¿Aburridos/as?… ¿Cuantizamos? Parte I

En esta entrada vamos a dar el salto de una teoría clásica a una teoría cuántica. Es decir, vamos a cuantizar de verdad una teoría. El ingrediente esencial para cuantizar una teoría clásica es precisamente conocer muy bien dicha teoría y, por supuesto, elegir un procedimiento de cuantización.

Aquí vamos a sacar provecho de las entradas sobre el oscilador armónico y vamos a cuantizar esta teoría. Intentaremos hacerlo todo pormenorizado y con calma. Este simple ejemplo, que de hecho es uno de los más importantes de toda la física, nos permitirá ver en todo su explendor un proceso de cuantización y de ver las diferencias entre una descripción clásica y una cuántica de los fenómenos físicos.

Preparando la cuantización

Como hemos visto en la entrada de Estados y Observables y en la de ¿Qué es cuantizar?

En la física clásica los estados y observables no se distinguen:

Los estados vienen dados por la especificación de los valores las funciones que representan magnitudes y observables, especialmente posiciones y momentos.

En la física cuántica por otro lado tenemos de un lado los estados, que contienen la información sobre el sistema. Y los observables que son objetos matemáticos que sacan la información de dentro de los estados a través de una determinada regla.

Por tanto cuantizar es pasar de las funciones clásicas a los estados cuánticos y los observables cuánticos representados por operadores (en el sentido matemático).

Pero queda un ingrediente más, en la física, las propiedades dinámicas (es decir de la evolución temporal de los sistemas) se extraen a través de una operación denominada paréntesis de Poisson. Sin embargo esta operación actúa sobre «observables clásicos» que al fin y al cabo son funciones (que toman valores dependientes del tiempo generalmente). Si vamos a pasar a la cuántica no podemos usar esta operación porque los observables ya no son funciones sino esas cosas que llamamos operadores.

Precisamente el proceso de cuantización ha de proponer una nueva operación que contenga la información de cómo obtener la evolución temporal en el rango cuántico. Y en este caso emplearemos la famosa prescripción de Dirac, así que trabajaremos en lo que se llama cuantización canónica.

Cuantización Canónica: Siguiendo los pasos a Dirac.

Nos vamos a centrar en la posición, que como vamos a tratar con el ejemplo del oscilador, viene dada por la función x y el momento p (masa de la partícula por la velocidad en la dirección x).

Los observables clásicos serán funciones de posiciones y momentos.

La energía total del sistema viene dada por $E=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kx^2$ , la posición simplemente por x, el momento simplemente por p. Así nuestros observables clásicos serán siempre de la forma F(x,p), es decir una función tanto de posiciones como de momentos (aunque está claro que el observable puede depender únicamente de uno de ellos). La energía total depende tanto de x, como de p, como es evidente por la fórmula. Sin embargo, la posición sólo depende de x, etc.

Y en la entrada del Hamiltoniano introdujimos el paréntesis de Poisson como una operación entre las funciones dependientes de los observables clásicos. Así dados dos observables clásicos F(x,p) y G(x,p) podemos definir la operación paréntesis de Poisson:

{F,G}

Dirac lo que nos dice es:

Tenemos que convertir los observables clásicos en observables cuánticos:

1.- La función F ha de ser sustituida por el operador $\hat{F}$

2.- Y la operación que condensa la dinámica ya no es el paréntesis de Poisson, { , } sino el conmutador entre operadores [ , ].

Y la relación entre paréntesis de Poisson y conmutador es la siguiente:

$i\hbar$ {F,G} $\rightarrow$ $\left[\hat{F},\hat{G}\right]$

¿Cómo funciona esto?

Dado que cualquier observable clásico es función de x’s y p’s, bastará con encontrar esta relación para posiciones y momentos.

El paso de funciones clásicas a operadores cuánticos es sutil y demostrar que un determinado observable clásico le corresponde un determinado operador se tiene que postular muchas veces y después comprobar que se verifica la relación de conmutación. Existen justificaciones matemáticas, pero son terriblemente técnicas y ciertamente aburridas. Así que aquí vamos a proponer la forma del operador, estudiar como actúa y ver que verifica la condición de cuantización canónica de Dirac.

La posición clásica dada por x se representa cuánticamente por un operador $\hat{x}$ . Este operador tiene una actuación simple, si tenemos un estado cuántico representado por una función de la posición $\psi(x)$ este operador simplemente multiplica la función por su posición:

$\hat{x}\psi(x)=x\psi(x)$

El momento clásico dado por p se representa cuánticamente por un operador $\hat{p}=-i\hbar\dfrac{d}{dx}$ . Este operador calcula el cociente de como varía el estado cuántico dado por $\psi(x)$ ( $d\psi(x)$ ) cuando variamos la posición una cantidad pequeña $dx$ , es decir calcula su derivada respecto a la posición, y lo multiplica por $-i\hbar$ :

$\hat{p}\psi(x)=-i\hbar\dfrac{d\psi(x)}{dx}$

Lo que tiene que ocurrir es que:

$\left[\hat{x},\hat{p}\right]=i\hbar$ { $x,p$ }

Como vimos en la entrada del Hamiltoniano, {x,p}=1. Por tanto se tiene que cumplir:

$\left[\hat{x},\hat{p}\right]=i\hbar$

Comprobemos esto y para ello tenemos que introducir ciertas cosas que, nos resultarán familiares.

