Ecuación de Dirac – Segunda Parte

Ya tuvimos la oportunidad de encontrarnos con la ecuación de Dirac y su derivación en la entrada.

Esta ecuación se propuso como un intento de solventar el problema de probabilidades negativas que era inherente a la ecuación de Klein-Gordon al intentar hacer una ecuación de evolución cuántica consistente con la relatividad especial. Ya veremos como la ecuación de Dirac solventa este problema. Pero en esta ocasión tenemos que pararnos un momento a deducir qué son esas $\alpha$ y $\beta$ que aparece en la ecuación:

$i\partial_t\psi=\left[\vec{\alpha}(-i\vec{\nabla})+\beta m\right]\psi$

Así que nos vamos a poner manos a la obra.

Alfa y Beta

Nos ocuparemos ahora de describir las propiedades y características de las «constantes» que hemos introducido en el Hamiltoniano de la ecuación de Dirac para que su cuadrado sea el de la ecuación de Klein-Gordon. Para ello seguiremos unos pasos que intentaré que sean lo más claros posibles.

Lo primero que vamos a hacer es extender la expresión de la ecuación de Dirac:

$i\partial_t\psi=\left[\vec{\alpha}(-i\vec{\nabla})+\beta m\right]\psi$

$i\partial_t\psi=\left(\alpha_1(-i\partial_x)+\alpha_2(-i\partial_y)+\alpha_3(-i\partial_z)\right)\psi+\beta m\psi$

Como es usual en relatividad renombraremos las coordenadas (t,x,y,z) como $(x_0,x_1,x_2,x_3)=x_\mu$ .

$i\partial_0\psi=\left(\alpha_1(-i\partial_1)+\alpha_2(-i\partial_2)+\alpha_3(-i\partial_3)\right)\psi+\beta m\psi$

Ahora empezaremos a enumerar las propiedades de $(\beta,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ . Como vimos en la entrada anterior estos objetos no pueden ser números ordinarios sino matrices, para que se puedan dar las relaciones de anticonmutación necesarias.

1.- El Hamiltoniano H nos dará la energía del sistema. Sus autovalores han de ser reales y por tanto requerimos que el Hamiltoniano sea hermítico:

$H=H^\dagger$

Dado que $H=\left(\alpha_1(-i\partial_1)+\alpha_2(-i\partial_2)+\alpha_3(-i\partial_3)\right)+\beta m$ . En este caso $m$ juega el papel de la masa de la partícula que estamos describiendo siendo por tanto un escalar real y por tanto hermítico. El momento $p_i=-i\partial_i$ es un operador hermítico, $p_i^\dagger=p_i$ . Esto obliga a que las alfas y la beta sean hermíticas.

$\beta^\dagger=\beta$

$\alpha_i^\dagger=\alpha_i$

Nota: Recordemos que hacer el hermítico conjugado de una matriz consiste en transponer (cambiar filas por columnas) y tomar el complejos conjugado de cada elemento de la matriz. Además si tenemos un producto de matrices AB, al tomar el hermítico conjugado se invierte el orden del producto: $(AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger$ .

2.- Una característica interesante cuando estamos trabajando con matrices es conocer su traza. En este caso podemos demostrar que la traza de las matrices alfas y beta son nulas. Recordemos que la traza de una matriz es el resultado de sumar los elementos de su diagonal principal.

Partimos de $\{\alpha_i,\beta\}=\alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0$ , con lo que tenemos:

$\alpha_i\beta=-\beta\alpha_i$

Ahora calculemos la traza de una matriz alfa, la $\alpha_i$ :

a) $Tr(\alpha_i)$

b) Uno siempre puede decir que una matriz es ella misma multiplicada por la identidad (matriz que únicamente contiene unos en su diagonal principal y el resto son todos nulos).

