Matrices Gamma de Dirac- Parte I

Si buscamos información por la red acerca de la ecuación de Dirac seguramente que lo que encontremos se parezca a esto:

En principio, no tiene la misma pinta que la ecuación que hemos ido presentando en las dos entradas anteriores:

En la versión que estamos viendo aparecen las famosas matrices gamma de Dirac $\gamma^\mu$ . El objetivo de esta entrada es la de presentar estas matrices y las propiedades operacionales que tienen. También nos entretendremos en jugar con ellas ya que son esenciales a la hora de hacer cálculos en teoría cuántica de campos cuando estamos trabajando con fermiones.

He de confesar que trabajar con las matrices de Dirac siempre me ha inspirado sentimientos contrapuestos, desde el aburrimiento más absoluto hasta cierta perversión por ver si podía deducir todas las expresiones que vamos a presentar en esta entrada (y muchas más). Espero que esto o lo toméis como un juego, lo es, y la recompensa en un futuro próximo será más que evidente.

En siguientes entradas iremos a desgranar su significado físico y matemático a un nivel más conceptual. Pasen y vean.

De alfa y beta a gamma

Como hemos visto en la entrada anterior las $\alpha_i$ y la $\beta$ son matrices que tienen que cumplir ciertas propiedades:

1.- Son matrices linealmente independientes.

2.- Sin traza.

3.- Hermíticas.

4.- Su cuadrado nos da la identidad.

5.- Anticonmutan entre ellas.

6.- El rango mínimo admisible es de 4.

Ahora lo que vamos a hacer es una trivialidad, vamos a cambiar de nombre a algunas matrices.

$\beta=\gamma^0$

$\beta\alpha_i=\gamma^i$

Con esto tenemos cuatro matrices: $\{\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3\}$ .

Escribamos la ecuación de Dirac en términos de las gammas:

1.- Partimos de la ecuación:

$i\partial_0\psi=\left(\alpha_1(-i\partial_1)+\alpha_2(-i\partial_2)+\alpha_3(-i\partial_3)\right)\psi+\beta m\psi$

2.- De forma compacta es: $i\partial_t\psi=\left[-i\alpha_i\partial_i)+\beta m\right]\psi$

3.- Multiplicamos por $\beta$ por la izquierda:

$i\beta\partial_o\psi=\left[-i\beta\alpha_i\partial_i+\beta\beta m\right]\psi$

4.- Recordando que $\beta\beta=\mathbb{I}$ , y que $\beta=\gamma^0$ , $\beta\alpha_i=\gamma^i$ , tenemos:

$i\gamma^0\partial_o\psi=\left[-i\gamma^i\partial_i)+m\right]\psi$

5.- Agrupando, y llamando $\gamma^\mu$ donde $\mu=0,1,2,3$ :

$i\gamma^\mu\partial_\mu\psi-m\psi=0$

Jugando con las gamma y sus índices

A simple vista las matrices $\gamma^\mu$ conforman un vector en un espacio de Minkowski. En realidad, la cosa es un poco más complicada, y entraremos en detalles próximamente. Ahora supondremos que son, efectivamente, un vector en Minkowski que es lo que da a entender su índice.

Así, dado $\gamma^\nu$ podemos bajar su índice multiplicándola por la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ . En todo este curso supondremos que la métrica es de signatura -2, eso quiere decir que su diagonal es $\eta_{\mu\nu}=diag(+1,-1,-1,-1)$ .

$\eta_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}+1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}$

Dada una métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ tenemos una inversa $\eta^{\mu\nu}$ de forma que:

$\eta_{\mu\nu}\eta^{\nu\sigma}=\begin{pmatrix}+1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}+1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}+1&0&0&0\\ 0&+1&0&0\\ 0&0&+1&0\\ 0&0&0&+1\end{pmatrix}=\delta^\sigma_\mu$

La métrica nos sirve para subir y bajar índices:

$\gamma_\nu=\eta_{\mu\nu}\gamma^\nu$

Es evidente que si $\gamma^\mu=\{\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3\}$ , el resultado de bajar el índice es: $\gamma_\mu=\{\gamma_0,-\gamma_1,-\gamma_2,-\gamma_3\}$

Además definiremos la matriz $\gamma^5$ que se define como:

$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$

Esta matriz será muy importante para nosotros y es muy, pero que muy bueno acostumbrarse a ella y a sus propiedades.

