Juegos paradójicos

Me pide mi amigo Enrique que escriba algo para celebrar los dos años de su fantástico bitácora. Siguiendo mi antigua tradición cada vez que colaboro con este blog, me propongo relatar algo relacionado con las matemáticas, pero nacido de la mente de un físico, lo cual prueba que los físicos son mucho mejores que lo que algunos piensan. Puede que estéis apostando por Newton o Feynmann o alguno otro por el estilo, pero la realidad es que el protagonista de esta historia no está ni en desiertos remotos ni en montañas lejanas. Nos lo podemos encontrar en la capital del (por poco tiempo) Reino, en cuya universidad complutense ejerce su magisterio.

Pero antes de presentar a nuestro protagonista veamos un par de juegos bien simples:

Para jugar ambos juegos disponemos de un total de 100€.
El primer juego, al que en un alarde de originalidad llamaremos juego A (por la primera letra del alfabeto), consiste en apostar en cada turno 1€ y perderlo siempre. Evidentemente no es el más apetecible de los juegos y al cabo de 100 turnos habremos perdido todo nuestro dinero.
El segundo juego, al que llamaremos B, como los más sagaces entre los lectores ya habían adivinado, consiste en contar el dinero que nos queda, si es una cantidad par ganamos 3€, si es una cantidad impar perdemos 5€. No es difícil de analizar tampoco este juego y los 100€ iniciales también se desvanecerían al cabo de 100 turnos. Pero ahora veamos qué ocurre si podemos jugar alternativamente ambos juegos tan malos para nosotros:
Empecemos por B: tenemos 100€ y, por tanto, ganamos 3€ para colocarnos en 103€, ahora juguemos A y perdemos 1€ y nos situamos en 102€, si ahora jugamos B, volvemos a ganar y ya tenemos 105€. Así, si jugamos BABABABA… (N.B.: señor Rajoy: los puntos suspensivos son tres y no cuatro como usted se empeña en escribir en sus mensajes de texto), al cabo de 100 turnos hemos ganado 100€.
¿Qué ha ocurrido aquí? Sencillamente que mezclando de forma adecuada dos juegos perdedores, hemos obtenido un juego ganador. Esto es lo que se conoce, inapropiadamente, como la paradoja de Parrondo, que toma su nombre de Juan Manuel Rodríguez Parrondo, profesor del departamento de Física atómica, molecular y nuclear de la complutense. Aclaro que lo que me parece inapropiado es llamarlo paradoja, no que tome su nombre del bueno de Juan Manuel. También aclaro que existen secuencias que no son tan favorables como la anterior, porque si jugamos ABABABA…, cada dos turnos perdemos 6 euros.

El profesor Rodríguez Parrondo

Naturalmente, desde que esta paradoja alcanzó cierto renombre, en parte gracias a la labor divulgadora del australiano Derek Abbot (como el mismo Rodríguez Parrondo admite en esta entrevista), se ha tratado de aplicar en muy diversos campos, como la ingeniería, dinámica de poblaciones y, muy especialmente, en economía, disciplina en la que, de alguna u otra forma, esta paradoja siempre se ha aplicado en los mercados bursátiles bajistas intentando aprovechar los dientes de sierra que todo valor presenta para conseguir una estrategia alcista. Por ejemplo, el también físico Sergei Maslov desarrolla en este trabajo una estrategia de compra y venta de acciones que, en algún sentido, está íntimamente ligada con la paradoja de Parrondo. También en Genética, explica por qué dos alelos que por separado tenderían a desaparecer por selección natural, pueden reforzarse si aparecen juntos en un mismo organismo.

