Se habla mucho de dimensiones extra, de si nuestro universo puede tener más dimensiones de las que vemos, de si son grandes o pequeñas, de si las veremos en el LHC. Pero, ¿cómo afectaría a la física de las cosas más cotidianas, como el átomo de hidrógeno, la existencia de dimensiones extra? ¿Podrían existir átomos en un universo con más dimensiones de las que vemos? ¿Qué le pasaría a la estabilidad del hidrógeno si existieran más dimensiones espaciales?
Este es un tema muy interesante por varios motivos. Primero porque la física del hidrógeno es conocida ampliamente. Segundo, porque hay resultados para todos los gustos respecto a estas preguntas. Hay trabajos que muestran que se pueden dar átomos de hidrógeno estables en espacios con más de tres dimensiones espaciales, que se pueden dar bajo circunstancias especiales, y que no se pueden dar en absoluto.
En esta entrada el objetivo es presentar los trabajo que tratan el tema y dar mi opinión personal a algunas de las ideas que se toman como base de los cálculos. Espero que el tema os resulte interesante.
Motivaciones para las dimensiones extra
Vivimos en un universo de 3 dimesiones espaciales y el tiempo. Y, ciertamente, vivimos muy cómodos en él. Sin embargo, una y otra vez, aparecen en física ideas que requieren un número mayor de dimensiones por diversos motivos. Haciendo una lista no exhaustiva:
– Teoría de Kaluza-Klein: Esta teoría aumenta las dimensiones del espaciotiempo de 4 a 5 y es capaz de describir gravedad y electromagnetismo con un único esquema teórico.
– Teoría de supercuerdas: En esta teoría las dimensiones se amplían hasta 10 u 11 (pueden ser 12) para que su formulación sea consistente.
– Modelos de Randall-Sundrum: Estos modelos aluden a una dimensionalidad mayor del espaciotiempo como respuesta al problema de la jerarquía en la física de partículas.
Hay otras propuestas y otras motivaciones, pero esencialmente esas son las tres razones para acudir a modelos con un número de dimensiones espaciales mayores que 3. Unificación, consistencia y solución de problemas del modelo estándar.
Ahora bien, una vez que tenemos la idea de que es posible, en principio, que nuestro universo tenga más dimensiones de las que notamos, y si no fuera así siempre podríamos hacer el ejercicio abstracto de imaginar tal situación, ¿cómo afectaría eso a la física de andar por casa como, por ejemplo, la estabilidad atómica?
¿Dependen las leyes físicas de la dimensión del espaciotiempo?
¿Pueden nuestras ecuaciones, confirmadas experimentalmente, decirnos algo acerca de tal dimensión?
Sin duda, estas son preguntas interesantes ya que respondiéndolas aprenderíamos mucho sobre nuestro universo y la física que observamos a nuestro alrededor.
Hidrógeno
Nuestro querido, y bien conocido, átomo de hidrógeno es un sistema simple que se deja modelar por nuestras ecuaciones de manera exacta y que nos permite jugar con él en modelos exóticos.
La descripción actual del hidrógeno involucra la mecánica cuántica, podemos dar cuenta de su estructura de niveles de energía resolviendo la ecuación de Schrödinger para dos partículas de igual carga en magnitud pero de distinto signo (una de ellas mucho más pesada que la otra). También es posible dar una descripción cuántico relativista resolviendo la ecuación de Dirac. Los resultados obtenidos en ambas situaciones concuerdan de manera espectacular con las medidas experimentales.
Sabemos que el electrón puede ocupar distintos orbitales con mayor o menor energía. Sabemos que la energía que liga al electrón y al protón en el hidrógeno viene dada por el potencial de Coulomb que depende de forma inversa de la distancia entre esas dos partículas: 1/r.
El potencial de Coulomb tiene el siguiente perfil:
Que sea negativo, en este contexto, únicamente nos indica que estamos trabajando con un fenómeno atractivo entre dos cargas de distinto signo.
Al resolver las ecuaciones cuánticas encontramos los niveles de energía:
Donde vemos que hay un mínimo de energía, es la energía más baja que puede tener el sistema, no puede haber un estado con menor energía que esa.
Que la energía del sistema sea negativa y que tenga un mínimo indica que el sistema es estable. Es decir, el electrón y el protón no se separan espontáneamente y, en cierto sentido, están «cómodos» formando un sistema ligado. (La energía del estado ligado es menor que la energía de ambos por separado).
¿Hidrógeno en dimensiones extra?
Dimensiones espaciales extra infinitas y cartesianas
Es evidente que dimensiones espaciales infinitas solo hay tres. Si hubiera otras tendríamos constancia de ellas. Pero los físicos acostumbran a jugar con las características del universo en sus ecuaciones haciendo suposiciones arriesgadas.
Paul Ehrenfest, en 1917, estudió la posibilidad de dimensiones espaciales mayores que 3 en lo tocante a los potenciales gravitatorio y eléctrostático, ambos con dependencia 1/r.
