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Tetas, cerebros y grafos

Publicado el 12 enero, 2015| 7 comentarios

Los siete de enero son días raros para todos los que vuelven al trabajo, o al estudio, después de dos semanas de vacaciones. Y si no lo son, al menos, ocurren cosas raras como que de unos comentarios en Twitter a una entrada en Naukas, escrita por @jralonso3, acabe saliendo una idea «loca», desde mi punto de vista, claro, consistente en proponer a los blogueros que escriben divulgación científica en español publicar una entrada sobre tetas un día concreto (hoy), a una hora concreta (ahora).

Ese día miraba mi TL tranquilamente sentada en mi sofá cuando, desde ese relajado lugar, leí la mencionada conversación. ¿Me animo? – Pensé. No, no soy médico, ni bióloga, ni psicóloga…¿qué puede contar una física sobre tetas? Pues supongo que algo podría decir desde la perspectiva de mi género, pero ¿me encontraría cómoda haciéndolo?

A ver, tetas…según la RAE son los órganos glandulosos y salientes que los mamíferos tienen en número par y sirven en las hembras para la secreción de la leche. Pero, si os dicen «entrada sobre tetas» ¿pensáis en tetas de vaca, perro o burro? O ¿pensáis en otras tetas?

Alguno de vosotros (si tenéis la suficiente edad), puestos a pensar en tetas y encadenando ideas, habrá recordado ( y si no, pues ahí tenéis el vídeo) el famoso incidente relacionado con la teta de cierta cantante ocurrido en la gala de fin de año de rtve de 1987. ¿Cómo algo que, desde mi punto de vista, no tenía la menor importancia llegó a ser conocido por todo un país? Esta pregunta podría ser objeto de estudio en ciencias sociales, la Física no tiene la respuesta, por ahora, 😉 , pero estoy convencida de que el hecho de que implicara la imagen de una teta de mujer fue crucial en esta particular historia.

Bueno, la idea encadenada no me servía para mucho y como seguía queriendo escribir la entrada sobre tetas, intenté que me viniese la inspiración observando, o admirando, el órgano en cuestión mostrado en uno de mis cuadros favoritos, «La casta Susana», de Gonzalo Bilbao.

Pues, no. La inspiración seguía sin venir. Supongo que el tema no me motivaba lo suficiente. Quizá lo habría hecho más si se tratase de otro órgano, el cerebro, por ejemplo. Es que las mujeres no solo tenemos pechos. También tenemos cerebro, no nos olvidemos. Y, a mi parecer, es un órgano mucho más importante. Así que, de pensar en tetas pasé a pensar en el cerebro y me acordé de un artículo que había leído hacía poco cuyo título decía: «Graph Theoretical Analysis Reveals: Women’s Brains are Better Connected than Men’s» escrito por Balàzs Szalkai, Bàlint Varga y Vince Grolmusz.

El título del artículo en español sería algo así como «El análisis de la Teoría de Grafos revela que el cerebro de las mujeres está mejor conectado que el de los hombres». ¡Anda! ¡Tal vez por eso no pensamos tanto en tetas! 😉

Lo anterior era broma, pero la cuestión es: ¿Qué quieren decir los autores con que nuestro cerebro está mejor conectado? Vamos a intentar explicarlo a continuación.

El cerebro, simplificando mucho, podemos decir que es un sistema formado por muchas neuronas interconectadas, o lo que es lo mismo, una red de neuronas.

Definiendo red como una representación simplificada de un sistema que lo reduce a una estructura abstracta donde se tienen en cuenta solo las conexiones entre puntos de la red, y poco más, vemos que el cerebro podría encajar en la definición de red.

Y una red, en lenguaje matemático, es un grafo. Y, como hemos dicho, es una colección de puntos unidos por líneas. Los puntos también pueden llamarse nodos o vértices y las líneas, aristas. En los grafos puede ocurrir que entre dos nodos no haya ninguna arista, o que hay una, o varias, y también podrían darse casos de aristas que salen desde un nodo y vuelven a ese mismo nodo, en lugar de terminar en otro. Y partiendo desde ahí, hay ramas de las matemáticas que estudian los grafos y tienen desarrolladas teorías sobre este interesante y útil campo.

Existen muchos sistemas tanto en física, como en biología o en ciencias sociales, que pueden ser descritos como redes o grafos, ya que pueden considerarse sistemas con componentes individuales unidas o enlazadas de un cierto modo. El ejemplo más conocido es internet que sería, según una definición un poco burda, una colección de computadoras unidas por conexiones de datos.

Cuando las redes tienen muchos nodos y aristas su estudio se complica. Sin embargo, en los últimos años y gracias al avance en informática se ha progresado mucho en el estudio de grandes redes.

Existe un proyecto llamado The Humann Connectome Proyect (HCP) financiado por institutos de salud estadounidenses que arrancó en 2009 cuyo objetivo es crear un mapa de la estructura completa del cerebro para poder investigar tanto la anatomía como el funcionamiento del cerebro sano así como acumular datos para investigar en enfermedades del cerebro. Se han hecho pruebas para obtener datos a los cerebros de miles de personas. Aquí tenéis el enlace a la página del HCP.

Los autores del artículo que os he comentado antes han utilizados datos tomados de este proyecto y usando la teoría de grafos han obtenido resultados interesantes. Por cierto, la palabra connectome se refiere al grafo del cerebro. Y al utilizar grafos para describir el cerebro se consiguen descubrimientos sobre su funcionalidad y su estructura.

