El problema de la mecánica cuántica.

Publicado el 6 septiembre, 2011 por Cuentos Cuánticos | 24 comentarios

Se ha hablado mucho de gatos y otras especies para poner de manifiesto lo contraintiutivo de la mecánica cuántica.

Muchas veces se habla de que el gato está vivo y muerto, de que no sabemos que pasa hasta que no hacemos una observación, etc.

Sin embargo, siempre se nos queda la impresión de que el «problema» no queda bien explicado y que siempre queda cogido con alfileres.

En esta entrada queremos explicar a qué se refiere el susodicho tema del «problema de la medida» en mecánica cuántica.

Es bueno leer esta entrada: Cuantización y las ahí enlazadas.

Linealidad

Una de las características esenciales de la mecánica cuántica es lo que se denomina – «linealidad».

Recordemos que tenemos dos objetos en la cuántica:

1.- Los estados, representados por $|\psi\rangle$ .

2.- Los observables, representados por operadores hermíticos y lineales.

¿Qué significa esto de linealidad?

Pues grosso modo significa, si tengo un par de estados aceptables para un sistema $|\psi_1\rangle$ y $|\psi_2\rangle$ cualquier combinación de los mismos también es aceptable para el sistema.

Esto tiene un problema asociado que no ocurre en la física clásica:

Supongamos que tenemos un sistema descrito por un Hamiltoniano $\hat{H}$ y encontramos dos estados que satisfacen la ecuación de Schrödinger asociada:

$\hat{H}|\psi_1\rangle=E_1|\psi_1\rangle$

$\hat{H}|\psi_2\rangle=E_2|\psi_2\rangle$

Esto significa que el sistema en el primer estado tiene una energía definida $E_1$ y en el segundo estado tiene una energía definida $E_2$ .

Ahora bien, supongamos que ahora tenemos una combinación de este tipo:

$|\Psi\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\psi_1\rangle+\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\psi_2\rangle$

¿Este estado es compatible con el sistema? O dicho de otra manera, ¿satisface este estado la ecuación de Schrödinger asociada a este sistema?

Lo veremos paso a paso:

1.- Aplicamos el Hamiltoniano a este estado:

$\hat{H}|\Psi\rangle$

2.- El Hamiltoniano es un observable, por tanto es un operador lineal. Un operador $\hat{A}$ es lineal si al aplicarlo a una combinación de funciones (suma o resta de funciones con distintos coeficientes) del tipo $3f+4g$ , obtenemos lo siguiente $\hat{A}(3f+4g)=3\hat{A}f+4\hat{A}g$ , por lo tanto la aplicación del Hamiltoniano es:

$\hat{H}|\Psi\rangle=\hat{H}(\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\psi_1\rangle+\dfrac{1}{\sqrt{2}}|\psi_2\rangle)=$

$=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{H}|\psi_1\rangle+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{H}|\psi_2\rangle$

3.- Entonces, dado que la ecuación de Schrödinger se puede escribir como, $\hat{H}|\psi\rangle - E|\psi\rangle=0$ . No es difícil ver que:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat{H}|\psi_1\rangle-E_1|\psi_1\rangle)+\dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat{H}|\psi_2\rangle-E_2|\psi_2\rangle)=0$

Así en este sentido decimos que el estado compuesto o superposición (a las combinaciones lienales de funciones se las denomina superposiciones de estados en este contexto) es admisible y satisface la ecuación de Schrödinger.

Ahora bien, ¿qué energía tiene el sistema en el estado $|\Psi\rangle$ ? ¿ $E_1$ ? ¿ $E_2$ ? La respuesta que nos da la cuántica es que depende, que si medimos la energía del sistema en algunas ocasiones obtendremos $E_1$ y en otras ocasiones obtendremos $E_2$ .

La cuántica nos dice que la probabilidad de obtener $E_1$ es el coeficiente al cuadrado de la combinación de estados que acompaña a $|\psi_1\rangle$ . En este caso, $1/2$ , o lo que es lo mismo un 50%. Análogamente con la otra energía.

El problema es que no sabemos por qué demonios, el estado inicial colapsa a un estado en concreto. Es decir, cuando mido la energía del sistema obtendremos que su energía es $E_1$ o $E_2$ , lo que significa que $|\Psi\rangle$ colapsa a $|\psi_1\rangle$ o $|\psi_2\rangle$ .

¿Y el gato?

