La perversión de Feynman

Feynman era de estos tipos que opinaban que o lo hacía él o no lo iba a entender (sin menospreciar a los colegas). Así que el tipo se puso a pensar sobre la doble rendija y acabó con una nueva formulación de la mecánica cuántica 🙂

En esta formulación no hay nada de lo que hemos hablado hasta la fecha cuando acerca de la cuántica. No hay estados y observables representados por operadores, no hay ecuaciones de Schrödinger, etc (para refrescar eso de estados y observables haz click AQUÍ).

En realidad esta formulación la dedujo pensando sobre una frase de oscuro significado que había escrito Dirac en un trabajo suyo. Sin embargo, la forma en la que vamos a plantearla aquí, y que no es nada original, es mucho más «intuitiva».

Lo que vamos a ver aquí lo podéis encontrar con todo lujo de detalles en el tercer volumen de las Lecciones de Física de Feynman.

Tócala otra vez Sam… (Retomando la doble rendija)

Vamos a introducir formulitas, muy simples, en esta ocasión. Así que despacito y buena letra. Si Richard lo vio claro nosotros también podremos, vamos digo yo.

¿Qué necesitamos?

Pues necesitamos un diseño de doble rendija. Un cañón de «cosas» cuánticas, por ejemplo electrones o fotones, lanzados de uno a uno para estar seguros de que sólo hay un bicho de esos en vuelo desde que sale hasta que llega a la pantalla. Necesitamos la doble rendija, y por supuesto la doble rendija.

Un esquema muy simple sería:

Ahora podemos preguntarnos con qué probabilidad una partícula lanzada pasa por la rendija 1 o por la rendija 2 antes de llegar a la pantalla.  Llamaremos a la probabilidad de pasar por la rendija 1 y a la probabilidad de pasar por la rendija 2.  Llamaremos a la probabilidad total de que una partícula llegue a la pantalla habiendo pasado por la rendija 1 o la rendija 2.

Si nuestras partículas fueran clásicas y se comportaran siempre como partículas la probabilidad total de llegar a la pantalla sería:

Como las partículas no se influyen en absoluto sino que cada una va por su camino pues una partícula lanzada sigue su camino hasta llegar a la pantalla tan ricamente.  Esto se traduce en que las probabilidades de pasar por 1 o 2 son independientes y por tanto la probabilidad total es la suma de ambas.

Sin embargo, como hemos visto en la entrada anterior, esto no es verdad. Lo que ocurre es que se produce un patrón de interferencia. Eso quiere decir que las probabilidades de pasar por 1 o por 2 no son del todo independientes.  Y eso se traduce en que la probabilidad total se tenga que escribir como:

Esta es la que da cuenta del patrón de interferencia. Entonces haciendo caso a que hay algo ondulatorio aquí escondido tenemos que asumir que lo que tenemos que calcular es algo que se comporta ondulatoriamente y que la probabilidad de que pase por algún sitio es su (módulo al) cuadrado:

Entonces, lo que tenemos que calcular es la «onda» producida por 1 y la producida por 2 y la probabilidad de que llegue a la pantalla será:

Es muy importante fijarse que aquí lo que sumamos son las cosas «ondulatorias», que podemos denominarlas amplitudes para abreviar, y no las probabilidades como en el caso de partículas puras.

El resultado es:

Aquí aparece una parte real y un complejo conjugado. Esto es así porque en general los objetos como son complejos (en el sentido de tener parte real y parte imaginaria).  El término correspondiente a la parte real es el que da cuenta de la interferencia de los dos caminos. Los que deseen más detalles sobre esto:  Mecánica cuántica: elementos matemáticos básicos.

Cambiemos la notación

Vamos a definir una forma de denotar estas amplitudes de probabilidad de una forma que nos permitirá visualizar mejor a qué «proceso» hacen referencia.