El título del artículo, recordemos, decía que el cerebro de las mujeres está mejor conectado que el de los hombres. Esta conclusión la sacan nuestros autores tras analizar los datos que obtienen. Como hemos dicho, tomaron los datos del HPC, y tras un cuidadoso análisis estadístico, encontraron que había diferencias en los valores de los parámetros que calcularon según se tratara de grafos de cerebros masculinos o femeninos. Parece que esperaban obtener los mismos resultados en ambos casos, pero encontraron que no. Por ejemplo, en los cálculos realizados obtuvieron que el grafo del cerebro de la mujer tenía más aristas que el del hombre. También encontraron valores mayores en otros parámetros ( fueron nueve los que calcularon).

Resulta que el cerebro promedio de una mujer pesa menos que el de un hombre. Este hecho, unido a los mayores valores obtenidos en los parámetros para el cerebro promedio femenino les hace deducir el título del artículo.

Entonces, ¿tenemos un cerebro mejor conectado? De momento, parece que sí. Pero los científicos seguirán trabajando y se seguirá adelantando en este campo y, bueno, ya nos contarán.

Por cierto, yo tenía que escribir sobre tetas.¿Cómo era aquello? Una imagen vale más que mil palabras, ¿no? Pues ahí van unas tetas:

¡Hasta pronto!

Aquí podéis leer el artículo «Graph Theoretical Analysis Reveals: Women’s Brains are Better Connected than Men’s».

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Plátanos y radiactividad

Publicado el 19 noviembre, 2014| 7 comentarios

¿Qué tienen que ver los plátanos y la radiactividad? Bueno, un plátano es una fruta que se cultiva en Canarias además de en otros muchos lugares del mundo y la radiactividad es un fenómeno que consiste en la transformación espontánea de un núcleo (sobre núcleos ya hablamos en la entrada «El núcleo y sus modelos») que conduce a un cambio en su composición o en su energía interna mediante la emisión de partículas o radiación electromagnética. Hasta aquí no parece que tengan mucho que ver. Pero, entonces, ¿por qué empezamos esta entrada con la fotografía de un plátano? Pues porque los plátanos son radiactivos.

Sí, el plátano que te has comido a media mañana o para acabar el almuerzo emite radiación. Antes y después de entrar en tu estómago. De hecho, se han inventado conceptos como «dosis equivalente a un plátano» que, en casos de fugas radiactivas, son utilizados para explicar el nivel de radiación a la población. Pero no hay que preocuparse. En nuestro planeta existen de manera natural los emisores radiactivos, nosotros también emitimos radiación e incluso el agua o la cerveza que nos bebemos. Y, ahora que vemos radiación por «everywhere», intentemos explicar con un poco más de detalle los tipos más frecuentes de desintegraciones nucleares, las conocidas desintegraciones α, β y γ, así como la fisión y la emisión de nucleones.

Desintegración Alfa

Como vemos en la imagen, la desintegración alfa consiste en la emisión de núcleos de Helio (las llamadas partículas α) por núcleos pesados. Hemos puesto el ejemplo del Uranio que emite una partícula alfa, disminuyendo su número de nucleones en cuatro (dos protones y dos neutrones) y transmutando en Torio.

En los núcleos la repulsión electrostática va aumentando a medida que el número de protones se va haciendo mayor. En los átomos con Z>82 la repulsión coulombiana empieza a ser capaz de romper la estabilidad nuclear. Y entonces, para determinados núcleos, ocurre la desintegración alfa. El motivo de que la partícula emitida sea un núcleo de helio en vez de cualquier otra partícula tiene que ver con la enorme energía de enlace que poseen dichas partículas.

Este tipo de desintegración es una prueba del conocido «efecto túnel». Hablemos un poco de qué es esto. En principio, tenemos nuestra partícula en un pozo de potencial, debido al núcleo, como el siguiente:

La partícula tiene una energía positiva pero no suficiente para traspasar la barrera de potencial desde el punto de vista clásico. Debería, por tanto, quedarse confinada en el núcleo. Sin embargo, se observa experimentalmente que escapa. Lo que ocurre es que este fenómeno no puede estudiarse clásicamente. La física cuántica nos dice que la partícula α sí puede abandonar el núcleo porque su función de onda tiene una expresión tal que la probabilidad de encontrar a la partícula fuera del pozo no es cero. Por tanto, lo que tenemos en el caso de la desintegración α es una prueba del llamado «efecto túnel».

Desintegración Beta

La desintegración beta comprende tres procesos nucleares. En uno de ellos se emiten electrones, en otro positrones y en el tercero se produce la captura de un electrón por parte de núcleos alejados de la línea de estabilidad. En un momento explicaremos qué es esta línea.

En la figura anterior aparecen los casos del Carbono 14 y del Nitrógeno 13 como ejemplos de desintegraciones $\beta^+$ y $\beta^-$ respectivamente .

La línea de la estabiliddad es algo que aparece cuando representamos gráficamente en tres dimensiones, para núcleos, el número neutrónico frente al número atómico y, en el tercer eje, la masa. En dos dimensiones, al representar N frente a Z tenemos lo siguiente:

Observamos que los núcleos estables se encuentran en la zona en la que Z≅N para A<40. A partir de A∼40 el cociente N/Z va aumentando poco a poco, hasta alcanzar valores de N/Z∼1,56.

