Del concepto de línea recta al mecanismo de Higgs ¿Te lo crees?

Publicado el 17 octubre, 2011 por Cuentos Cuánticos | 24 comentarios

Hemos presentado esta entrada a la XXIV edición del Carnaval de la Física. Este mes alojado en el blog: Nuevas Noticias del Cosmos.

Esta entrada también se presenta a la edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas que este mes está hospedado en el blog: La aventura de la ciencia.

Hola,

ahora nos proponemos hacer algo chulo, explicar el mecanismo de Higgs, la rotura de simetría y qué significa todo eso. Ciertamente es un tema difícil, depende de la teoría cuántica de campos, y bueno, no es evidente que lo vayamos a conseguir, pero aquí está.

Cualquier cosa o comentario por aquí estamos, o si quieres una discusión más ágil: http://cuentos-cuanticos.es/smf/

Esperamos vuestras opiniones.

¿Qué es una línea recta?

Las líneas rectas se identifican por esta fórmula $y=mx+n$ , donde m es la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen (donde corta con el eje Y) (nos estamos restringiendo a rectas en el plano XY.

Si la línea recta no tiene pendiente m=0, tenemos que toma la forma y = n es decir, una línea horizontal que corta al eje Y en el valor n.

¿Las curvas tienen pendiente?

Efectivamente, las líneas curvas tienen pendiente y para identificarla ¿qué hemos de hacer? Pues muy fácil, nos ponemos en el punto que queramos calcular la pendiente de la línea curva, y buscamos la recta tangente a ese punto. La pendiente de dicha recta es justamente la pendiente de esa curva en ese punto. Obviamente las líneas curvas tendrán una pendiente distinta en cada punto.

¿Derivadas?

Las derivadas son una forma de ver como cambia una función, una curva, en términos de su variable.

Antes hemos puesto y=mx+n (queremos ver cómo cambia y cuando cambiamos x). Bien, estudiemos ese caso:

A la variación en y (que claramente depende de x, con lo cual podemos escribir y(x) o f(x)=mx+n) la llamaremos dy. A la variación de x la llamaremos, dx.

Para ver como cambia y (dy) cuando cambia x (dx), simplemente hemos de calcular $\dfrac{dy}{dx}$

¿Y eso cómo se calcula?

Eso es una derivada y para nosotros será suficiente en esta entrada aprender como se calculan derivadas de funciones , curvas, que dependen de potencias de x, $x^n$ y números. La regla es fácil bajamos el exponente a la x y la elevamos al antiguo exponente menos 1:

Ejemplo:

Si $y= x^n$ , la derivada $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^n}{dx}=nx^{n-1}$

Poniendo numeritos:

Si $y= x^2$ , la derivada $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^2}{dx}=2x^{1}=2x$

Si $y= x^1(=x)$ , la derivada $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^1}{dx}=1x^{0}=1$

Por otro lado, si y=n su derivada es nula, es lo lógico, por mucho que cambie la x la y siempre es n, nunca cambia, por tanto su derivada es cero.

Otro detallito, si y=mx^n, las reglas de las derivadas dicen que los números salen de la derivada:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{mx^n}{dx}=m\dfrac{dx^n}{dx}$

Poniendo numeritos:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d(5x^3)}{dx}=5\dfrac{dx^3}{dx}=5\cdot3 x^2=15x^2$

Ultimo apunte, si tenemos $y=4x^3+7x^5$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d(4x^3+7x^5)}{dx}=\dfrac{d4x^3}{dx}+\dfrac{d7x^5}{dx}=4\dfrac{x^3}{dx}+7\dfrac{dx^5}{dx}=12x^2+35x^6$

Es decir, que si tenemos una función que se puede ver como suma de dos funciones (o resta), la derivada de dicha función es la suma de derivadas.

Por qué la pendiente se relaciona con la derivada. Tomemos una recta y=mx+n y calculemos la derivada:

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d(mx+n)}{dx}=\dfrac{dmx}{dx}+\dfrac{dn}{dx}=m\dfrac{dx}{dx}=m$

así que efectivamente la derivada te da la pendiente de la recta.

