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Matrices Gamma de Dirac- Parte I

Si buscamos información por la red acerca de la ecuación de Dirac seguramente que lo que encontremos se parezca a esto:

En principio, no tiene la misma pinta que la ecuación que hemos ido presentando en las dos entradas anteriores:

Ecuación de Dirac – Primera Parte

Ecuación de Dirac – Segunda Parte

En la versión que estamos viendo aparecen las famosas matrices gamma de Dirac \gamma^\mu. El objetivo de esta entrada es la de presentar estas matrices y las propiedades operacionales que tienen. También nos entretendremos en jugar con ellas ya que son esenciales a la hora de hacer cálculos en teoría cuántica de campos cuando estamos trabajando con fermiones.

He de confesar que trabajar con las matrices de Dirac siempre me ha inspirado sentimientos contrapuestos, desde el aburrimiento más absoluto hasta cierta perversión por ver si podía deducir todas las expresiones que vamos a presentar en esta entrada (y muchas más). Espero que esto o lo toméis como un juego, lo es, y la recompensa en un futuro próximo será más que evidente.

En siguientes entradas iremos a desgranar su significado físico y matemático a un nivel más conceptual.  Pasen y vean.

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Ecuación de Dirac – Segunda Parte

Ya tuvimos la oportunidad de encontrarnos con la ecuación de Dirac y su derivación en la entrada.

Ecuación de Dirac-Primera Parte

Esta ecuación se propuso como un intento de solventar el problema de probabilidades negativas que era inherente a la ecuación de Klein-Gordon al intentar hacer una ecuación de evolución cuántica consistente con la relatividad especial. Ya veremos como la ecuación de Dirac solventa este problema. Pero en esta ocasión tenemos que pararnos un momento a deducir qué son esas \alpha y \beta que aparece en la ecuación:

i\partial_t\psi=\left[\vec{\alpha}(-i\vec{\nabla})+\beta m\right]\psi

Así que nos vamos a poner manos a la obra.

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Ecuación de Dirac – Primera parte

Paul Maurice Dirac

    Vamos a comenzar con el estudio de los espinores. Como veremos estos son unos objetos matemáticos muy interesantes que aparecen en muchos rincones de la física. Por ejemplo, son esenciales para la descripción de los fermiones que son aquellas partículas de espín semientero y que son las que conforman la materia ordinaria en su nivel más fundamental. Ejemplos de fermiones son los electrones, los protones, los quarks, etc.

Antes de introducirnos en las peculiaridades matemáticas de los espinores tenemos que detenernos a estudiar la famosa ecuación de Dirac. Esta es una ecuación que combina la cuántica y la relatividad especial, es decir, describe el comportamiento cuántico de sistemas que se mueven de forma relativista.

Sin lugar a dudas, la ecuación de Dirac es una de las construcciones teóricas más importantes del siglo XX y cambió para siempre la forma en la que entendíamos la materia. Entre las maravillas escondidas en los trazos de esta ecuación podemos encontrar la explicación de la antimateria, la explicación y origen del espín de las partículas elementales y, quizás de una manera exagerada, toda la química.

Si buscamos en la literatura especializada podemos encontrar muchas derivaciones de esta ecuación. Lo maravilloso es que nació de la mente de Dirac en respuesta a los problemas que presentaba una descripción relativista de los fenómenos cuánticos. En esta primera entrada sobre la ecuación quiero proponer una forma de derivar la ecuación, puede que no sea la mejor, ni la más elegante desde el punto de vista matemático, pero es la que más me ha convencido para exponerla en el blog.

Antes de continuar, esta entrada será la primera del curso técnico sobre espinores y espero poder mostrar todas las derivaciones paso a paso. Pero en algún sitio hay que poner el punto de partida, así que el requerimiento mínimo para seguir estas entradas es el de un conocimiento de algebra matricial y cálculo de una y varias variables. Como siempre, el objetivo es que estas entradas sean lo más autocontenidas posible, espero conseguirlo.

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Las transformaciones de Lorentz

Hemos estado discutiendo en nuestro minicurso de Relatividad Especial las bases de esta teoría.  Los puntos esenciales son:

–  Toda la física es la misma para todo observador inercial.

–  La velocidad de la luz en el vacío es constante para todo observador inercial.

El tema central en relatividad especial es que dados dos observadores inerciales que estén midiendo el mismo fenómeno le asignarán coordenadas distintas.  Pero dado que la física tiene que ser la misma ha de ser posible transformar las coordenadas que le asigna un observador en las que les asigna el otro y viceversa.  Pues bien, las transformaciones que permiten esto y son consistentes con los postulados de la relatividad especial son las conocidas como transformacioens de Lorentz.

En esta entrada vamos a deducirlas paso a paso.

Un texto excelente para todo esto es:

The Mathematics of Relativity for the Rest of Us de Jagerman

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¿Qué quieren decir cuando dicen métrica?

Tenemos la intención de hablar de relatividad general y de agujeros negros y ya hablamos de velocidades superlumínicas y recurrimos a la métrica del profesor Alcubierre.  Pero generalmente no queda muy claro lo que es la métrica.  Cuando se escribe divulgación es muy fácil introducir palabras o conceptos esenciales para lo explicado pero que quedan oscuros o se dan explicaciones demasiado simplonas que no llegan a capturar la esencia de lo explicado.

Así que aquí vamos a intentar hacer una discusión muy básica de qué es una métrica y cómo se trabaja con ella.  Todo ello lo haremos en el caso más simple posible, el plano euclídeo.  Luego podremos extender todo esto a situaciones mucho más chulas.

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