El proceso de desintegración beta es una interacción débil en el que uno de los nucleones que se encuentra en exceso (neutrón o protón) se transforma en el otro, emitiendo un electrón, o un positrón de forma que se conserve la carga eléctrica. En el caso de la captura electrónica un protón del núcleo captura un electrón dejando un hueco en la estructura electrónica. Este hueco es llenado inmediatamente por otro electrón y habrá emisión de radiación electromagnética (rayos X) procedente de la corteza atómica.

En todos los casos aparece un neutrino, o su antipartícula, para cumplir con la conservación de la energía y el momento angular total. De hecho, la existencia de esta partícula se postuló en los años 30 para hacer cumplir con el principio de consevación de la energía, porque sin ella, no era posible. Lo que ocurría era que el espectro energético de los electrones emitidos en la desintegración era contínuo, con energías que iban desde cero hasta un cierto valor máximo. Pero sin neutrinos, para cumplir con la conservación de la energía tendría que ocurrir que el electrón fuese emitido siempre con la misma energía. Ya que eso no pasaba, había que buscar soluciones. Se llegó a proponer que la energía no tenía que conservarse, pero posteriormente, Pauli propuso que en la desintegración era emitida además, una partícula neutra (recordemos que la carga sí se conservaba) aunque dicha partícula no se hubiese detectado aún. No fue hasta los años 50 cuando por fin, se produjo su descubrimiento.

En la entrada Neutrino history, what’s NEXT? – ¿Neutrinos? están explicados con más detalles estos conceptos.

En la mayoría de los casos, el núcleo que tenemos tras la desintegración queda en un estado excitado, que no es el estado en que quizás algunos estáis pensando, sino un estado energético que no es el más bajo posible. En esos casos lo que ocurre es que, a continuación, tiene lugar una desintegración gamma que deja al núcleo en un estado de menor energía. Si este estado es el de menor energía posible hablaríamos entonces de estado fundamental.

Si no hay desintegración gamma posterior, al núcleo se le llama emisor beta puro.

Desintegración Gamma

Los núcleos pueden presentar distintos estados cuánticos con valores de energía discretos. Cuando el núcleo se encuentra en un nivel de energía excitado, como acabamos de contar, puede pasar a un nivel de menor energía emitiendo fotones de una cierta frecuencia. A esta radiación se la llama radiación gamma. Es decir, el núcleo no cambia su composición sino que los nucleones que lo forman experimentan una transición entre dos niveles energéticos, algo parecido a las desexcitaciones de electrones en átomos.

Y, ¿por qué estaría un núcleo en un estado excitado? Pues, por ejemplo, porque sea un núcleo resultante de una desintegración alfa o beta o de una reacción nuclear.

La radiación gamma es, por tanto, una radiación de naturaleza electromagnética de alta frecuencia, alta energía y muy penetrante, bastante más que las radiaciones alfa y beta, como vemos en la siguiente imagen:

Los fotones de las desintegraciones nucleares tienen energías del orden de $10^6$ veces la de los fotones del espectro visible emitidos por átomos excitados. Es, por tanto, una radiación ionizante.

Los núcleos también pueden desexcitarse por otros procesos, aunque son menos probables. Uno de ellos es la conversión interna. En este caso el exceso de energía se cede a un electrón de la corteza atómica, que sale «disparado» del átomo.

Como mencionamos al principio, existen más tipos de desintegraciones nucleares. Una de ellas es la fisión espontánea. Este tipo de desintegración tiene lugar en núcleos con número másico elevado debido a las fuerzas de repulsión eléctricas, suele ocurrir en elementos con número atómico superior al del Uranio (transuránidos) y es uno de los motivos por los que no pueden existir núcleos estables con un número másico muy grande.

Esta entrada está llegando a su fin y aún no hemos visto ninguna ecuación. Vamos a poner remedio a esto, inmediatamente, con la fórmula matemática para la desintegración radiactiva.

Supongamos que tenemos N átomos de una sustancia radiactiva y queremos saber cómo varía, con el tiempo, su número. Pues resulta que el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo es proporcional al número de núcleos que tenemos. Luego podemos escribir la siguiente ecuación:

donde λ es la constante de desintegración que es una característica de cada isótopo y no depende de condiciones externas. Resolviendo obtenemos la expresión que aparece en la parte inferior de la imagen, la llamada ley de desintegración radiactiva. Como vemos, el comportamiento es exponencial.

Se definen también magnitudes como el periodo de semidesintegración (tiempo en el que el número de núcleos se ha reducido a la mitad) o la vida media (tiempo en el que el número de núcleos se ha reducido en un factor e o valor medio del tiempo que tarda un conjunto de núcleos en desintegrarse).

Vamos a dejarlo aquí, por ahora, pero la historia continuará.

¡Hasta pronto!

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El núcleo atómico y sus modelos

Publicado el 4 mayo, 2014| 11 comentarios

Hace unos días pasaba junto a una fuente de agua, tan necesaria para refrescar el ambiente en esta época, y me quedé pensando en su contenido. La materia que veía estaba formada por moléculas y éstas formadas por átomos que, a su vez, estaban formados por protones, neutrones y electrones. Y los dos primeros formados, a su vez, por quarks. Los electrones son partículas elementales por lo que no pueden dividirse en constituyentes. Al menos, de momento.

