Cuántica y Garabatos IV

Ya hemos descrito someramente el significado de los diagramas de Feynman y hemos analizado la información contenida en los vértices del mismo. Ahora toca ponerse serios y trabajar un poco más a fondo con los bichos estos.

En esta entrada vamos a tratar de explicar varias cosas:

Cómo se calcula un diagrama de Feynman sin loops internos.
Vamos a usar matemáticas de una forma muy visual. El objetivo es que se lea y, esto ya depende de ti, que se olvide rápidamente. Lo importante es seguir la discusión y ver que detrás de cada diagrama realmente hay un número.
Vamos a toparnos con una cosa interesante, esa cosa está relacionada con las famosas partículas virtuales.

Esta entrada forma parte del minicurso: Diagramas de Feynman. Cuántica y Garabatos. Y es la continuación de:

Cuántica y Garabatos I

Cuántica y Garabatos II

Cuántica y Garabatos III

El diagrama se ha subido a un árbol

El ejemplo que vamos a trabajar es el siguiente:

Este diagrama no presenta loops internos, es lo que se conoce como un diagrama a nivel árbol (por aquello de que solo tiene ramificaciones). Recordemos que el diagrama lo leeremos de izquierda a derecha.

Tal y como está presentado el diagrama no tiene ninguna interpretación, es simplemente un conjunto de puntos y rayas. Iremos dotándolo de significado a lo largo de la entrada.

Los vértices lo primero

Lo primero que tenemos que hacer para calcular el número que esconde ese diagrama es identificar los vértices. Una vez identificados asumiremos que hay una interacción con una constante de acoplo (intensidad) dada por g.

Por lo tanto, en cada vértice tenemos un factor $ig$ y la contribución de la constante de acoplo vendrá dada en este caso por el factor:

Ya tenemos el primer trozo del número $\mathcal{M}$ .

Un momento o los que hagan falta

Las líneas del diagrama representan partículas de un determinado campo, en este caso no especificado. Pero para dar sentido al dibujo tenemos que decir qué partículas entran y salen de los vértices, para ello tenemos que indicar hacia donde fluye el momento relativista, el momento relativista o 4-momento tiene la información de la energía de la partícula y de su momento lineal $(E,\vec{p})$ .

Vamos a suponer que en nuestro ejemplo las partículas fluyen tal que así:

Interpretación:

La partícula 1 (momento $p_1$ verde) entra al vértice de interacción y genera la partícula 3 (momento $p_3$ violeta) y la partícula interna 1 (momento $q_1$ azul).
La partícula interna se propaga desde el primer vértice al segundo.
La partícula interna 1 es absorbida por la partícula 2 (momento $p_2$ naranja) que emite la partícula 4 (momento $p_4$ lila).

La asignación de momentos puede variar como veremos en próximas entradas, esta solo es uno de los casos posibles.

Cuidado con los vértices

Hemos de ser muy cuidadosos con los momentos y los vértices. Tenemos que estar seguros de que en nuestros cálculos respetamos en todo momento la conservación del momento y la energía, que en términos relativistas es la conservación del cuadrimomento, 4-momento o momento relativista.

Así pues tenemos que satisfacer esa ley que se puede parafrasear como:

No puede salir ni entrar más de lo que entra o sale.

Aplicando esto a nuestro ejemplo con la asignación de momentos elegida tenemos que asegurarnos que se verifican las siguientes condiciones:

Tomando un rodeo, La delta de Dirac

Vamos a dar un rodeo con esto de los diagramas de Feynman y vamos a enfrentarnos a uno de los arcanos de la matemática, la delta de Dirac. Este símbolo matemático es de una utilidad y una simplicidad bellísima y tiene tras de sí un cuerpo teórico del máximo grado de abstracción. No voy a entrar en los detalles matemáticos de la cosa esta de la delta, función, distribución, etc. Lo que pretendo es mostrar por qué los físicos se ponen enormemente felices cuando se topan con una delta en el lugar adecuado y el momento justo.