La cuestión con el gato es simple ahora, si por alguna razón (ya sabéis la cuestión del veneno asociado con la descomposición de un átomo radiactivo, bla bla bla), el gato está en una caja y hay posibilidad de que muera o de que no muera, en un 50%, entonces su estado cuántico lo podemos expresar:

$|Gato\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}|vivo\rangle+\dfrac{1}{\sqrt{2}}|muerto\rangle$

Eso significa que dentro de la caja, el gato puede estar en una superposición de estados, ya que está permitido por la cuántica. Entonces tenemos que hacer una medida, abrir la caja. Al efectuar dicha medida, el estado $|Gato\rangle$ colapsa a $|vivo\rangle$ o $|muerto\rangle$ .

Todas las interpretaciones de la mecánica cuántica se ponen sobre la mesa para explicar este fenómeno. ¿Por qué no vemos superposiciones de estado? ¿Qué mecanismo hace que colapse una superposición de estado en uno de sus constituyentes y no en los otros? ¿Por qué la asignación de probabilidades de la cuántica funciona tan bien?

Intentaremos ir tratando distintas interpretaciones sobre la cuántica basándonos en este ejemplo del gato. La interpretación transacional, relacional, la estándar, la de mundos múltiples, etc.

Esperamos haber aclarado por qué lo del gato trae tanta cola.

Nos seguimos leyendo…

Esta entrada fue publicada en divulgación, mecánica cuántica y etiquetada ecuación de Schrödinger, mecánica-cuántica, problema de la medida, superposición. Guarda el enlace permanente.

24 Respuestas a “El problema de la mecánica cuántica.”

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María | 10 agosto, 2012 en 2:07 | Responder

Tengo muchos interrogantes. Vamos allá.

El teorema de Noether, a cada simetría, le corresponde una ley de conservación o ley de conservación del movimiento lineal, parece queda claro en tu exposición que si : «Pues grosso modo significa, si tengo un par de estados aceptables para un sistema y cualquier combinación de los mismos también es aceptable para el sistema».

Y añades «Esto tiene un problema asociado que no ocurre en la física clásica»

Bien, me voy al tercer teorema de Noether, sobre la invarianza respecto a la traslación en el tiempo, tiene una ley de conservación asociada que es la conservación de la energía en el tiempo. En física teórica tiempo y energía son complementarias pues energía es aquello que se conserva en el tiempo.

Pero aquí resulta que hay dos estados superpuerpuestos correspondientes a dos estados posibles al 50% de probabilidades.. » Esto significa que el sistema en el primer estado tiene una energía definida E1 y en el segundo estado tiene una energía definida, E2″.

¿Se cumple también este teorema? ¿Y quieres centrar la cuestión en por qué la función colapso rompe la probabilidad a favor de uno u otro estado?

En la mecánica clasica supongo que el resultado no deja lugar a dudas, el gato muere, el resultado no es probabilistico sino estable, el de causa efecto, y por tanto perfectamente predecible con anterioridad a levantar la tapa de la caja. La energía pues la propiedad y magnitud medible de producir un cambio de estado. Es decir, que si conozco la posición, las fuerzas a que esta sometido un cuerpo, la dirección, etc tengo un conocimiento a priori y predecible cien por cien de un resultado futuro o posterior.

Si bajo de escala a nivel atómico. Bueno aquí ya varía la cuestión. Me empezaré a mover entre la causa efecto,y las probabilidades, a caballo entre ambas. Podré predecir un resultado con cierto margen de error, puede surgir algo imprebisible, un resultado no esperado. El gato es predecible que aparezca muerto. Por qué. Porque existiendo ahora las dos probabilidades, el resultado responda a la reorganización que le requiera menos energía.

Y si el resultado es que el gato vive desde luego ya ha intervenido un problema, un postulado- no se como expresarlo- netamente de la mecánica cuántica. Aquí en concreto, no lo quiero liar, pero estaría muy relacionado el resultado con un efecto muy curioso, muy especial que es el efecto túnel.

Paul Dirac, este supergenio, crucial para todo el desarrollo de la mecanica cuántica actual, pieza clave, que tomo las matemáticas para describir la esencia del electrón y la coexisencia de un electrón con una masa imaginaria y otra real, asimismo con una carga eléctrica negativa y con una carga electrica positiva o positrón, es decir, predijo la existencia de una de las formas de antimateria, y asimismo la velocidad del electrón que también se describe con una raiz cuadrada, también aquí las matemáticas nos dan la libertad del electrón de tener asociadas una velocidad real y otra imaginaria.