Agua

Molécula de Agua

En principio, podemos considerar que nuestro mundo está formado por protones, neutrones, electrones, fotones y neutrinos. Otras partículas más exóticas se van creando y aniquilando continuamente. Porque una de las propiedades más sorprendentes, al menos, para mí, de las partículas elementales es su tendencia a desintegrarse.

Hasta los años 30, cuando Chadwick descubrió el neutrón, los físicos pensaban que el universo estaba constituido por dos partículas: el protón y el electrón. Añadir una tercera suponía un retroceso en simplicidad. Y eso es algo que no gusta a los científicos. Pero el descubrimiento del neutrón era solo el principio. Posteriormente se descubrieron muchas más partículas. La siguiente se encontró en los rayos cósmicos, aunque ya había sido predicha por Maurice Dirac. Y fue el positrón. Pero esto es otra historia.

Para saber más sobre partículas elementales consultar el minicurso Partículas Elementales de Cuentos Cuánticos. Y ahora volvamos a los átomos de materia.

Resulta que, prácticamente, la totalidad de la masa de un átomo está en su núcleo. Tratemos sobre él.

A la vista de esta imagen podría no parecerlo pero el núcleo atómico es un sistema muy complejo. De hecho, un sistema cuántico complejo. Está formado por protones y neutrones. O, lo que es lo mismo, nucleones. Los protones tienen carga eléctrica positiva y los neutrones son neutros. Los nucleones tienen todos la misma masa y ésta es, aproximadamente, igual a 1840 veces la masa del electrón. Permanecen juntos en el núcleo gracias a una fuerza de corto alcance que no depende de la carga: la fuerza nuclear.

La fuerza nuclear es fuerte. Tan fuerte que gana en intensidad a la fuerza eléctrica. A pesar de la repulsión culombiana que existe entre los protones al tener todos carga eléctrica positiva, los núcleos pueden ser estables. Como hemos dicho antes, la fuerza nuclear no depende de la carga, pero sí de una propiedad intrínseca de las partículas llamada espín. Es de corto alcance, no se aprecia fuera del núcleo. Y se satura, lo que tiene como consecuencia que la densidad nuclear sea casi constante en todos los elementos de la tabla periódica.

Cada nucleón solo puede interaccionar con un número máximo de nucleones, independientemente del núcleo que sea y del tamaño que tenga. Y aunque estemos acostumbrados a ver imágenes de núcleos esféricos, la fuerza nuclear no es una fuerza central. Es cierto que la desviación de la esfericidad en la forma del núcleo no es muy grande. El caso más extremo es el de los núcleos lantánidos que tienen forma de esferoide prolato. Con otras palabras, forma de balón de rugby. Además, la fuerza nuclear puede ser atractiva o repulsiva. A distancias del orden de 1 fm es atractiva, pero a distancias del orden de 0,5 fm es repulsiva.

El núcleo puede encontrarse en distintos estados con distintas energías. Todos los estados nucleares, tienen un momento angular $J$ . Es un vector cuantizado, cuyo módulo es $J=\sqrt{J(J+1)}\hbar$ donde $J$ es el espín del núcleo. Este es un número cuántico que se conserva en todos los procesos nucleares. Por otra parte, existe una propiedad llamada paridad. Se representa por $P$ . Las partículas y núcleos tienen paridad intrínseca. Por convenio, se toma la paridad del protón y del nucleón como +1. En un núcleo puede tomar los valores +1 ó -1. El valor viene dado por la expresión $(-1)^l$ donde l es el número cuántico del momento angular orbital. Todo esto lo contamos porque los núcleos tienen una propiedad que se llama espín-paridad, $J^P$ , bien definida. Después veremos un ejemplo de cómo calcularla.

Por ahora, no es posible estudiar la estructura nuclear exactamente. El motivo es muy simple, no conocemos la expresión del potencial.

Si consideramos el núcleo como un sistema cuántico de A nucleones que interaccionan entre sí a través de un potencial nucleón-nucleón, tendríamos que resolver una ecuación como ésta:

$\hat{H}\Psi = E\Psi$

donde $\hat{H}$ es el hamiltoniano del sistema, que tendríamos que construir a partir de la suma de las energías cinéticas de los A nucleones y de sus potenciales de interacción. Pero, como hemos dicho, no conocemos la forma de dichos potenciales. Esto suena a «tenemos un problema».

Teniendo en cuenta las características que hemos mencionado, podríamos dibujar una gráfica para el potencial parecida a la siguiente:

Potencial fenomenológico

Esta gráfica la hemos tomado de Nuclear Force de Ruprecht Machleidt (2014), Scholarpedia, 9(1):30710.

Pero hemos dicho que la fuerza nuclear no es central, así que necesitamos, además, términos tensoriales. Y términos que nos den la dependencia con el espín y con un cierto número cuántico llamado isospin, del que también se sabe que depende la interacción. En total, nos sale un potencial con 12 ó más términos. Y las ecuaciones no pueden resolverse exactamente, sólo numéricamente, y para átomos de hasta un cierto número de nucleones.