Máximos y mínimos:

¿Cómo sabemos que una curva tiene un máximo o un mínimo? Fácil, vamos estudiando las pendientes de las rectas tangentes a la curva.

Si tengo un máximo está claro que, independientemente de cómo me mueva en la curva de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, las pendientes de las curvas tienen primero que crecer y luego tienen que decrecer. Pero para pasar de crecer a decrecer, en algún momento se tiene que hacer cero. Pues justamente en el punto en el que se hace cero la curva tiene un mínimo.

Análogamente, si tengo un mínimo está claro que las pendientes de las curvas tienen primero que decrecer y luego tienen que crecer. Pero para pasar de decrecer a crecer, en algún momento la pendiente también tiene que hacerse cero. Pues justamente en el punto en el que se hace cero la curva tiene un mínimo.

Es decir que pendiente de la recta tangente igual a cero implica que es un máximo o un mínimo (para decidir si es máx o mín hay que ver si la curva es tal que las pendientes primero crecen y luego decrecen o viceversa y para eso hay que recurrir a la segunda derivada, pero esa es otra historia). Para lo que nos ocupa esto es suficiente porque conoceremos la forma de la curva que nos interese en esta entrada y podremos ver si es máx o mín.

Hagamos tres ejemplos

Ejemplo 1

$y=x^2 + 5$

Esto es una parábola (sólo tiene un mínimo).

Entonces calculamos la pendiente de las rectas tangentes, es decir, la derivada

$\dfrac{dy}{dx}=2x$

Ahora nos preguntamos cuando se hace cero: $2x=0$ Y resolvemos esta ecuación: $x=0$ . Y si queremos saber el punto, necesitamos tanto x como y. Así que sustituimos este valor en la función y obtenemos: y=5. Así que la parábola tiene un mín en (0,5).

Ejemplo 2

Pongamos esta función: $y=4x^2+3x^4$

Calculamos su derivada: $8x+12x^3$

La igualamos a cero: $8x+12x^3=0$

Resolvemos:

$x(8+12x^2)=0$ las posibles soluciones son x=0 y $x=\pm\sqrt{-\dfrac{8}{12}}$

Observamos que tenemos tres soluciones, pero dos de ellas son complejas y nosotros estamos trabajando con una función real y representable en el plano real, por lo tanto el único punto donde pude haber un máx o mín es en el de x=0.

Ejemplo 3

Pongamos esta función: $y=-8x^2+2x^4$

Calculamos su derivada $-16x+8x^3$

La igualamos a cero: $(-16x+8x^3)=0$

Resolvemos:

$x(-16+8x^2)=0$ Las posibles soluciones son x=0 y $x=\pm\sqrt{2}$ .

Por lo tanto, tenemos una máx para x=0 y dos mín uno para $\sqrt{2}$ y otro para $-\sqrt{2}$ .

El mecanismo de Higgs:

Como sabemos de la escuela para cada campo tenemos un potencial asociado.

Para el campo gravitatorio producido por una masa m tenemos que su potencial es:

$V(r)=-Gm\dfrac{1}{r}$

Donde tenemos un coeficiente Gm que esencialmente es la masa (La constante se puede redefinir para que valga 1)

Para el campo eléctrico producido por una carga q tenemos que su potencial es:

$V(r)=Kq\dfrac{1}{r}$

Aquí tenemos un coeficiente Kq que básicamente es la carga, (la constante se puede redefinir para que valga 1)

Ahora introduzcamos el campo de Higgs, así que elegimos esta letra $\phi$ . El potencial del campo de Higgs, que se deriva de una concienzuda teoría cuántica de campos, tiene esta forma:

$V(\phi)=-\mu^2 \phi^2+\nu\phi^4$

donde $\mu^2$ y $\nu$ son números positivos.

Comparemos esto con $y=-8x^2+2x^4$ … Sí, es exactamente lo mismo simplemente usando otras letras. Ahora podríamos sacar los max y mín del potencial de Higgs y tendríamos que calcular las derivadas $\dfrac{dV}{d\phi}$ , el resto es igual, que el caso que hemos hecho. Es decir aquí la Y es la energía potencial y la X son los valores del campo.