Definición operacional

La delta de Dirac funciona cuando está bajo el paraguas de un símbolo integral. (Una integral no es más que una suma de muchísimos trozos pequeños, pero no es más que una suma al fin y al cabo). Y su mecanismo de acción es el siguiente:

Precioso, ¿no?

Lo que indica esta definición es lo siguiente:

Cuando tenemos la integral de una función $f(x)$ contra una delta de Dirac del tipo $\delta (x-a)$ , el efecto es que la delta obliga a la integral a escupir la función de su interior evaluada en el valor que le indica la delta.

Tal vez esto no haya quedado meridianamente claro, pero vamos a integrar la función $\dfrac{1}{x^2-1}$ contra la delta $\delta (x-3)$ . Si seguimos lo indicado arriba obtendremos:

El resultado final es la misma función que tenemos dentro de la integral solo que con la variable x sustituida por la cantidad que te indica la delta. ¿Puede ser más fácil?

Sin embargo, nos toparemos con problemas donde tengamos más de una variable, como en el siguiente ejemplo:

Aquí estamos integrando en la variable $x$ y en la variable $y$ . Para identificar cuales son las variables solo hay que mirar a los factores $dx$ , $dy$ en la integral. Ellos son los que dictaminan cuantas variables estamos integrando.

Observamos que tenemos dos deltas y que tenemos que integrar dos variables. ¿Cómo hacemos esto? Hagámoslo paso a paso:

1.- Primero seleccionamos que variable integramos primero. En este caso la elección casi está clara porque la función de partida solo depende de la variable $y$ y no de la $x$ :

2.- Ahora solo tenemos que dejarnos llevar por el efecto de la delta, vamos a sustituir la variable $y$ de la función por la variable $x$ :

3.- Aún nos queda un paso más que realizar, integrar la variable $x$ que es lo que nos falta. (Observad que en este paso ya no hay variable $y$ porque ha sido integrada anteriormente). Podéis imaginar el resultado:

$=\dfrac{1}{3^2-m^2}$

Y con esto dejamos nuestro paseo por las deltas de Dirac.

¿Todo esto para qué ha servido?

En realidad esto de las deltas no ha sido un capricho por mi parte, que también, sino que las necesitamos para un punto clave que ya hemos comentado. ¿Para cuál?

Para forzar a que se cumpla la conservación de la energía/momento en cada vértice.

Miremos de nuevo la forma en la que se calcula el número que se esconde detrás del diagrama de Feynman:

Para calcular $\mathcal{M}$ hay que SUMAR para todas las energías posibles de las líneas internas. Como hemos comentado sumar para todos los valores de la energía en este contexto significa sumar todos los posibles valores del momento relativista de las partículas representadas por las líneas internas. Pero también hemos de recordar que SUMAR para todos los valores no es más que INTEGRAR (El signo integral no es más que una S de suma alargada). Así, que podemos decir que la forma de calcular $\mathcal{M}$ en nuestro caso se puede expresar así:

$\mathcal{M}=\int{(COSAS)\times dq_1}$

Tenemos que integrar para todos los valores posibles del momento de la partícula interna.

Hasta ahora lo que tenemos es:

Los vértices tienen una contribución de $(ig)^2$ .
Tenemos que hacer una integral para todos los valores del momento de la partícula representada por la línea interna, es decir, todos los valores de $q_1$ .
Tenemos que imponer que el momento se conserve en los vértices.

Entonces la pregunta es:

¿Cómo imponemos en una integral que haya una conservación del momento?

Respuesta: Usando deltas de Dirac.

Dejémonos llevar un momento y en breve veremos como funciona esta maquinaria en todo su esplendor. Lo que hay que saber es cómo construir las deltas para asegurar que el momento-energía se conserva en los vértices. Sería una cosa así:

1.- Partimos de nuestro diagrama con los momentos relativistas asignados:

2.- En el primer vértice la conservación del momento significa una cosa así:

Que en términos de la delta de Dirac se escribe:

Luego veremos como actúa este pequeño engendro matemático. Y como información adicional, el factor $(2\pi)^4$ aparece por cuestiones técnicas que no vienen a cuento ni son relevantes para la discusión que estamos llevando.