Una expresión para el potencial fenomenológico sería:

$\begin{array}{lcll} V & = & V_C + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 \, W_C & \mathbf{central} \\ & + & \left[ V_S + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_S \right] \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2 & \mathbf{spin-spin} \\ & + & \left[ V_{LS} + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_{LS} \right] \vec{L} \cdot \vec{S} & \mathbf{spin-orbit} \\ & + & \left[ V_T +\vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_T \right] S_{12}(\hat{r}) & \mathbf{tensor} \\ & + & \left[ V_{\sigma L} + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_{\sigma L} \right] Q_{12} & \mathbf{\sigma -L} \\ & + & \left[ V_{\sigma p} + \vec{\tau}_1 \cdot \vec{\tau}_2 W_{\sigma p} \right] \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{p} \, \vec{\sigma}_2 \cdot \vec{p} & \mathbf{\sigma -p} \end{array}$

donde

$S_{12}(\hat{r}) = 3\vec{\sigma}_1 \cdot \hat{r} \vec{\sigma}_2 \cdot \hat{r} - \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{\sigma}_2$

$Q_{12} = \frac{1}{2} \left[\vec{\sigma}_1 \cdot \vec{L} \, \vec{\sigma}_2 \cdot \vec{L} + \vec{\sigma}_2 \cdot \vec{L} \, \vec{\sigma}_1 \cdot \vec{L} \right]$

siendo $\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2$ el vector de posición relativo, $\hat{r}$ un vector unitario en la dirección de $\vec{r}$ , $\vec{p}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}_1-\vec{p}_2\right)$ la cantidad de movimiento relativa, $\vec{L}=\vec{L}_1+\vec{L}_2$ el momento angular orbital total y $\vec{S}= \frac{1}{2} \left(\vec{\sigma}_1+\vec{\sigma}_2\right)$ el espín total.

Como un núcleo real es una estructura tan compleja, necesitamos idealizaciones (modelos) que hagan el problema más accesible matemáticamente hablando, pero que nos proporcione resultados con significado físico y que se aproximen a los resultados experimentales.

Si no cumple estas condiciones, nuestra idealización no sirve como modelo.

Veamos algunos modelos simples utilizados.

MODELO DE LA GOTA LIQUIDA

Fue elaborado por primera vez en detalle por Niels Bohr en 1936. Es el modelo más simple y describe el núcleo como una colección fuertemente empaquetada de partículas muy parecidas a una gota de líquido, donde las partículas apenas tienen espacio entre ellas y donde la densidad es virtualmente igual en todas partes y existe una aguda superficie fronteriza. Es decir, el modelo supone que el núcleo tiene un comportamiento similar al de una gota de líquido incompresible. Los nucleones en el núcleo jugarían el mismo papel que las moléculas de la gota. Funciona con propiedades como el tamaño nuclear y predice la estabilidad de los núcleos.

Existen otros modelos como el modelo del gas de Fermi, el modelo vibracional, el modelo rotacional o el modelo unificado. Pero otro modelo bastante utilizado del núcleo es el modelo de capas. Tratemos sobre él.

MODELO DE CAPAS

Es un caso particular de otro modelo, el llamado modelo de partícula independiente, cuya hipótesis básica es que todos los nucleones, excepto uno, están apareados y las propiedades nucleares vienen determinadas por el nucleón desapareado. Es decir, describe a los nucleones en interior del núcleo, al igual que los electrones que lo rodean, ocupando capas y subcapas, cada una de ellas afectando a las demás sólo levemente.

Por analogía con la situación en las capas electrónicas del átomo se supone que los núcleos con capas exteriores nucleónicas llenas deberían ser más estables que los que no tienen ocupadas las capas exteriores. La teoría más sencilla se indicaba que los núcleos con 2, 8, 20, 40, 70 o 112 protones o neutrones serían estables. Sin embargo, ello no encajaba con la observación. La física Maria Goeppert Mayer tuvo en cuenta el espín de protones y neutrones y encontró que los núcleos con 2, 8, 20, 28, 50, 82 o 126 protones o neutrones serían particularmente estables. Los núcleos con 28 o 40 protones serían aún mucho más estables. Esto sí concordaba con las observaciones experimentales. Los átomos con una diferencia en el número de nucleones de tan solo uno, ya no son tan estables. De ahí que a estos números se les llame mágicos.

El trabajo de Maria fue muy importante. Recibió el Nobel de Física en 1963 y en su discurso habló sobre el modelo de capas.

Podéis leer más sobre esta científica en la entrada Maria Goeppert Mayer: La belleza de Göttingen de Laura Morrón.

Los núcleos como el helio 4, el oxígeno 16 y el calcio 40 son doblemente mágicos. Todos especialmente estables y más abundantes en el universo que otros núcleos de tamaño similar.

En el modelo de capas se describen las propiedades nucleares a partir de la interacción de un nucleón con un potencial efectivo. Es decir, no consideramos las interacciones nucleón-nucleón, sino la interacción de un solo nucleón con un potencial generado por el resto de nucleones.

Con un modelo tan simple, ¿se puede aproximar el núcleo atómico? La respuesta es sí. Para casi todos los núcleos con A impar en estado fundamental (estado de energía más bajo) el modelo proporciona resultados que concuerdan con los valores experimentales para propiedades como, por ejemplo, el espín, y resultados aproximados para otras propiedades como el momento dipolar magnético y el momento cuadrupolar eléctrico. Además, se puede emplear para calcular la probabilidad de transición entre distintos estados del núcleo.

