos hacerlo con el cuadrado o con el cubo.

Disgresión: Logaritmos

En el caso anterior uno podría preguntarse: ¿Cuál es la dimensión D del objeto que estoy estudiando?

Para responder a esta pregunta tenemos que conocer una propiedad de los logaritmos dado que la expresión anterior $N=r^D$ tiene la dimensión del objeto en un exponente.

La propiedad que nos interesa es:

$ln(x^y)=ylnx$

Es decir, que el logaritmo de una potencia $x^y$ es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

Recordemos que el ln es la operación inversa de la exponenciación. Es decir, el $ln(x)$ responde a a la pregunta de ¿a qué número tengo que elevar el número e para que me de el valor x?

Por ejemplo, $ln(e)=1$ que responde la siguiente pregunta: ¿A qué número tengo que elevar el número «e» para que me de «e»? La respuesta es simple, el 1, porque $e^1=e$ .

Por lo tanto, $ln(e^x)=x$ ya que al número que tengo que elevar «e» para que me de $e^x$ es justamente x. Exponenciales y logaritmos son operaciones inversas, así que tendremos que $e^{ln(x)}=x$ .

Y recordemos que $(e^b)^c=e^{bc}$ . Por ejemplo:

$(e^2)^3=(ee)^3=(ee)(ee)(ee)=eeeeee=e^6=e^{2\times 3}$

Ahora para demostrar que $ln(x^y)=ylnx$ haremos lo siguiente:

1) Partimos de $x^y$ .

2) x lo podemos escribir como $x=e^{ln(x)}$ .

3) Por lo tanto, $x^y=(e^{ln(x)})^y$ .

4) Eso se puede escribir como: $(e^{ln(x)})^y=e^{yln(x)}$ .

5) Tomando ahora logaritmos a ambos lados de la igualdad:

$ln\left((e^{ln(x)})^y\right)=ln(e^{yln(x)})$

nos queda:

$ln(x^y)=ylnx$ .

Por tanto, si tenemos $N=r^D$ . Para hallar D solo tenemos que tomar logaritmos:

$ln(N)=ln(r^D)$

$ln(N)=Dln(r)$

$D=\dfrac{ln(N)}{ln(r)}$

Con lo que obtenemos:

Podemos calcular la dimensión D de un objeto calculando el cociente entre el logaritmo del número de partes autosimilares en la que lo hemos dividido y el logaritmo del factor de magnificación que necesitamos para recuperar el objeto original partiendo de cada división autosimilar.

¿Cuánto vale la dimensión del triángulo de Sierpinski?

Ahora podemos aplicar lo que hemos aprendido. Esto se puede calcular en cada paso del proceso de generación del triángulo. Aquí lo haremos para el primer paso.

Al quitar el triángulo del medio nos quedan N=3 triángulos autosimilares cuyos lados tienen una longitud 1/2 de la original. Por lo tanto para recuperar el triángulo original a partir de uno de estos hemos de magnificar por un factor r=2.

En el primer paso de la construcción tenemos:

Tres triángulos autosimilares. Por lo tanto N=3.
Para recuperar el triángulo original partiendo de uno de estos hemos de multiplicar por un factor de magnificación r=2.

Con estos datos podemos calcular la dimensión del triángulo de Sierpinski:

$D=\dfrac{ln3}{ln2}=1.5854...$

Como vemos hemos obtenido que según esta definición de dimensión el triángulo de Sierpinski está entre la dimensión de una curva y la dimensión de un plano.

Felix Hausdorff

Esta definición de dimensión fue dada por Hausdorff. Podéis comprobar que para la línea, el cuadrado y el cubo de una imagen anterior se obtienen D=1,2,3 respectivamente como era de esperar.

Sin embargo, para conjuntos más irregulares, como el triángulo de Sierpinski, la dimensión no es un número entero. Esto es así porque en el proceso de construcción (con un número infinito de pasos) dicho triángulo vive en el plano pero es algo menos que una superficie y algo más que una curva.

Fractales famosos

Ya hemos explicado en un ejemplo sencillo por qué en un fractal encontramos una dimensión fraccionaria. Ahora os dejamos con algunos fractales famosos:

Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Julia

Y mi fractal (natural favorito): El brocoli romanesco

Espero que os haya interesado la entrada y se haya aclarado un poco el tema de las dimensiones fractales. Volveremos a estos bichos para hablar de algunas de sus aplicaciones en física.

Nos seguimos leyendo…

22 Respuestas a “Cuestión de dimensiones”

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pablovegan | 29 octubre, 2014 en 20:50 | Responder

Hola no me ha quedado claro si lo que tiene la dimensión fractal es cualquier fase del triangulo o solo en la que tiene infinitas autosimilitudes?
Ojos negros, piel canela | 6 febrero, 2014 en 19:49 | Responder

Te tienen frito con tantas correcciones. ;=)

Enhorabuena al corregido, y saludos afectuosos a los correctores.

Me ha gustado, lo he entendido. Gracias por el trabajo que te tomas.
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Filotecnóloga | 6 marzo, 2013 en 21:16 | Responder

He hallado el artículo francamente impresionante. ¡Ay Cuentista, si te hubiera o hubiese tenido de profesor!. Como siempre un placer leerte.