Su conclusión fue (ver también el artículo de Tangherlini), y es la que ha sido aceptada por mucho tiempo, que para dimensiones mayores que 5 la energía se hace positiva y por lo tanto no hay ningún estado estable en el sistema ligado protón-electrón. Sin embargo, los argumentos proporcionados en estos trabajos eran heurísticos y no daban prueba definitiva alguna de su validez.
Otros, como en el artículo:
Is there a stable hydrogen atom in higher dimensions?
Deducen que sí es posible que existan tales estados ligados estables. El problema es que ellos usan el potencial electrostático 1/r para todas las dimensiones. Ellos dan argumentos basados en experimentos de dispersión tipo Rutherford, sin embargo, eso implica que se ha de cambiar la teoría de Maxwell. Al resolver las ecuaciones de Maxwell en dimensiones extra el potencial entre el protón y el electrón no es del tipo 1/r sino que adquiere modificaciones que dependen del número de dimensiones en las que trabajemos. Si nos empeñamos en mantener el potencial 1/r tenemos que modificar la teoría de Maxwell. Se puede mostrar, y lo explican en el artículo, que la diferencia estriba en que la ley de Gauss ya no es válida.
Esto me supone un problema, ¿por qué?
a) La ley de Gauss es la que obliga a la teoría a verificar la simetría gauge. Y esta simetría es la que define la interacción electromagnética. (Para una explicación sin fórmulas de eso de teoría gauge: Gauge esto, gauge lo otro…)
b) Esto implica que la estructura de la interacción ya no es la que conocemos, la simetría que ha de verificar se pierde y eso haría que la electrodinámica en versión cuántica en dimensiones extra no sería fácilmente construible.
Para mí, imponer que independientemente del número de dimensiones el pontencial de Coulomb es 1/r trae más problemas que beneficios.
Dimesiones pequeñas y compactas
Dado que no vemos la influencia de dimensiones extra, de existir estas tienen que estar dispuestas de forma que se cierran sobre ellas mismas y su tamaño es muy pequeño. Esto haría que nuestras partículas y nuestras interacciones no las sentirían.
Así, si en cada punto del espacio tienemos dimensiones extra cerradas sobre ellas mismas tendríamos algo así (suponiendo que nuestro universo es el espacio bidimensional de la figura):
Los estudios realizados en este contexto, con dimensiones extra compactas y pequeñas, diferencian varios regimenes:
1.- Potencial débil: En el que es posible tener estados estables.
2.- Potencial fuerte: En el que no es posible tener estados estables.
Sería interesante ver el valor máximo del radio de compactificación que haría la transición de tener estados estables a estados no estables.
El trabajo, para una única dimension adicional, infinita y compacta es:
Atoms In Compactified Universes
Conclusión
Este es un tema ciertamente especulativo. Pero, en mi opinión, es muy interesante comprobar hasta que punto controlamos la física para poder extender nuestro razonamientos (basados en sistemas bien conocidos) a situaciones abstractas.
No hay ningún resultado definitivo a este respecto, hay demasiadas variables en juego, forma del potencial electrostático, forma de resolver la ecuación de Schrödinger en dimensiones extra, aproximaciones, etc.
En contra de lo que pueda parecer, estos trabajos son maravillosos laboratorios mentales para comprobar hasta que punto conocemos la física que nos rodea y sus posibles extensiones. A veces, lo mejor es volver la vista a sistemas cotidianos e intentar llevarlos a situaciones extremas y novedosas para ver la consistencia de nuestras propuestas teóricas en contextos más molones.
Para los que quieran profundizar:
On the Existence of Hydrogen Atoms in Higher Dimensional Euclidean Spaces
Nos seguimos leyendo…
Cuentos Cuánticos 
Me encontré este tema, y aunque no he leído aun estos estudios, mi intuición me dice que si puede haber mas dimensiones espaciales, una al menos, donde los fenómenos cuánticos comienzan a tener sentido, y nuestra tercera dimensión seria solo una aproximación estadística de superposiciones espaciales de estos estados espaciales de las partículas.
Hombre, creo que no se puede asumir por las buenas que se vayan a mantener las mismas propiedades si hubiera mas dimensiones espaciales, en las dimensiones en las que no hubieramos verificado esto. Mantener la relacion 1/r seria unicamente una posibilidad.
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Cosmografia del universo :Cuando veo ese video, http://www.youtube.com/watch?v=NrMubFvV-VU
especulo que de haber alguna dimensión no evidente en nuestra escala sería evidente a una escala mucho mayor, la escala de la cosmografia es impresionante y un buen laboratorio para buscar. La emergencia de propiedades o incluso dimensiones según la escala es un tema que me intriga, he leido comentarios diciendo que el espaciotiempo puede que pierda una dimensión en la escala de planck, o verlo al reves como emergencia de dimensiones.