3.- Para el segundo vértice construimos la delta de una forma análoga quedando al final como:

La línea interna

Nos queda un elemento importante, el relativo a la información que porta la línea interna.

Dicha línea, como ya hemos comentado, representa la propagación de una partícula desde un vértice al otro. Entonces tenemos que asignarle algo que nos de la contribución a la probabilidad del proceso de forma que tenga la información de la propagación requerida entre los vértices. A dicha información se la conoce como propagador. El propagador no es más que eso, la contribución al número $\mathcal{M}$ que se esconde en el diagrama que nos informa de partículas que se propagan de un vértice a otro entre los estados inicial y final.

El cálculo del propagador es uno de los triunfos de la teoría cuántica de campos, desgraciadamente dicho cálculo queda, por ahora, fuera del nivel de estas entradas. Así que me gustaría que quedara clara la idea de que las líneas internas tienen asociados propagadores, punto pelota.

En el ejemplo que estamos trabajando, el propagador tiene la siguiente forma:

Este propagador contiene la información siguiente:

a) Tiene información acerca del cuadrado del cuadrimomento de la partícula interna. Es decir, nos informa de su energía y de su momento espacial.

b) Tiene información acerca de la masa de la partícula asociada al campo que tiene dicha partícula interna asociada. Como hemos dicho en teoría cuántica de campos todo campo tiene una o varias partículas asociadas. Dichas partículas tienen una masa, esa es la que aparece en el denominador del propagador elevada al cuadrado.

El cálculo del número $\mathcal{M}$

Ya tenemos todos los ingredientes necesarios para ejecutar la receta que nos permita calcular el número $\mathcal{M}$ . Vamos a ello…

Recordemos una vez más la forma simbólica en la que se calcula dicho número:

Ahora escribamos eso de una forma más formal con los datos que hemos ido acumulando:

$\mathcal{M}=$

Como se aprecia está todo lo que hemos ido definiendo en la entrada. ¿Hay alguna duda?

¿Cómo se calcula esto?

Para hacer este cálculo vamos a ir metiendo mano a las deltas. Empezaremos siempre por la delta que involucre a los estados finales o iniciales con una línea interna. En este caso es simple ya que tanto el estado inicial como el final están conectados a través de vértices a la única línea interna existente.

Ahora lo que vamos a hacer es integrar la función que depende del momento de la partícula/línea interna, el propagador, con la delta que conecta su momento $q_1$ con los momentos de las partículas 2 y 4.

Lo único que tenemos que hacer es sustituir en el propagador la variable $q_1$ por el resto de términos de la delta, en este caso $(p_2-p_4)$ . Fijáos que en la otra delta hay un elemento $q_1$ que tiene que sufrir el mismo tratamiento. El resultado final es:

En el resultado nos queda una delta, eso en principio es malo, pero tenemos que reconocer en ella un término que nos asegura que el momento del estado inicial y el momento del estado final tienen que ser lo mismo. Es decir, nos informa de que todo el proceso ha ido bien, que todo se conserva como debe, así que la eliminamos y fuera, ya que no aporta ninguna información.

El número $\mathcal{M}$ es por tanto:

$\mathcal{M}=-i(2\pi)^4\dfrac{g^2}{(p_2-p_4)^2-m^2}$

La probabilidad del proceso vendrá dada por:

Nota: En esta notación el número $\mathcal{M}$ es simplemente $-(2\pi)^4\dfrac{g^2}{(p_2-p_4)^2-m^2}$ , dejando fuera explícitamente la unidad imaginaria $i=\sqrt{-1}$ .

Con esto, midiendo los momentos de la partícula 2 y la partícula 4 tenemos perfectamente delimitada la probabilidad del proceso representado por el diagrama. Evidentemente, podríamos haber hecho lo mismo para la partícula 1 y 3 sin más que integrar en primer lugar la primera delta que hemos escrito, ¿lo intentas?