$Tr(\alpha_i)=Tr(\alpha_i\mathbb{I})$

c) Ya vimos que las matrices alfa y beta verificaban: $\beta^2=\alpha_i^2=\mathbb{I}$ con lo que podemos escribir:

$Tr(\alpha_i)=Tr(\alpha_i\mathbb{I})=Tr(\alpha_i\beta^2)=Tr(\alpha_i\beta\beta)$

d) Usando que $\alpha_i\beta=-\beta\alpha_i$ obtemenos:

$Tr(\alpha_i\beta\beta)=Tr(-\beta\alpha_i\beta)=-Tr(\beta\alpha_i\beta)$

e) Recordemos que las trazas tienen lo que se denomina propiedad cíclica que nos dice (en el caso de tres matrices para simplificar la notación) $Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)$ , por lo que uno puede mover la $\beta$ de la derecha a la izquierda y la traza queda igual:

$Tr(\alpha_i\beta\beta)=Tr(-\beta\alpha_i\beta)=-Tr(\beta\alpha_i\beta)=-Tr(\beta\beta\alpha_i)$

f) Pero el cuadrado de beta nos da la identidad con lo cual:

$Tr(\alpha_i\beta\beta)=Tr(-\beta\alpha_i\beta)=-Tr(\beta\alpha_i\beta)=-Tr(\beta\beta\alpha_i)=-Tr(\mathbb{I}\alpha_i)=-Tr(\alpha_i)$

g) Aquí, igualando el punto de partida a) a este último resultado, obtenemos:

$Tr(\alpha_i)=-Tr(\alpha_i)$

Esto solo es posible si la traza es nula con lo que concluimos que $Tr(\alpha_i)=0$ .

Ejercicio: Demostrar que $Tr(\beta)$ =0

Ayuda: Basta repetir el procedimiento anterior usando que $\alpha_i^2=\mathbb{I}$ .

Así pues tenemos que:

$Tr(\beta)=0$

$Tr(\alpha_i)=0$

3.- También es importante encontrar los autovalores asociados a una matriz. En este caso la situación es simple. Sigamos los siguientes pasos:

a) Usaremos la matriz $\beta$ . Supongamos que tenemos un vector $\vec{v}$ que es propio de $\beta$ . Esto significa que cuando la matriz actúa sobre el vector el resultado es el mismo vector multiplicado por un número (que puede ser complejo):

$\beta\vec{v}=K\vec{v}$

b) Ahora apliquemos otra vez la matriz sobre la expresión anterior:

$\beta(\beta\vec{v})=\beta(K\vec{v})=K\beta\vec{v}=KK\vec{v}=K^2\vec{v}$

c) Pero recordando que $\beta^2=\mathbb{I}$ también podríamos haber llegado a la conclusión:

$\beta(\beta\vec{v})=\beta^2\vec{v}=\mathbb{I}\vec{v}=1\cdot\vec{v}$

d) Como las expresiones finales de b) y c) tienen que ser iguales podemos concluir:

$K^2=1$

$K=\pm 1$

Por lo tanto los autovalores posibles para $\latex \beta$ son únicamente el +1 y el -1, posiblemente degenerados.

Ejercicio: Demostrar que para las matrices $\alpha_i$ los autovalores posibles también son únicamente el +1 y el -1.

Ayuda: El procedimiento es totalmente análogo al anterior.

4.- Vamos a establecer que rango tienen las matrices. Vamos a hacerlo de dos formas.

1º Forma:

Dado que las matrices $\alpha_i$ y $\beta$ son hermíticas entonces son diagonalizables, existe alguna matriz S invertible que consigue llevar a estas matrices a su forma diagonal. Recordemos que una matriz diagonalizada tiene en su diagonal principial sus autovalores.

Centrándonos en $\beta$ (el argumento funciona igual para el resto de matrices) tenemos:

$S\beta S^{-1}=diag(K_1,K_2,\dots,K_n)$

Como hemos visto los autovalores posibles son únicamente +1 y -1. Pero si ademas calculamos la traza de la expresión anterior:

$Tr(S\beta S^{-1})=Tr(diag(K_1,K_2,\dots,K_n))=\sum_{i=1}^n K_i$

Pero resulta que si en la primera expresión usamos la propiedad cíclica de la traza:

$Tr(S\beta S^{-1})=Tr(S^{-1}S\beta)=Tr(\beta)=0$

El resultado se anula como ya demostramos anteriormente. Con lo cual tenemos que imponer:

$\sum_{i=1}^nK_i=0$

La única forma de que una suma de +1 y -1 se anule es tener el mismo número de cada uno de ellos, por lo tanto n tiene que ser par. Así las matriz $\beta$ tiene que ser una matriz n x n, siendo n un número par.