Felicitaciones cc y a todo el equipo, una vez más que tantos momentos buenos nos procura.
Anónimo | 9 agosto, 2012 en 19:27 | Responder

La cuántica se apoya en lo «no causal» (probabilidad, indeterminación o superposición de estados)… es este un buen punto de partida para un científico ? por mucho que las predicciones sean correctas.

Los epiciclos y los deferentes daban predicciones correctas de las estaciones y eclipses y sin embargo se necesitó de una teoría eliocéntrica y un posterior análisis matemático de las órbitas (Brahe, Kepler y Newton) para dar una explicación coherente de aquellas matemáticas epicíclicas (hoy completamente olvidadas).

Creo que es correcto aceptar a la cuántica tal y como hoy está formulada, pero que es correcto, asímismo, el buscar una teoría alternativa que unifique sus variables y de consistencia a sus matemáticas.

Es razonable esta pretensión ??
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CharlesD | 26 octubre, 2011 en 11:52 | Responder

Muy bueno y muy claro. Gracias
Marta | 25 octubre, 2011 en 22:52 | Responder

Buenisima explicación! Y ya que estamos…. qué libro recomendaría para el estudio y comprensión de la mecánica cuántica?
Gracias!
- Cuentos Cuánticos | 26 octubre, 2011 en 8:28 | Responder
  
  Sin duda elegiría este libro:
  
  Quantum Mechanics: Concepts and applications
  
  Bien explicado, sin profundizar demasaido en el formalismo a nivel abstracto y con multitud de ejercicios totalmente resueltos. Un magnífico libro para introducirse en la cuántica.
LasloDemsi | 22 septiembre, 2011 en 18:22 | Responder

En mi opinión se equivoca . Puedo defender la posición . Escribir para mí en la tarde, vamos a hablar .
- Cuentos Cuánticos | 22 septiembre, 2011 en 21:19 | Responder
  
  Lo siento no he entendido lo que quieres decir.
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Jesus Diaz | 8 septiembre, 2011 en 22:01 | Responder

Cuando vas a hablar de las interpretaciones no ortodoxas de la mecanica cuantica? En concreto me atrae mucho la interpretacion de mundos multiples de Everett o la introduccion del elemento «conciencia» que postulaba Eugene Wigner para explicar el problema de la medida. Se que esto es entrar en aspectos filosoficos y metafisicos de la mecanica cuantica, y es un terreno pantanoso muy utilizado por la pseudociencia, pero estaria genial que los tratases.
- Carlos Branco | 19 abril, 2014 en 1:46 | Responder
  
  de hecho aquí empieza la filosofía existencialista a introducir algunas ideas desde el siglo pasado sobre nuestra falta de percepción y nuestra necedad de entablar una realidad que aun no entendemos.
Anónimo | 8 septiembre, 2011 en 17:37 | Responder

Esta muy interesante, felicitaciones, continua asi. nos estamos leyendo.
- online auto insurance quotes | 23 abril, 2014 en 15:36 | Responder
  
  You’re on top of the game. Thanks for sharing.
Cuentos Cuánticos | 7 septiembre, 2011 en 17:15 | Responder

Muchas gracias por todos vuestros comentarios, ha sido una inesperada sorpresa que esta entrada haya gustado tanto. Cada vez se hace más difícil imaginar que cosas gustan o no… así que muchas gracias por manifestaros (en esta ocasión en positivo pero que si alguna vez es en negativo también estaremos encantados).
Tom Wood | 6 septiembre, 2011 en 20:33 | Responder

Superaste todas las síntesis anteriores que se habían hecho de este símil (gato) y con rigor, sin bla, bla, bla… simplemente ¡genial! Con una lectura te lo llevas todo. No se porque a veces pienso que estas cosas tan sintéticas no se pueden lograr; pero si hay quienes lo logran, los admiro mucho. Una broma, ¿seria el descansito?, si fue así descanse y cuídese los necesitamos.
Scruz | 6 septiembre, 2011 en 18:35 | Responder

y además responde a la pregunta que hice en el foro bastante bien, que se me olvidad comentarlo!
Scruz | 6 septiembre, 2011 en 18:33 | Responder

Simplemente genial, otra vez mas, ¡no puedo ni ojear el blog por que empiezo a leer y no paro!