La sorpresa de lo virtual

Todo esto esconde una sorpresa. Hay que mirar un poco la expresión de la integral que conduce al cálculo de $\mathcal{M}$ para notarlo teniendo en mente el significado del cuadrimomento de la línea interna.

En relatividad especial el cuadrado del cuadrimomento se puede escribir del siguiente modo:

Es decir, el cuadrado del cuadrimomento nos da, en condiciones normales, la masa al cuadrado de la partícula que porta dicho cuadrimomento. Pero… ¿Qué pasa aquí? El propagador tiene la siguiente forma:

¿Eso no es algo dividido por cero? ¿No nos decían en el colegio que eso da infinito?

La respuesta es, NO.

Aquí estamos en el reino de la cuántica y las cosas no son lo que parecen. Para entender qué está pasando aquí hay que mirar la integral que nos permite calcular $\mathcal{M}$ una vez más. Permitidme que la simplifique resaltando únicamente lo esencial para esta discusión:

En esa integral estamos sumando para todos los valores de $q_1$ , es decir, estamos asumiendo que es una variable independiente, que no está ligada por ninguna restricción. Por lo tanto, tanto en cuanto tengamos esa variable tras el signo integral no podemos decir que vale $m^2$ .

¿Qué significa eso?

Lo que significa eso es que en los diagramas de Feynman las líneas internas no están sujetas completamente a la relatividad especial, pueden tener cuadrimomentos que valgan cualquier cosa y no solo la masa de la partícula en cuestión al cuadrado.

Evidentemente, como hemos visto, tras hacer los cálculos todo confabula para que no podamos observar este siniestro comportamiento. Al final, el momento global entre el estado inicial y el final se conservan — gracias a imponer la conservación en cada vértice del diagrama –.

¿Podemos observar este hecho de partículas que se propagan sin hacer caso de la relatividad especial? No, no podemos. Recordad que los diagramas de Feynman no son representaciones «realistas» de los procesos y que solo nos dan un instrumento para el cálculo de las probabilidades de los fenómenos entre partículas elementales. A las partículas asociadas a las líneas internas se les dice que están fuera de su capa de masas, es decir, que no verifican la relatividad especial en lo tocante al cuadrado de su cuadrimomento. Pero dichas líneas internas no se pueden observar, se las denomina partículas virtuales. Así que solo es una interpretación, lo único que podemos hacer es llegar al final en los cálculos, obtener las probabilidades de los procesos según los distintos diagramas de Feynman considerados y comprobar experimentalmente si se adecuan a los resultados reales de los experimentos.

Hasta la fecha podemos decir que la teoría cuántica de campos en su aplicación a la física de las partículas elementales es la teoría mejor confirmada experimentalmente de la historia. La concordancia entre resultados teóricos y medidas experimentales sobrepasa con mucho lo espectacular. Por tanto, estas partículas virtuales solo existen en el contexto de los cálculos realizados siguiendo los diagramas de Feynman. Hay otras formas de calcular que no involucran este tipo de partículas fuera de su capa de masas. El problema viene de que el uso de los diagramas de Feynman es tan común y su interpretación es tan fácil que se toma como si fueran la representación de la cruda realidad. No es así, solo son una hermosa y poderosa herramienta que nos permite soñar y dibujar los procesos cuánticos de las partículas elementales. Pero los sueños, sueños son.

Nos seguimos leyendo…

10 Respuestas a “Cuántica y Garabatos IV”

Miguelon | 12 septiembre, 2015 en 11:48 | Responder

Excellent.
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José Luis Gil | 16 octubre, 2014 en 12:01 | Responder

