Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 2

Continuamos con nuestro juego, ahora vamos a complicar un poco la cosa respecto de la entrada anterior.

(Lo sé, la animación es un poco estresante 😉 )

Esta entrada forma parte de la serie sobre EPR, entrelazamiento, Loopholes y esas cosas que estamos llevando a cabo.  Recomendable leer todas las entradas de la serie para hacerse una idea de la película completa.

La cuántica y la realidad, una relación tormentosa

Einstein-Podolsky-Rosen, campeones de la realidad

La chicha de EPR. Realidad y Localidad

Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 1

Para mi gusto esta entrada es muy divertida pero también un poco más liosa.  La situación ideal te tiene a ti lápiz en mano haciendo las cuentecillas (muy sencillas y sin operaciones complicadas) para ir tomándole el pulso a la idea.

Vamos con el segundo juego.

Segundo juego

Preparación inicial

1.-  Tenemos dos millones de luces pequeñas que pueden emitir en rojo o en azul según se programen.

2.-  Tenemos dos millones de cajas con tres puertas que denominaremos 1, 2 y 3 según la figura:

3.-  La caja está hecha de tal forma que cuando se abre una de las puertas las otras dos se bloquean.

4.-  Podemos programar las luces de forma que emitan rojo o azul según la puerta que se abra para mirar el color de la luz.  Por ejemplo, podemos programar  una luz para que emita en la secuencia de puertas (1,2,3) como (R,R,A).  Así, la secuencia RRA indica que veremos rojo si abrimos la puerta 1, veremos rojo si abrimos la puerta 2 y veremos azul si abrimos la puerta 3.

5.-  Como en el otro juego vamos a enviar un millón de cajas numeradas del 1 al 1000000 a un sujeto A y otro millón de cajas, numeradas de la misma forma, a un sujeto B.

6.-  Programaremos las luces de forma que si en una puerta de una caja A sale rojo en la correspondiente de B aparecerá una luz azul y viceversa.

 Enviamos las cajas de A y las cajas de B a sus respectivos destinatarios que están situados en las antípodas uno del otro.

Las instrucciones son fáciles:

Habéis recibido un millón de cajas con luces que emiten una luz azul o roja según la puerta que abráis.  La cuestión es que si abrís la misma puerta 1, 2 o 3, la combinación de colores será Azul-Roja o Roja-Azul.   Por supuesto, tenéis toda la libertad de abrir cualquier puerta de cada caja, el resto se bloquea una vez abierta la puerta escogida.

¿Podéis comprobar en esa situación que es cierto lo que se afirma? ¿Hay alguna condición sobre el problema que se ha de satisfacer siempre?

Saludos,

Cuentos Cuánticos

Con esto está todo dicho, a jugaaaaaaaar….

Desarrollo del juego

Cuando A recibe sus cajas se dispone a ir abriendo cada una de ellas.  En este caso tiene total libertad de abrir la puerta 1 o la 2 o la 3 de cada caja.  B estará haciendo lo mismo eligiendo la puerta a abrir de cada caja de forma independiente y autónoma.  Además no hay forma de que se comuniquen entre ellos.

Si nos quedamos contigo, sujeto A, lo que empezarás a pensar será cuáles son las posibles combinaciones de puertas que se pueden dar en cada caja.  La respuesta es simple, hay nueve posibilidades.

Como sabes que he programado las luces para que emitan un determinado color al abrir cada puerta de cada caja pero no sabes exactamente cómo lo he hecho te dispones a poner todas las posibilidades:

Con eso sabes deducir la programación que tienen las cajas y puertas de B para cada posible caso:

Ahora lo que se te ocurre es hacer todos los posibles casos de abrir una puerta tú y que B haga lo propio.  La gracia está en determinar en cuantas ocasiones se verá un color igual o diferente.  Eso nos llevaría a esta tabla:

¿Cómo podemos comprobar que el juego es tal y como lo he descrito?

Para ello tenemos que suponer que he elegido cada uno de los programas para cada caja con una determinada probabilidad.  Para el caso 1 tendremos que suponer que se da con probabilidad p1, para el caso 2 con probabilidad p2, y así sucesivamente.  Está claro que la suma de probabilidades no puede superar el 100%, es decir, tomando el tanto por uno:

p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8=1

Atendiendo a la tabla que has hecho, ¿cuál es la probabilidad de obtener distinto color para ti y para B?

La cuestión es simple:

P(Color AB diferentes) = (9/9)p1 + (5/9)p2 +(5/9)p3+(5/9)p4+(5/9)p5+(5/9)p6+(5/9)p7+(9/9)p8

Que no es más que multiplicar los casos que dan lugar a colores diferentes por la probabilidad de haber sido empleados.  Si miramos el caso 1 tenemos 9 combinaciones de color diferente, todas las posibles.  Para el caso 2 solo hay 5 situaciones, de las 9 posibles, que dan lugar a color diferente.

Podemos agrupar eso de esta forma:

P(Color AB diferentes) = (9/9) (p1+p8) + (5/9) (p2+p3+p4+p5+p6+p7)

Para simplificar un poco más vamos a ponerle nombre a esas sumas de probabilidades:

X=p1+p8

Y=p2+p3+p4+p5+p6+p7

Es evidente, porque así tiene que ser, que X+Y=1.  Eso nos permite escribir

X=1-Y

Tomando todo esto, la probabilidad de que AB tengan colores diferentes al abrir dos puertas cualesquiera de una caja dada (con la misma numeración para cada uno) es:

P(Color AB diferentes)=(9/9)X+(5/9)Y

Usando que X=1-Y podemos reescribirlo como:

P(Color AB diferentes)=(9/9)(1-Y)+(5/9)Y=1-Y+(5/9)Y=1-(4/9)Y

Concluyendo:

P(Color AB diferentes) = 1 – (4/9)Y

Ojo, no sabes lo que vale Y, porque no sabes qué patrón he utilizado para poner los programas de las luces en las cajas. Pero lo que sabes es que Y es una probabilidad y por lo tanto como mínimo valdrá 0 (no he usado ninguno de esos programas asociados) y como máximo valdrá 1 (he usado siempre uno de esos programas asociados).

Pero eso condena a P(Color AB diferentes)=Pdif a que puede tomar un valor máximo, que será 1, o un valor mínimo, que será (5/9).

¡Este resultado es magnífico!

Recapitulando

Lo que ha obtenido aquí el sujeto A es muy interesante.  Si yo he programado el asunto tal y como he descrito entonces sabe que cuando B le mande su lista de observaciones (puertas y colores de B) y la compare con las suya (puertas y colores de A) la fracción de diferencias de color no puede ser inferior a 5/9 en ningún caso.

Para llegar a ese resultado el sujeto A solo ha tenido que suponer que la lámpara iba a brillar con un color determinado según la puerta que se abra de cada caja. Es decir, es un elemento de realidad el color que va a tomar, está prefijado y definido. Y por supuesto, las mediciones de A no afecta a las de B, no se ponen de acuerdo en las puertas que abre cada uno, etc.

La desigualdad descubierta por lo tanto se basa en la consideración de Realidad y Localidad, en el más puro espíritu EPR.  Y sí, ese razonamiento es el que lleva a las famosas desigualdades de Bell.  Ya iremos viendo.

Nos seguimos leyendo…