Así tenemos que el campo de Higgs tiene un max en $\phi=0$ y dos mín en $\phi=\sqrt{\dfrac{\mu^2}{2\nu}}$ y en $\phi=-\sqrt{\dfrac{\mu^2}{2\nu}}$ .

Rotura de simetría:

Pongamonos en situación, somos el campo de Higgs, y estamos en $\phi=0$ . En la cima de la montaña, y entonces vemos que todo es simétrico, a un lado y al otro.

Pero hay un problema, $\phi=0$ significa que no hay campo, el campo de Higgs es 0, pero resulta que su energía potencial no lo es. Cosa rara, tenemos un campo que vale cero, pero su energía no es cero. Y qué significa que el campo es cero. Pues como ya habréis oído o leído por ahí en cada campo cuántico encontramos que sus excitaciones se comportan como partículas, y las partículas del campo de Higgs es el famoso, famosísimo bosón de Higgs, así que campo 0 implica que no hay partículas de Higgs por ningún sitio. Pero es que si no tiene partículas, ocurre que la energía del campo es diferente de cero.

Y sabemos que tenemos dos mín, dos sitios con energía nula (o en todo caso menor que la del máx) pero ojo, el campo ahí ya no vale cero, entonces hay partículas de Higgs. Pero resulta que los sistemas decaen a estados energéticos menores, y así lo hace el campo de Higgs, y pufff, de repente encontramos partículas de Higgs por ahí rondando. Y encima entendemos que tienen que tener una masa ( $2\mu^2$ ) y ahí andamos buscandolos.

Así que el campo pasa espontáneamente de $\phi=0$ a una de las otras dos opciones ,a $\phi=\sqrt{\dfrac{\mu^2}{2\nu}}$ o a $\phi=-\sqrt{\dfrac{\mu^2}{2\nu}}$ . Entonces ahora se encuentra en el “valle” y ya no hay simetría a su alrededor.

Por eso a este fenómeno se le llama rotura espontánea de la simetría.

Rotura

Lo genial de todo esto es que si esto ocurre así, hay un hecho indirecto muy interesante. Resulta que si uno estudia la interacción electromagnética y la débil en la teoría cuántica, esas interacciones llevan asociadas cuatro partículas, el fotón $\gamma$ para el electromagnetismo y los bosones Z y $W^+$ y $W^-$ . Resulta que todos esos bosones son a primeras luces idénticos, por eso se pueden unificar las interacciones electromagnética y débil en la teoría electrodébil. Sin embargo los bosones débiles tienen masa (de hecho bastante grande) y el fotón no. Pues lo curioso es que esta “rotura espontánea de la simetría” tiene como efecto dar masa a los bosones Z y W pero no al fotón. Justamente lo que vemos.

Este es el mecanismo más conocido y mejor estudiado de dotar masa a las partículas. Pero hay otros que no necesitan del Higgs, algún día lo mismo contamos alguno.

Esperamos que os haya gustado.

Las gráficas de esta entrada han sido realizadas en: GRAFICAS QUICKMATH.COM

Addendum: En un comentario se han percatado que la gráfica correspondiente al caso:

$y=-8x^2+2x^4$

no corresponde exactamente con dicha fórmula. Es cierto, hemos subido la gráfica para apreciar mejor los detalles aprovechando que el potencial está definido salvo una constante (recordemos que las derivadas de las constantes son nulas y por tanto no afectan a la discusión de máximos y mínimos más allá de sacar el valor de los mismos). Sin embargo, por completitud añadimos aquí la gráfica que realmente corresponde a este caso:

Esta entrada fue publicada en divulgación y etiquetada derivadas, divulgación, Higgs, máximos, mínimos, pendientes, rotura de la simetría, simetría. Guarda el enlace permanente.