Pero, no olvidemos que soy matemático, propongamos otros dos juegos con monedas (y así introducimos el azar), parecidos a los que he comentado anteriormente para examinar con mayor profundidad la paradoja de Parrondo desde un punto de vista probabilístico. De hecho, estos son los dos juegos que propone el propio Rodríguez Parrondo en su web:

Para el nuevo juego A necesitamos una moneda ligeramente descompensada y de tal forma que la probabilidad de cruz sea algo mayor que ½ (diremos que 1/2+ε, donde ε es un número pequeño y positivo) y, por tanto, la de cara será 1/2-ε. Nuestra obligación es siempre apostar un euro a que saldrá cara y, por tanto, este también es un juego perdedor. Efectivamente, al cabo de n turnos habremos perdido aproximadamente n(1/2+ε)-n(1/2-ε)=2nε euros. Para el nuevo juego B necesitamos dos monedas. La primera de las monedas (moneda G) nos favorece y hace que ganemos con un (3/4-ε) de probabilidad. La segunda (moneda P) es perjudicial y perderemos con ella (9/10-ε) de las veces. Para determinar cuál de las dos monedas jugamos, lo que haremos, como antes, es contar nuestro capital, si es múltiplo de 3 jugaremos con la moneda mala y si no lo es, utilizaremos la buena. Así, aproximadamente jugaremos con la moneda buena el doble de veces que con la mala (no es del todo cierto, dado el carácter del juego, pero vale como simplificación), pero como la maldad de la moneda P es mucho más del doble que la bondad de la moneda G, este juego también es perdedor. Lo curioso es que para este par de juegos el comportamiento si lo jugamos alternadamente y escogemos ε adecuadamente, es mucho más interesante que el juego simplificado que contamos al principio. Efectivamente, aunque ambos juegos son perdedores, casi cualquier mezcla que hagamos entre ellos resulta ser un juego vencedor, pero voy a intentar aclararlo a continuación:
Un ε adecuado (no es difícil ver la razón, pero la omito para evitar tecnicismos) puede ser ε=0.005. De la propia web de Rodríguez Parrondo copio la siguiente gráfica que muestra distintas simulaciones de los dos juegos A y B combinados:

Cada una de las líneas representa una combinación específica de ambos juegos. La línea superior, marcada con [3,2] significa que jugamos tres veces A, después dos B y así sucesivamente, la siguiente, marcada con [2,2] significa que jugamos 2 veces A, 2 veces B y así sucesivamente. En dicho gráfico vemos que no solo los tres patrones estudiados salen ganadores, sino que también si decidimos aleatoriamente en cada momento cuál de los dos jugar (línea random), también obtenemos un juego ganador. Naturalmente, a partir de esta gráfica, surgen varias preguntas y existen muchos trabajos que tratan de responder a dichas preguntas: ¿cuáles son las secuencias ganadoras? ¿existe una estrategia óptima? En este sentido, es conocida la secuencia óptima: repetir el patrón ABABB (ello ha sido demostrado por un compañero de departamento del propio Rodríguez Parrondo: Luis Dinis (Luis Dinis, “Optimal sequence for Parrondo games”. Physical Review 77 (2) Article Number: 021124 – FEB 2008). El método seguido por Dinis no es trivial, pero abre nuevas puertas para el examen de diversos juegos de Parrondo y plantea la búsqueda de los juegos de Parrondo “más paradójicos” en el sentido de que dos juegos muy negativos den combinados juegos muy positivos o de juegos de Parrondo combinación de más de dos juegos o en los que el capital no juegue ningún papel.

Por último, me gustaría destacar que en campos tan alejados como la psicología o la sociopolítica se ha señalado que las paradojas de Parrondo pueden jugar algún papel. Por ejemplo, mentir en política suele ser negativo (o debería serlo) y tener una aventura extramatrimonial también suele ser negativo para la opinión pública. Así, cuando se supo que el presidente Clinton había tenido una aventura con Mónica Lewinski, su popularidad decreció, cuando la negó, volvió a decrecer, pero cuando admitió que había mentido, su popularidad sobrepasó los valores iniciales. Con esto no estoy animando a nuestros políticos a que mientan y admitan que han mentido, más bien los conmino a tener muchas aventuras matrimoniales, extramatrimoniales y de todo tipo, puede que con esta receta no mejoren como políticos, pero seguro que estarán menos amargados y así saldremos todos ganando.

Felicides Enrique, muchas felicidades querido gato.