El argumento funciona igual para las matrices alfa.

2º Forma:

Sabemos que se cumple lo siguiente: $\beta\alpha_i=-\alpha_i\beta=(-\mathbb{I})\alpha_i\beta$ . Tomando determinantes:

$det(\beta\alpha_i)=det(\beta)det(\alpha_i)=det(\alpha_i)det(\beta)$ , donde hemos usado las propiedades de los determinantes.

Sin embargo podemos hacer:

$det(\beta\alpha_i)=det(-\alpha_i\beta)=det(-\mathbb{I}\alpha_i\beta)=(-1)^n det(\alpha_i)det(\beta)$

n es el número de elementos en la diagonal de la identidad.

Con lo que tenemos:

$det(\alpha_i)det(\beta)=(-1)^n det(\alpha_i)det(\beta)$

La única forma de que $(-1)^n=1$ es que n sea un número par.

5.- Otra pregunta interesante en este contexto es plantearse si las matrices $\{\beta,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ son linealmente independientes o no. Es decir, si podemos expresar una de ellas como combinación lineal de las restantes.

Supongamos que este es el caso y que podemos expresar $\beta$ como combinación lineal de las matrices alfa:

$\beta=\sum_{i=1}^3b_i\alpha_i=b_i\alpha_i$

(En la última parte de la expresión anterior se usa el criterio de Einstein según el cual si en una expresión con índices hay índices repetidos implica que se multiplican las cantidades con tal índice y se suman los resultados, esto hace que no haya que que usar tantos sumatorios y las expresiones se simplifican)

Las cantidades $b_i$ serían los coeficientes de la combinación lineal y son, en general, números complejos.

Como sabemos, se ha de cumplir: $\{\beta,\alpha_i\}=0$ , con lo que:

$0=\{\beta,\alpha_i\}=\{b_i\alpha_i,\alpha_i\}=b_i\{\alpha_i,\alpha_i\}=2b_i (\alpha_i)^2=2\beta_i \mathbb{I}$

Como dicha expresión ha de ser nula la única posibilidad es que $b_i=0$ para i=1,2,3.

Por lo tanto estas matrices son linealmente independientes.

6.- Para finalizar hay que determinar cuál es el tamaño mínimo de las matrices. Ya hemos visto que su rango tiene que ser par, pero cuál es el mínimo, 2, 4, 6, etc.

Podemos contar los grados de libertad de una matriz compleja de orden n x n. Estas tienen $2n^2$ grados de libertad independientes.

Si la matriz es hermítica los grados de libertad se reducen a $n^2$ . Para estas matrices se ha de cumplir que en la diagonal los elementos son $A_{ii}^*=A_{ii}$ con lo que tenemos n grados de libertad menos y para los elementos fuera de la diagonal tenemos $A_{ij}^*=A_{ji}$ con lo que tenemos $2\times \dfrac{n(n-1)}{2}$ relaciones que satisfacer y por tanto eliminan esos grados de libertad.

$n+n(n-1)=n^2$

Si además la matriz no tiene traza le quitamos un grado de libertad, ya que al menos un elemento de la diagonal ha de ser combinación del resto. Contando todos los grados de libertad:

$2n^2-n^2-1=n^2-1$

Dado que n tiene que ser par, vayamos probando:

n=2:

$2^2-1=3$ No es posible tener las relaciones de anticonmutación requeridas de cuatro matrices con este rango.

$4^2-1=15$ Con este tenemos más que de sobra.

Por lo tanto, n tiene que ser par y al menos 4.

Concluyendo:

Las matrices $\alpha_i$ y $\beta$ son matrices independientes, sin traza, hermíticas, anticonmutan, su cuadrado da la identidas y son de rango 4 o superior.

Hasta aquí la entrada de hoy, seguiremos en breve con la introducción de las matrices gamma de Dirac y entraremos de lleno en el mundo de los espinores en menos que canta un gallo.