Hemos dicho que se considera la interacción de un sólo nucleón con un potencial medio que representa la ligadura nuclear. O sea, que tenemos que resolver:

$\hat{H}\Psi = E\Psi$

con $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2\mu}+V$

donde $V$ es un potencial que no sabemos que expresión tiene. Entonces ¿qué hacemos? Pues vamos a probar con potenciales que tengan solución conocida de la ecuación de Schrödinger y comparar los resultados con lo que sale experimentalmente.

El más simple con solución conocida es el pozo esférico infinito:

$V(r) = \left\{ \begin{array}{ll} -V_{0} & 0\leq r\leq R \\ \infty & r \geq R \end{array}\right.$

Pero con este potencial se reproducen los resultados experimentales de tan sólo los átomos con números mágicos 2, 8 y 20. Para el resto no hay concordancia entre valores teóricos y experimentales.

Podríamos intentarlo con el oscilador armónico:

$V(r) = \frac{1}{2}\mu\omega^2$

Con este potencial se reproducen resultados para los átomos con los mismos números mágicos que en el caso anterior. Sería un potencial más acorde a la realidad, ya que no presenta la subida brusca del pozo infinito, pero sigue teniendo alguno de sus inconvenientes. Por ejemplo, con ambos potenciales la energía de separación del protón o del neutrón es infinita. Es decir, no sería posible romper un núcleo. Y sabemos que sí lo es.

Por otra parte, al hamiltoniano del sistema hay que añadirle un término de interacción espín-órbita. ¿Y esto qué es? Pues es un término que depende de los valores del espín y, a la vez, de los valores del momento angular de las partículas. Y hay que incluirlo porque, como hemos dicho, la fuerza nuclear y, por tanto, la interacción nucleón-nucleón depende del espín. Y si depende tiene que aparecer en la fórmula.

Hay un potencial, llamado de Saxon- Woods, al que le podemos añadir el término de interacción espín-órbita, con el que obtenemos una solución para la ecuación de Schrödinger con unos niveles de energía que cuadran con todos los números mágicos. El potencial de Saxon-Woods puede escribirse como:

$V(r)=- \frac{V_0}{1+e^{(r-R)/t}}$

donde $V_0$ y $t$ son parámetros y $R=R_0A^{1/3}$ es el radio nuclear, con $A$ el número másico.

El esquema de niveles de energía que se obtiene es el siguiente:

En cada capa caben 2j+1 nucleones. Y se puede observar cómo en la distribución de niveles aparecen distanciadas las capas completas que reproducen los números mágicos. Bueno, la verdad es que en algunos casos hay que imaginar un poquito.

Y con esto, se pueden predecir los valores del espín-paridad del estado fundamental de los núcleos con A impar. El espín del núcleo $J$ será el de la capa en que se encuentra el nucleón aislado. Y la paridad $P$ quedará definida por el momento orbital de dicha capa.

Veamos un ejemplo.

Supongamos que tenemos un átomo de $^{41}_{20}Ca$ . Como el número de protones es par, no hay ningún protón desapareado. Pero A es igual a 41, luego el número de neutrones es 21 y tenemos un neutrón desapareado. El desapareado será el último neutrón, el 21. Vamos rellenando capas usando la gráfica anterior. Vemos que el último neutrón queda en el nivel $1f_{\frac{7}{2}}$ . Y que la paridad $(-1)^l$ es, por tanto, -1. Por tanto, $J^P=\frac{7}{2}^-$

Se aplica la misma técnica para los núcleos con un hueco, es decir, con la capa completa excepto por un nucleón.

Este modelo no es capaz de explicar ni predecir, por ejemplo, los estados excitados.

Pero hay muchos más modelos, como podemos leer en Nuclear Force de Ruprecht Machleidt .

Aún así, queda mucho camino por recorrer.

¡Hasta pronto!

BIBLIOGRAFÍA

Kenneth S. Krane. INTRODUCTORY NUCLEAR PHYSICS. Wiley

Antonio Ferrer, María Shaw, Amalia Williart. FISICA NUCLEAR. UNED

Isaac Asimov. NUEVA GUÍA DE LA CIENCIA. RBA Editores.

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Ecuaciones de Maxwell y Relatividad

Publicado el 15 noviembre, 2013| 21 comentarios

Hoy estamos realmente contentos en Cuentos Cuánticos porque tenemos el palcer de presentar a una nueva colaboradora, Reyes Zambrano (@MReyesZam). Seguro que nos hará pasar buenos ratos leyendo sus aportaciones a este blog. Y qué mejor manera de empezar que entrando fuerte. Hoy nos hablará sobre las ecuaciones de Maxwell y relatividad, una entrada para aficionados y estudiantes de relatividad especiao y electromagnetismo. Disfrutadla.

Bienvenida Reyes y gracias por participar 🙂

¿Qué tienen que ver las ecuaciones de Maxwell con la relatividad? En seguida vamos a verlo, pero, empecemos por el principio…

James Clerk Maxwell en una ilustración de 1880 aparecida en la revista Popular Science Monthly Volume 17

Las ecuaciones de Maxwell llevan más de 140 años describiendo los fenómenos electromagnéticos. Aquí las tenemos:

$\vec{\nabla}\cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}$

$\vec{\nabla}\times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} +\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

$\vec{\nabla}\cdot \vec{B} = 0$

$\vec{\nabla}\times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

donde $\vec{E}$ es el campo eléctrico, $\vec{B}$ es el campo magnético y $\vec{J}$ la densidad de corriente.