Digamos que si en la imagen anterior queremos calcular la amplitud de probabilidad de que una partícula salga de S y llegue a D lo escribiremos de este modo:

Como hemos visto en la sección anterior, lo que tenemos que sumar en este caso es la amplitud de probabilidad de que salga por S, pase por 1 y llegue a un punto x en D y la amplitud de que salga por S, pase por 2 y llegue a un punto x en D:

El punto clave aquí es ver que significa salir por S, pasar por 1 (o 2) y llegar a un punto x en D. ¿Cómo escribimos eso?

La respuesta es simple:

 (de forma análoga para 2). Esto hay que pensarlo un poco, pero tampoco mucho, si quiero saber que amplitud de probabilidad hay de ir de un punto a otro pasando por uno dado, pues lo lógico es que el resultado sea el producto de amplitudes de probabilidad (de hecho podemos tomar esto como un principio). Por lo tanto podemos escribir:

Comienza la perversión

Ahora nos dice Feynman:  Pon ahora tres rendijas entre la doble rendija y la pantalla D y calcula la amplitud de probabilidad de ir desde S hasta un punto x en D.

Siguiendo las reglas anteriores tenemos que llegar a:

Ahora hagamos esto:

1.-  Tomamos un lápiz y un papel.

2.-  Elegimos un punto en la pantalla.

3.-  Conectamos S con el punto x en  D siguiendo todas las combinaciones de pasar por las distintas rendijas.

4.-  Intentamos escribir la amplitud total.

Nos debería quedar algo así:

Si habéis pintado todos las posibles formas de ir desde S hasta el punto x elegido en la pantalla D entenderéis que estamos teniendo en cuenta todas las formas de pasar por todas las rendijas, ¡a la vez!

Y por si fuera poco…

El objeto central en la cuántica es justo calcular la amplitud de probabilidad de un determinado proceso. Aquí nos estamos centrando en el proceso de ir desde el punto S hasta un punto x en la pantalla D.

Feynman tuvo la generalidad de pensar:

Si queremos saber la probabilidad de ir de un punto a otro tenemos que tener en cuenta todos los posibles caminos.

La idea intuitiva para esto es:

a) Elige los puntos entre los que quieres calcular la probabilidad de ir de uno a otro.

b) Considera que tenemos infinitas superficies con infinitas rendijas entre ambos puntos.

Así si generalizamos el caso anterior, para calcular la amplitud de probabilidad deseada tenemos que tener en cuenta todas las posibles trayectorias que conectan dichos puntos:

La representación matemática de esto es bastante fea, ya la presentaremos cuando hagamos una discusión más formal. Pero lo presentado aquí contiene el germen de las famosas integrales de camino de Feynman.

Esto nos lleva a una formulación cuántica que difiere de la presentada por Schrödinger, Heisenberg o Dirac pero que es compatible con ellas. De hecho, gracias a esta formulación se pudo avanzar en el entendimiento de la teoría cuántica de campos ya que los famosos diagramas de Feynman tienen su origen  ella.

Aviso: Esto no era nuevo

De hecho, cuando en física clásica queremos estudiar como se mueve un sistema de un punto a otro también consideramos todas las posibles trayectorias. (Véase:  De aquí a allí, infinitas trayectorias)

La diferencia entre la física clásica y la cuántica es que en la primera se nos da un criterio para decidir cuál es la trayectoria que sigue el sistema en su evolución física.  En cuántica no existe tal criterio, así que tenemos que trabajar con todas a las trayectorias a la vez.

Pero vamos a ver… ¿no dice todo el mundo que en cuántica no se pueden considerar trayectorias?  En efecto, y esto no está en contradicción con esa idea porque al tener que considerar todas las posibles trayectorias significa que en realidad no le podemos asignar una precisa a la evolución del sistema. De hecho, podríamos decir que conocerlo todo equivale a no conocer nada.  Son cosas que pasan.

Nos seguimos leyendo…