Nos seguimos leyendo…

16 Respuestas a “Ecuación de Dirac – Segunda Parte”

Pelayo Queipo | 22 febrero, 2016 en 10:03 | Responder

Excelente blog y excelente entrada. Todo muy bien explicado. Me han quedado claros varios conceptos que aparentemente son importante. Sólo me queda una duda, ¿Por qué con un rango 3 no podemos satisfacer las relaciones de anticonmutación de las matrices?
Un saludo
Enrique Costa | 12 febrero, 2014 en 9:25 | Responder

Hola, debo tener algo oxidada mi álgebra, pero no recuerdo el concepto de grados de libertad de una matriz que usas en el último punto, ¿Podrías darme alguna referencia para refrescarlo un poco?
San | 11 febrero, 2014 en 22:27 | Responder

Hola,

Te felicito por el blog. Con tanta basura en los medios de comunicación, da gusto encontrar uno donde se hable de cultura o ciencias. ¡Así que felicidades por un interés tan noble!

La entrada es interesante y está expuesta de un modo ameno.

Quisiera hacerte un par de preguntas, la primera es sobre física, aunque otro tema distinto del hablado en el texto. La segunda es solo por curiosidad personal.

1- ¿Como queda el principio de conservación de la energía y la entropia con respecto a la gravedad? Parece ser una fuente inagotable de energía.

2- ¿Eres Físico o estudiante de esta carrera? No he visto el perfil de la persona o personas que escriben en el blogue.

¡Gracias por la atención y felicidades por la iniciativa!
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amarashiki | 17 julio, 2013 en 23:59 | Responder

Sería importante mencionar que la ecuación de Dirac supuso el «redescubrimiento» de las álgebras que W.K.Clifford encontró en el siglo XIX, como generalización de las de Grassmann(éstas hoy día también comunes en supersimetría). Además, el estudio de las álgebras de Clifford y el álgebra geométrica aún dista de haber terminado. Es una cuestión «polémica» que hay cierta «batalla» entre los defensores del cálculo tensorial usual y el de formas diferenciales frente al cálculo derivado del álgebra geométrica. Unos y otros se acusan de no ser un lenguaje óptimo o «libre de coordenadas»…Y es una batalla que está ya durando más que la que tuvo lugar entre «cuaternionistas» y «vectorialistas» a finales del siglo XIX y principios del XX…Esto último lo dejo como «apunte histórico». Un saludo. PS: En tu penúltimo párrafo te falta poner «latex entre los símbolos» de dólar para que salga el oportuno símgolo matemático.
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Carlos Reyes | 11 julio, 2013 en 19:13 | Responder

Fantistica entrada, que siguiendo la secuencia no se pierde nada, todo es aprovechable, gracias CC por este grandioso esfuerzo y dedicación que tu nos ofrece, te estamos muy agradecidos.
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Alejandro | 9 julio, 2013 en 23:27 | Responder

Muy buenas entradas!! Gracias por la calidad y dedicación al momento de explicar… Solo por una cuestión de orden te pregunto, ¿estas entradas son el inicio del curso técnico de espinores o la continuación del curso técnico de Introducción a la QFT? Gracias!!!
Jorge Martínez | 9 julio, 2013 en 21:28 | Responder

increíble… la explicación fue sencilla de entender.. me alegra el curso de mecánica cuántica de campos, es de las ramas de la física de que más me gustaría aprender
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Tomás Valega | 9 julio, 2013 en 15:10 | Responder

Me gustaría entender bien esta matemática!!! En Ingeniería llevamos hasta Análisis IV pero veo que no es suficiente. Me sugiere algún libro , que empeñosamente trataré de comprender, para que más tarde pueda revisar paso a paso como funcionan estas ecuaciones tan interesantes ya que por acá está la esencia del universo. Un amigo de Cuentos Cuánticos.
- Cuentos Cuánticos | 9 julio, 2013 en 15:24 | Responder
  
  Lo que hemos empleado en esta entrada no es más que lo que se estudia en un curso de algebra lineal. Hay que saber trabajar con determinantes, trazas y conceptos de algebra lineal como rangos, diagonalización, autovalores y autovectores. Cualquier texto de algebra lineal te serviría.
  
  Un saludo.
  - Tomás Valega | 9 julio, 2013 en 15:34 | Responder
    
    Efectivamente. He encontrado que en esta misma página hay bastante ayuda para ir entendiendo los conceptos sobre todo referente a la matemática utilizada. Mis saludos y felicitaciones por este estupendo trabajo.
    
    Saludos,