Estas ecuaciones han resistido a todas las teorías de la Física que han venido después, incluida la relatividad. Esto significa que deberían poder aplicarse cuando tratemos con fenómenos relativistas.

Los fenómenos electromagnéticos son, en algunas ocasiones, curiosos. Por ejemplo, si tenemos un grupo de cargas fijas, un observador en reposo respecto a ellas ve un campo eléctrico asociado, pero otro observador que está en movimiento puede ver también un campo magnético. ¿Cómo se pasa de una descripción a la otra? Necesitamos unas relaciones matemáticas que hagan las transformaciones . Y esas relaciones no son las conocidas transformaciones de Galileo, son las transformaciones de Lorentz.

Se llaman así porque en 1904 fueron escritas por Hendrik Antoon Lorentz. Las transformaciones proporcionaban una base para el desarrollo de la relatividad especial, aunque las consecuencias importantes de la relatividad no fueron descubiertas por este científico. Lorentz creía en el concepto de eter, e intentó ajustar sus cálculos para que cuadraran con dicho concepto.

Hendrick Antoon Lorentz por Jan Veth

Las transformaciones conectan las coordenadas del espacio y del tiempo de un sistema de referencia con las cantidades correspondientes en otro sistema de referencia que se encuentra en movimiento uniforme respecto al primero. Podemos interpretarlas como una rotación en el espacio de cuatro dimensiones x, y, z, t.

$x' = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\left( x - u t \right)$

$y' = y$

$z' = z$

$t' = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\left( t - \dfrac{u}{c^2} t \right)$

donde $\vec{u}$ es la velocidad uniforme de un sistema de referencia S’ que se mueve en la dirección $x$ respecto de otro sistema de referencia S. $x',y',z',t'$ son las coordenadas en el sistema de referencia S’ y $x, y, z, t$ son las coordenadas en el sistema de referencia S.

Henri Poincaré y Albert Einstein enunciaron el principio de la relatividad, según el cual las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para dos observadores en movimiento uniforme uno respecto al otro.

En concreto, en 1905, en su artículo “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento” (en alemán, “Zur elektrodynamik bewegter körper”), Einstein enunció los dos postulados básicos de la relatividad.

El primer postulado dice: “Las leyes de la naturaleza son las mismas en todos los sistemas de coordenadas que se mueven con movimiento uniforme uno respecto al otro”.

Y sabemos que los postulados de la relatividad especial tienen que cumplirse. Al menos, hasta ahora, todos los intentos de encontrar fisuras en esta teoría han fallado. Luego entonces, las ecuaciones de Maxwell tendrán que cumplir el primer postulado. Y ¿lo hacen? Claro que sí. El propio Einstein en el mencionado artículo de 1905 lo comprueba.

Sin embargo, hemos visto que las transformaciones de Lorentz mezclan las coordenadas del espacio y del tiempo. En las ecuaciones de Maxwell las coordenadas deberían también aparecer en una forma simétrica. Dicho de otra manera, que entren en la ecuación en un nivel equivalente tanto coordenadas espaciales como el tiempo, con rotacionales y divergencias en cuatro dimensiones.

Hay una forma de escribir estas ecuaciones, llamada formulación covariante, en la que tenemos esta simetría. Serán las mismas ecuaciones, pero escritas de otro modo . Para llegar a esta formulación habrá que hacer algunas cuentas. Pues, allá vamos…

Sabemos que los campos eléctrico y magnético pueden derivarse de los potenciales escalar y vectorial, $\phi$ y $\vec{A}$ :

$\vec{B} = \vec{\nabla}\times\vec{A}$

$\vec{E} = -\vec{\nabla}\cdot\phi - \dfrac{\partial\vec{A}}{\partial t}$

Y con ambos potenciales vamos a escribir un cuadrivector $\vec{U}=(U_1, U_2, U_3, U_4)$ donde:

$U_1 = A_x$

$U_2 = A_y$

$U_3 = A_z$

$U_4 = \dfrac{i\phi}{c}$

Al que vamos a llamar cuadripotencial o potencial universal.

Si calculamos las tres componentes del campo eléctrico y las tres del campo magnético, usando las definiciones anteriores, y sustituimos las componentes de los potenciales vector y escalar por las del potencial universal, obtenemos:

$\frac{i}{c} E_1 = \dfrac{\partial U_1}{\partial x_4} - \dfrac{\partial U_4}{\partial x_1}$

$\frac{i}{c} E_2 = \dfrac{\partial U_2}{\partial x_4} - \dfrac{\partial U_4}{\partial x_2}$

$\frac{i}{c} E_3 = \dfrac{\partial U_3}{\partial x_4} - \dfrac{\partial U_4}{\partial x_3}$

$B_1 = \dfrac{\partial A_z}{\partial x_2}-\dfrac{\partial A_y}{\partial x_3}$

$B_2 = \dfrac{\partial A_x}{\partial x_3}-\dfrac{\partial A_z}{\partial x_1}$

$B_3 = \dfrac{\partial A_y}{\partial x_1}-\dfrac{\partial A_x}{\partial x_2}$

Por tanto, $\vec{B}$ e $\dfrac{i}{c}\vec{E}$ juntos, forman el rotacional cuadridimensional de $\vec{U}$ .