He leído todas las entradas referente ala Loop Quantum Gravity y me han parecido excelentes y acertadísimas por su simplicidad y claridad en sus planteamientos. ¡¡Muchas felicidades!!.
Estoy haciendo el curso de el libro de Gambini -Pullin, conozco artículos de Rovelli y Smolin. La mayoría cuando no pueden expresar con claridad ciertos planteamientos, te derivan a desarrollos matemáticos complejos.
En una de las entradas (19/9/2011).Se hacia referencia a, @ricardocosan y veo que prácticamente me surgen las mismas preguntas .. ¿Cómo asignar valores a las (j) ?. La respuesta es de manera arbitraria que sea compatible con ciertos valores. ¿ Como se construye una región del espacio tiempo de una red de espín?. ( Entiendo los limites de la teoría)
Quería haceros el siguiente planteamiento: Aplicar la «LQG » , partiendo de que no hace falta un universo previo que colapse para llegar rebote . Antes del Gran Rebote, el universo pudo haber existido en un estado cuántico inimaginable ,no semejante al espaciotiempo todavía, cuando algo provoco la gran explosión y la formación de atomos de espaciotiempo .
Muchas gracias
Jerus | 15 octubre, 2014 en 23:34 | Responder

Tengo una pregunta que se me acaba de ocurrir ahora, ¿Hay alguna razón por la que en un vértice sólo haya una única partícula mensajera? ¿No podrían ser varias?
Curioseando | 15 octubre, 2014 en 22:02 | Responder

Ummm, la cuestión es que las partículas virtuales sí tienen efectos medibles, por ejemplo, en el apantallamiento de carga. Están ahí, bullendo.
El zombi de Schrödinger | 15 octubre, 2014 en 14:51 | Responder

Este capítulo me lo tengo que leer varias veces. Fascinante. Muchas gracias por la serie ^_^
GURKEN | 15 octubre, 2014 en 8:50 | Responder

Sorprendente y maravilloso. La conclusión de que las partículas internas, lo que ocurre en el tiempo que transcurre desde las partículas iniciales (observables) a las partículas finales (observables) no cumplen la relatividad especial, equivale a decir efectivamente que son «virtuales» es decir no reales (un invento o artificio fisico-matemático) quenos permite pasar de una situación inicial observable a otra final también observable después de un cierto tiempo «t» que creosi que es medible (tiempo de vida de la «partícula virtual». La conclusión sería que no tenemos ni idea de lo que ocurre realmente en ese tiempo, pero aún así somos capaces de calcular la probabilidad de que un cierto suceso de interacción inicial de otro cierto producto final. Por una lado es una alivio pensar que estas partículas virtuales( que son bastantes) no dejan de ser una invención nuestra que nos posibilita los cálculos (y la QED es la teoría más comprobada y con mayor precisión) y por el otro nos muestra nuestro profundo desconocimiento de lo que sucede en el mundo cuántico en las transiciones de unos estados a otros, o de unas partículas observables a otras «producto» de una interacción de las anteriores. Es como si el mundo se nos mostrase OCULTO durante espacios temporales muy pequeños, y se nos quedase VELADO. Pensar que toda la QED proviene por la consideración relativista de DIRAC sobre el electrón, para que luego termines diciendo que lo que ocurre en las transiciones no respeta la relatividad resulta sorprendente (si es que lo he entendido bien). Muchas gracias por el trabajo explicativo y por las indicaciones conceptuales precisas.
Samuel Graván Pérez | 14 octubre, 2014 en 22:21 | Responder

¿Qué significa que el número M = -(2\pi)^4\dfrac{g^2}{(p_2-p_4)^2-m^2},? ¿Quiere decir que conocidos el momento relativista (g, y la masa) de las partículas 2 y 4 (ó 1 y 3), se puede calcular la probabilidad de un estado final (o inicial) determinado? ¿Podrías poner un ejemplo con valores reales de momentos, masas y demás, para poder entender mejor el proceso y comprobar la buena concordancia entre teoría y experimentación?

¡Muchas gracias por los artículos!
- Cuentos Cuánticos | 15 octubre, 2014 en 10:17 | Responder
  
  Llegaremos a eso de meter datos realistas en su momento. Paciencia.
  
  Y sí, tu interpretación de la expresión es correcta.
  - Samuel Graván Pérez | 15 octubre, 2014 en 13:02 | Responder
    
    Jejeje…perdón, pero me ha interesado mucho este tema; de ahí mi insistencia. Espero a la próxima entrada :).