24 Respuestas a “Del concepto de línea recta al mecanismo de Higgs ¿Te lo crees?”

Anónimo | 24 enero, 2014 en 1:31 | Responder

Muy instructivo. La gráfica sería: y=-8x^2 + 2x^4 + 8
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Carlos Reyes | 8 julio, 2012 en 14:33 | Responder

En este blog por cualquier camino se llega al entendimiento de la fìsica, es como si todo estuviera entrelazado, es magistral la divulgaciòn en esto, hay que dedicar un poco màs tiempo para estar al dìa, pero a la postre redunda en beneficio cuantizable.
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Albert | 18 octubre, 2011 en 18:39 | Responder

Creo que no lo he entendido todo bien, os explico lo que yo he entendido y por favor, me corregís.
A altas energías hay un único bosón electrodébil, que como no interacciona con el campo de Higgs no tiene masa en reposo y su velocidad es la de la luz c. Esta situación corresponde al máximo de la gráfica que representa el campo de Higgs.
Cuando la energía desciende se rompe la simetría y el bosón electrodébil puede aparecer de dos formas:

1. Como fotón, que continua sin interaccionar con el campo de Higgs, por lo que no tiene masa en reposo y su velocidad es c. Produce interacciónes electromagnéticas de largo alcance.
2. Como bosón débil W+, W- o Z que adquieren masa en reposo porque interaccionan con el campo de Higgs. (¿La masa de la partícula representa la magnitud del nivel de interacción de la partícula con el campo de Higgs?). Estos bosones producen la interacción débil que es de corto alcance porque los bosones tienen alta masa en reposo.

Como el campo de Higgs es un campo y ¿hay un teorema que dice que todo campo debe llevar asociado una partícula?, debe existir la partícula de Higgs, que es la que están buscando en el CERN.
Si estoy en lo cierto que la masa de la partícula es la magnitud de su interacción con el campo de Higgs, ¿podemos decir que las partículas adquieren masa cuando interaccionan con los bosones de Higgs?
Gracias
- Cuentos Cuánticos | 18 octubre, 2011 en 19:01 | Responder
  
  Aquí hay dos cosas, los bosones electrodébiles por un lado y por otro lado está el campo de Higgs.
  
  Cuando la energía (digamos del universo) es alta, el campo de Higgs puede estar en su vacío virtual (sin partículas pero con energía, el máximo de la gráfica). Pero este campo tiene el vacío real (con partículas pero menor energía, los mínimos de la gráfica).
  
  Al descender la energía el campo de Higgs pasa del vacío virtual al real, pero lo hace espontáneamente a un vacío, es decir, rompe la simetría. Y en ese proceso aparecen las partículas asociadas al campo, el bosón (o bosones de Higgs porque hay modelos con más de una clase de estos bosones).
  
  Los fotones no interactúan con el campo de Higgs (que ya está en su vacío) y por lo tanto no adquieren masa, sin embargo los W y el Z sí interactúan con el Higgs y adquieren masa. No hemos explicado cómo adquieren masa estos campos, o mejor dicho, no hemos mostrado cómo aparecen los términos de masa para los bosones W y Z pero no para el fotón, esto lo haremos en el curso de teoría cuántica de campos llegado el momento.
  
  Respecto a la relación entre Campos y Partículas, pues es un resultado general que una teoría cuántica de campos en un espaciotiempo plano (tipo Minkowski) las excitaciones de un determinado campo se pueden interpretar como partículas ya que estas excitaciones tienen energía, momento y otros números cuánticos como espín, etc. Así que lo que busca el LHC son justamente señales de dichas partículas (bosones de Higgs) que serían las excitaciones del campo y confirmarían su existencia. Y sí, en cierto sentido la masa de las partículas viene determinada al modo en el que se acoplan al campo de Higgs, por lo tanto estás en lo correcto.
  
  Un saludo.
angelalonso | 17 octubre, 2011 en 19:47 | Responder

Me parece un artículo con una eficacia divulgativa excelente. Os felicito. Me ha encantado.
hector04 | 17 octubre, 2011 en 14:25 | Responder

Disculpa mi ignorancia, pero que fuerza actúa como símil de la gravedad para la ruptura de la simetría, en el dibujo se aprecia una bola que perdió el equilibrio…
- Cuentos Cuánticos | 17 octubre, 2011 en 14:32 | Responder
  
  Tu ignorancia está perdonada siempre que tú perdones la mía. Una vez perdonadas todas las ignorancias vayamos a la pregunta 😉
  
  Lo de la pelotita lo único que indica es que el campo (representado por esa pelotita) está en un estado de energía u otro, es decir, esa «pelotita» no está representando ninguna partícula o cuerpo redondo que cae por efecto de ninguna fuerza.
  