Para empezar, ¿qué es el conmutador?

El conmutador es una operación entre operadores que se define del siguiente modo (llamaremos aquí a los operadores $\hat{A} y$ latex \hat{B}$ ):

$\left[\hat{A},\hat{B}\right]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$

¿Os suena? esta es justamente la operación que introdujimos en el RETO 😉

Pero esta operación actúa sobre operadores, y los operadores han de actuar sobre algo, por si mismos están vacíos de contenido. Aquí vale la analogía con la máquina expendedora, la máquina por si misma no hace nada, hay que proporcionarle algo (en este caso una función) para que de un resultado. Así que la anterior expresión la hemos de entender así:

$\left[\hat{A},\hat{B}\right]f=\hat{A}(\hat{B}f)-\hat{B}(\hat{A}f)$

Donde la función f depende (o puede depender) de posiciones o momentos o tiempo.

Así que apliquemos esto a nuestros operadores momento y posición, empleando una función $\psi(x)$ :

$\left[\hat{x},\hat{p}\right]\psi(x)=\hat{x}\hat{p}\psi-\hat{p}\hat{x}\psi$

Ahora pongamos la actuación de cada operador:

$\left[\hat{x},\hat{p}\right]\psi(x)=x\left(-i\hbar\dfrac{d}{dx}\psi\right)-\left(-i\hbar\dfrac{d}{dx}(x\psi)\right)$

Entonces tenemos:

$= -i\hbar x\dfrac{d\psi}{dx}+i\hbar\dfrac{d}{dx}(x\psi)$

Al primer término no hay que hacerle nada, pero el segundo término implica la derivada de un producto de funciones, en este caso la $x$ y la $\psi$ . La derivada de un producto de funciones fg se calcula según esta regla:

$\dfrac{d(fg)}{dx}=\dfrac{df}{dx}g+f\dfrac{dg}{dx}$

La derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo.

Por tanto tenemos que el conmutador queda:

$\left[\hat{x},\hat{p}\right]\psi=-i\hbar x\dfrac{d\psi}{dx}+i\hbar\left(\dfrac{dx}{dx}\psi+x\dfrac{d\psi}{dx}\right)$

Agrupando y recordando que dx/dx = 1 (ver la entrada sobre el mecanismo de Higgs):

$\left[\hat{x},\hat{p}\right]\psi=-i\hbar x\dfrac{d\psi}{dx}+i\hbar\psi+i\hbar x\dfrac{d\psi}{dx}=i\hbar\psi$

Por lo tanto podemos decir:

$\left[\hat{x},\hat{p}\right]\psi=i\hbar\psi$

Lo que se suele simplificar en la notación en:

$\left[\hat{x},\hat{p}\right]=i\hbar$

entendiendo que hay una función arbitraria sobre la que actúa el conmutador.

Es claro que se satisface la regla de Dirac que habíamos presentado antes, la relación entre el paréntesis de Poisson y el conmutador. Asombroso.

¿Cómo queda el Hamiltoniano cuantizado?

Clasicamente, el Hamiltoniano es (estudiaremos el del oscilador armónico pero la técnica es general):

$H=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kx^2$

Ahora lo convertimos a operador cuántico:

$\hat{H}=\dfrac{\hat{p}^2}{2m}+\dfrac{1}{2}k\hat{x}^2$

Si sustituimos el operador momento y el operador posición por su actuación sobre funciones tenemos:

$\hat{H}=\dfrac{-\hbar^2}{2m}\dfrac{d}{dx}\dfrac{d}{dx}+\dfrac{1}{2}kx^2$

La doble derivada se puede escribir así: $(d/dx)(d/dx)=d^2/dx^2$ (eso implica que cuando actúa sobre una función hay que derivar una vez, y el resultado volverlo a derivar. Dado que la posición actúa multiplicando funciones basta poner la x multiplicando.

Pero eso es un operador, entonces tiene que actuar sobre una función $\psi(x)$ :

$\hat{H}\psi(x)=\dfrac{-\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi(x)}{dx^2}+\dfrac{1}{2}kx^2\psi(x)$

Pero ¿qué información contenía el Hamiltoniano? Pues la energía total del sistema, por lo tanto podemos decir:

$\hat{H}\psi(x)=E\psi(x)$

Y esta es la ecuación fundamental del sistema oscilador armónico cuántico. Al resolver esta ecuación encontraremos los estados del oscilador que tienen una energía E dada. Esta es la ecuación de Schrödinger del oscilador armónico. En la versión extendida tenemos:

$\dfrac{-\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi(x)}{dx^2}+\dfrac{1}{2}kx^2\psi(x)=E\psi(x)$

Conclusión:

En esta entrada hemos cuantizado el oscilador armónico. Hemos aplicado el método propuesto por Dirac que se basa en un cambio de funciones clásicas a operadores para representar los observables y un cambio de la operación que condensa la dinámica, del paréntesis de Poisson (en la física clásica) al conmutador (en la física cuántica).