Me has dejao flasheá con eso de dimensiones decimales….luego asocias los logaritmos a la herramienta matemática que son y se te pasa el susto, pero vaya, que da para un ratito de reflexión, porque al fín y al cabo, una sistémica como yo no puede dejar pasar el comentario de que un triángulo es más que una curva 🙂

Me surge una duda, cuando dices «dimensión fraccionaria», ¿significa que las dimensiones de los fractales se pueden expresar en fracciones?. A continuación efectivamente pones una fracción…pero de logaritmos, que pueden generar número irracionales trascendentes.

Luego hablas de dimensiones decimales, creo que es lo que realmente querías decir. Además, los irracionales trascendentes no pueden ser más decimales 😉

El número e es el típico número irracional trascendente, como se usan logaritmos neperianos para el cálculo de la dimensión de un fractal, la duda es…¿las dimensiones de los fractales son irracionales trascendentes?

Pensar en dimensiones racionales me cuesta, pero en dimensiones irracionales es susto o muerte.
Besotes
- Cuentos Cuánticos | 6 marzo, 2013 en 22:38 | Responder
  
  Hola, me alegro de que te haya gustado la entrada.
  
  Respecto si a la nomenclatura «fraccionaria» es buena o no, en este contexto significa que la dimensión no es entera.
  
  Respecto a lo de si los fractales son irracionales trascendentes, creo que no tiene porqué… Por ejemplo, la curva cuadrática de Koch tiene una dimensión de 1.5.
  
  Y con la dimensión tal y como está definida, con logaritmos y todo, podemos encontrar situaciones con dimensiones enteras, por ejemplo en la figura de la entrada de la línea, cuadrado y cubo obtendríamos D=1,2,3 respectivamente.
  
  Aunque los logaritmos neperianos se calculan en base e estos pueden dar lugar a números enteros: ln(e^2)=2, por ejemplo.
  
  Un saludo
  - Filotecnóloga | 7 marzo, 2013 en 18:08 | Responder
    
    Si, sí, está claro que los logaritmos pueden generar irracionales trascendentes, pero también fraccionarios e incluso enteros. Pero como desconozco el mundo fractal, no sabía si el ejemplo que habías puesto era un ejemplo sin más o todos iban a seguir el mismo patrón de trascendencia…
    Me has resuelto una duda, pero me has creado otra…¿dependiendo el tipo de número que defina la dimensión de un fractal puedo establecer agrupaciones con características o parámetros similares? Es decir, ¿hay diferentes tipos de fractales según cómo sea su dimensión?
    Saludos dos
Ximo | 6 marzo, 2013 en 17:10 | Responder

Muy interesante el artículo, pero, por favor, escribamos bien. SImilaridad es una mala traducción de similarity en inglés, la traducción correcta es similitud, por tanto, debes decir autosimilitud. Por lo demás, magnífico el artículo.
- Cuentos Cuánticos | 6 marzo, 2013 en 17:27 | Responder
  
  En efecto, es una mala traducción 😦
  
  Corregido, muchas gracias por el aviso.
Jorge Bouza (@jorgebouza) | 6 marzo, 2013 en 11:34 | Responder

Gracias por el artículo, me ha parecido muy claro y sencillo de entender. Si me lo permites, me gustaría recomendar un interesantísimo foro que hará las delicias de quien quiera adentrarse en el mundo de los fractales y desde muy distintas aproximaciones (especialmente la más artística): http://fractalforums.com/
Gracias a lo que allí se habla y también gracias a las herramientas que crean algunos usuarios de ese foro, he hecho algunos experimientos animados con fractales. Un ejemplo de ello es este «Fractal Fly»: https://www.youtube.com/watch?v=CywKkmB7gVI

Salud!
carlos | 6 marzo, 2013 en 2:21 | Responder

hermoso!
recuerdo haber estudiado un poco de esto hace unos meses, mientras estudiaba un poco de cálculo, pero esta explicación es bastante clara y compacta. gracias!
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Javi | 6 marzo, 2013 en 1:15 | Responder

Hola, es la primera vez que entro en Cuentos Cuánticos. Estoy encantado a la vez que emocionado, al saber que únicamente buscáis divulgar información científica. Me fascinan los fractales, aunque en ciencia cojeo un poco (soy de letras, otro cuenta cuentos, pero sin ciencia). Así que la página nos ayuda y nos enseña a comprender mejor el lugar donde vivimos. Muchas gracias y mucho ánimo. Seguid informándonos que falta nos hace, un saludo. Javi.
nananai | 6 marzo, 2013 en 1:03 | Responder

awesome explanation
Control Alt Supr | 6 marzo, 2013 en 0:53 | Responder

Hallar, hallar, hallar….. Por dios bendito
Por tanto, si tenemos N=r^D. Para hayar D solo tenemos que tomar logaritmos:
- Cuentos Cuánticos | 6 marzo, 2013 en 1:02 | Responder
  
  Uuups!!! Mea culpa 😦
  
  Gracias por el aviso, corregido.
- Alt Tab | 6 marzo, 2013 en 16:22 | Responder
  
  ¿Insinúa usted que «hallar» es un error ortográfico y «hayar» es la forma correcta? Pura curiosidad.
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