  En lo que consiste el fenómeno este es que si el campo está en el máximo de potencial caerá espontáneamente a un estado de menor energía y ese estado ya no es simétrico, por eso se llama a este proceso rotura espontánea de la simetría porque se produce por la tendencia de un sistema a llegar a su mínimo de energía.
  
  Espero haber aclarado tu duda.
  
  Un saludo y muchas gracias por participar.
Cuentos Cuánticos | 17 octubre, 2011 en 11:12 | Responder

No, no te equivocas. Pero en esta entrada las gráficas sólo están para ver la forma de la función. Lo interesante es la estructura de máximos y mínimos y su interpretación.

De todas formas uno siempre puede aprovechar que el potencial está indeterminado en una constante para subir o bajar la gráfica (y eso cambiaría las coordenadas de los puntos máx y min pero no su estructura y distribución, por aquello de que la derivada de una constante es nula).

Sin embargo, nos parece perfecta esta puntualización y deberíamos de haberlo dicho en el texto. Ya hemos subsanado ese desliz.

Muchísimas gracias.
- Anónimo | 17 octubre, 2011 en 11:56 | Responder
  
  OK, no quería ser puntilloso, mi pregunta básicamente venía en relación a la energía potencial negativa, sé que es posible, pero se debería compensar con una energía cinética mayor, ya que la suma de ambas (Energía total) no puede ser menor que cero. Pero si como tú comentas se puede desplazar la gráfica con una constante, con algún tipo de criterio, de eso estoy seguro, el problema está resuelto.
  
  Gracias por la respuesta, llevo tiempo siguiendo el blog, prácticamente desde el inicio, pero este es mi primer comentario. Seguro que pronto me registraré y participaré de manera más activa, me gustan vuestras entradas ya que llenan un espacio entre la divulgación plana y simplista, y los tecnicismos tediosos.
  
  Gracias Cuentos Cuánticos
  - Cuentos Cuánticos | 17 octubre, 2011 en 12:14 | Responder
    
    Que va, hay que ser puntilloso en estas cosas, eso es lo bueno y lo que hace que la ciencia avance. Así que muchas gracias por tu puntillismo.
    
    Lo de cambiar la energía potencial por una constante seguro que te suena. Tal vez has hecho problemas de gravedad en el instituto y algunas veces se pone el origen de potencial en el cero y otras veces en el infinito que se traduce en sumar una constante a la energía potencial. Es eso de que se puede elegir el origen de potencial porque lo único que nos interesa son las diferencias de energía y no su valor absoluto en un punto dado.
    
    Muchas gracias por seguir el blog y por participar.
Anónimo | 17 octubre, 2011 en 10:48 | Responder

La gráfica para la ecuación y=8x^2 + 2x^4 no es correcta, puesto que para x=0, y=0, y para los mínimos estaríamos en y =-8; análogamente y según la ecuación del potencial de campo de Higgs tendríamos energías potenciales negativas, ¿Me equivoco?
Tom Wood | 17 octubre, 2011 en 10:17 | Responder

No me gusto, ME ENCANTO. Ya le dije que si se sigue soltando así, algunos premios gordos van a caer, tiempo al tiempo y no me mofo. Se que solo hace esto por amor a las ciencia, solo ese sentimiento produce estas cosas. Pleace, no se nos distraiga más con programitas de poca monta. Ni arreglando cacharros compactos, que lo compacto es puro reciclaje, ya pasaron los buenos tiempos, donde como niños podíamos desarmar y armar. Haber, esos buenos amigos españoles que me le manden de regalo un buen Blue Ray y un plano a este señor, y si pueden una tableta, vamos yo se que muchos pueden, el merece mas. El tiempo siempre es mi dilema, Cuentos Cuánticos.
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