Si ahora definimos una cantidad a la que vamos a llamar $F$ , Tensor de Campo Electromagnético, como:

$F_{\mu\nu} = \dfrac{\partial U_{\nu}}{\partial x_{\mu}} - \dfrac{\partial U_{\mu}}{\partial x_{\nu}}$

Resulta que $F$ es el rotacional en cuatro dimensiones de $\vec{U}$ .

$F = \vec{\square}\times \vec{U}$

¿Os gustan las matrices? Pues, vamos a escribir $F$ en forma matricial, simplemente, para verlo mejor:

$F = \left( \begin{array}{cccc} 0 & B_3 & -B_2 & -\frac{i}{c}E_1 \\ -B_3 & 0 & _1 & -\frac{i}{c}E_2 \\ B_2 & -B_1 & 0 & -\frac{i}{c}E_3 \\ \frac{i}{c}E_1 & \frac{i}{c}E_2 & \frac{i}{c}E_3 & 0 \end{array} \right)$

Ahora tenemos que calcular la divergencia del tensor de campo electromagnético. Nos queda lo siguiente.

$\sum_{\nu=1}^{4} \dfrac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_{\nu}} = \dfrac{\partial}{\partial x_{\mu}} \sum_{\nu} \dfrac{\partial U_{\nu}}{\partial x_{\nu}} - \sum_{\nu} \dfrac{\partial^2 U_{\mu}}{\partial x_{\nu}^2}$

Y ahora, ¿qué hacemos con ésto? Aunque parece que las expresiones son cada vez más complicadas, en realidad, ya está casi todo el trabajo hecho. Vamos a ver que los dos sumandos a la derecha del igual van a simplificarse, de tal forma, que nos va a llevar a una fórmula muy sencilla para justo la mitad de las ecuaciones de Maxwell.

El primer sumando es cero. Y ¿por qué? La respuesta está en una condición que hacemos cumplir a los potenciales escalar y vectorial, la llamada condición de Lorenz. Es ésta:

$\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = -\mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial \phi}{\partial t}$

Que escrita en función de las componentes del potencial universal es:

$\sum_{i=1}^{4} \dfrac{\partial U_{\nu}}{\partial x_{\nu}} = 0$

Hay una razón para imponer esta condicion y es simplificar las expresiones que se obtienen cuando en la segunda y cuarta ecuaciones de Maxwell sustituimos las ecuaciones que relacionan los campos con los potenciales. Operando, tras esta simplificación, llegamos a una ecuación de onda para el potencial vector:

$\nabla^2 \vec{A} - \frac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 \vec{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \vec{J}$

Donde $\vec{J}$ es la densidad de corriente.

Usando el cuadripotencial se escribe así:

$\sum_{\nu=1}^{4} \dfrac{\partial^2 U_{\lambda}}{\partial x_{\nu}^2} = -\mu_0 J_{\lambda}$

donde $J_{\lambda}$ son las componentes del cuadrivector $J$ . Porque la densidad de corriente también puede, y debe, escribirse en forma covariante. Las tres primeras componentes seran las componentes conocidas en tres dimensiones y la cuarta es $ic\rho$ . Esto es así debido a la relación que existe entre ambas, la conocida ecuación de continuidad:

$\vec{\nabla}\cdot \vec{J} + \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0$

Usando el cuadrivector se escribe:

$\sum_{\nu=1}^{4} \dfrac{\partial J_\nu}{\partial x_\nu} = 0$

O, lo que es lo mismo.

$\vec{\square}\cdot \vec{J} = 0$

Pero, no nos desviemos del camino. En la ecuación de onda del potencial vector escrita usando el cuadripotencial aparece, a la izquierda del igual, una expresión que vimos antes cuando calculamos la divergencia del tensor de campo electromagnético. Vamos a sustituir en la expresión de la divergencia del tensor esta expresión por lo que nos ha salido en la ecuación del potencial vector. Y nos encontramos, una vez hecho ésto, con una bonita expresión para $F$ :

$\sum_{\nu} \dfrac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_{\nu}} = \mu_0 J_{\mu}$

Pero a los físicos nos gustan más las ecuaciones simples y elegantes, así que la escribimos de esta manera:

$\vec{\square}\cdot F = \mu_0 \vec{J}$

Esta ecuación representa a las dos primeras ecuaciones de Maxwell, en lo que se llama Formulación Covariante de las Ecuaciones de Maxwell.

Las otras dos ecuaciones de Maxwell vienen representadas, en la mencionada formulación, por la siguiente expresión:

$\dfrac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x_{\lambda}} + \dfrac{\partial F_{\nu\lambda}}{\partial x_{\mu}} + \dfrac{\partial F_{\lambda\mu}}{\partial x_{\nu}} = 0$

donde $\mu \neq \nu \neq \lambda$ representan tres de los subídices 1, 2, 3 ó 4. Esta formula se deduce directamente de la expresión del tensor de campo electromagnético.

Llegamos al final. Ahora, ya sabemos cómo se escriben las ecuaciones de Maxwell para que las coordenadas del espacio y del tiempo estén tratadas a un nivel equivalente tal como se hace en relatividad.

¡Hasta pronto!

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