En sucesivas entregas resolveremos esta ecuación y estudiaremos las energías del sistema, veremos como el sistema no puede tener cualquier energía, sino que toma determinados valores y no cualquier otro. Esta es una característica inédita en la física clásica donde la energía puede tomar cualquier valor. En cuántica, en situaciones determinadas, la energía del sistema sólo puede tomar ciertos valores. Discutiremos este punto ampliamente.

Si alguno está interesado volvemos a insistir en leer, seguir y hacer lo propuesto en el RETO, porque pronto desvelaremos su utilidad en mecánica cuántica.

Nos seguimos leyendo…

Muchas gracias a ricardocosan por sus comentarios.

14 Respuestas a “¿Aburridos/as?… ¿Cuantizamos? Parte I”

Ricardo | 7 julio, 2015 en 9:52 | Responder

Estoy estudiando ingeniería mecatrónica, pero mi corazón está en las MATEMÁTICAS y en la FÍSICA, en Junio fui a la IV Escuela Mexicana de Teoría de Cuerdas Y Supersimetría y me dieron muchísimos ánimos para seguir con una maestría en esto y por qué no, un Doctorado 🙂 y con esto me siento optimista para entender todos esos conceptos, procedimientos, caminos y hasta las matemáticas que se necesitan para desarrollar estas Teorías tan bonitas. Agradezco este esfuerzo que hacen ya que noto la forma en la que he podido introducirme en estos temas.
pablo | 27 abril, 2014 en 13:06 | Responder

Hola cc, me encanta esta serie, quisiera saber si vas a continuar con ella algún día, es que es símplemente maravillosa
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45cr Charliec | 6 noviembre, 2011 en 1:25 | Responder

Asombrosa forma de aprender algo que creìa olvidado, gracias por su asistencia CC y seguirè la secuencia, preparàndome para lo que ha de venir que creo que es emocionante y no parece muy dificil.
45cr Charliec | 3 noviembre, 2011 en 22:35 | Responder

Realicè un ejercicio de la derivada de un producto de funciones fgh y no se si està correcto, esto es´ d(fgh)/dx)=df(gh)+f(dg h/dx+gdh/dx), ya veremos si esto puede llevarse a cabo asì.
- Cuentos Cuánticos | 3 noviembre, 2011 en 22:51 | Responder
  
  Efectivamente, muy bien tienes que aplicar dos veces la regla de la derivada del producto y listo. Lo escribo en latex para que se vea bien:
  
  $\dfrac{d}{dx}fgh=\dfrac{d}{dx}f(gh)=\dfrac{df}{dx}hg+f\dfrac{d(gh)}{dx}=$
  
  $=\dfrac{df}{dx}hg+f(\dfrac{dg}{dx}h+g\dfrac{dh}{dx})=\dfrac{df}{dx}gh+f\dfrac{dg}{dx}h+fg\dfrac{dh}{dx}$
45cr Charliec | 2 noviembre, 2011 en 21:59 | Responder

Ooooooooooohhhhhhh, maravilloso, soy Ing. Quìmico, tengo 66 años, estoy refrescàndome la memoria con los conocimientos que expone en este blog CC, con esto me divierto mucho, ya que sigo la secuencia sin perderme nada.
- Cuentos Cuánticos | 2 noviembre, 2011 en 22:09 | Responder
  
  Genial, nos alegramos mucho de que te guste y de que sigas las entradas en secuencia.
  
  Un saludo.
rosgori | 7 agosto, 2011 en 6:55 | Responder

Solo para tener en cuenta. Estoy en Firefox y algunas fórmulas no se ven bien, aparece la palabra latex junto con $.
- Cuentos Cuánticos | 7 agosto, 2011 en 18:13 | Responder
  
  Creemos que no es problema del navegador sino de que algunas veces las fórmulas no se compilan bien. Hemos arreglado las que hemos visto, si aparecen algunas nuevas sin compilar por favor dinos cuáles son.
  
  Muchas gracias y un abrazo.
Ricardo Co-San | 1 agosto, 2011 en 22:50 | Responder

Buena entrada, aumentando el suspense para lo que va a venir.
Un par de erratas: se te pasó sin compilar un $\psi(x)$ a mitad de texto, y el operador momento al cuadrado coge un signo menos en el hamiltoniano por la $i^2=-1$ .
Como opinión personal en la presentación, yo soy más de mantener los gorros de operador en todo momento para no confundir al personal y hacer las cosas más visuales.
Un saludo.
- Cuentos Cuánticos | 1 agosto, 2011 en 22:59 | Responder
  
  Corregidas las erratas… y sí, lo de los gorros tiene sentido, voy a ver si lo metemos
  
  Muchas gracias