Lo que vamos a hacer en lo que sigue es lo siguiente:

Vamos a comprobar las relaciones de anticonmutación entre las gammas.
Calcularemos sus cuadrados.
Vamos a calcular distintas trazas de distintos productos de gammas.
También vamos a estudiar si estas matrices son hermíticas o no.

Relaciones de Anticonmutación y Cuadrados

1.- Calcularemos los cuadrados $\left(\gamma^0\right)^2=+1\times\mathbb{I}_{4\times 4}$ y $\left(\gamma^i\right)^2=-1\times\mathbb{I}_{4\times 4}$

Comprobación:

Emplearemos las definiciones $\gamma^0=\beta$ y $\gamma^i=\beta\alpha_i$ .

Con lo cual $\gamma^0\gamma^0=\beta\beta=\mathbb{I}=+1\times\mathbb{I}$ .

Y para $\gamma^i\gamma^i=\beta\alpha_i\beta\alpha_i$ . Como sabemos:

$\beta\beta=\mathbb{I}$ (de ahora en adelante omitiremos el factor 4×4 ya que no estudiaremos otro caso hasta que digamos lo contrario).

$\alpha_i\alpha_i=\mathbb{I}$

$\alpha_i\beta=-\beta\alpha_i$ Entonces podemos concluir:

$\gamma^i\gamma^i=\beta\alpha_i\beta\alpha_i=-\beta\beta\alpha_i\alpha_i=-1\times\mathbb{I}$

2.- Ahora vamos a calcular el anticonmutador de dos matrices gamma y obtendremos:

$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\times\mathbb{I}_{4\times 4}$

Comprobación:

Lo haremos por casos:

1º caso $\mu=\nu=0$

$\{\gamma^0,\gamma^0\}=\{\beta,\beta\}=\beta\beta+\beta\beta=\mathbb{I}+\mathbb{I}=2\times\mathbb{I}$

2º caso $\mu=0$ y $\nu=i$

$\{\gamma^0,\gamma^i\}=\{\beta,\beta\alpha_i\}=\beta\beta\alpha_i+\beta\alpha_i\beta=$

$=\beta\beta\alpha_i-\beta\beta\alpha_i=0$

3º caso $\mu=i\neq\nu=j$

$\{\gamma^i,\gamma^j\}=\{\beta\alpha_i,\beta\alpha_j\}=\beta\alpha_i\beta\alpha_j+\beta\alpha_j\beta\alpha_i=$

$=-\beta\beta\alpha_i\alpha_j-\beta\beta\alpha_j\alpha_i=-(\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i)=-\{\alpha_i,\alpha_j\}=0$

Recordemos que las matrices alfa anticonmutan entre ellas.

4º caso $\mu=\nu=i$ aprovechando los resultados de 1.-) tendremos:

$\{\gamma^i,\gamma_i\}=2\gamma^i\gamma^i=-2\times\mathbb{I}$

Así pues recolectando todos los casos vemos como el anticonmutador de dos gamma cero nos da 2 x (1) x I y el de dos gamma-i nos da 2 x (-1) x I. El restod de combinaciones son nulas. Estas son las componentes de la diagonal de la métrica de Minkowski con lo que se puede escribir:

$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2\eta^{\mu\nu}\times\mathbb{I}_{4\times 4}$

Volveremos a este interesante punto de la relación entre el anticonmutador de las matrices gamma de Dirac y la métrica del espaciotiempo.

3.- Vamos a comprobar que $(\gamma^5)^2=\mathbb{I}$ :

Comprobación:

Usando la definición tendremos:

$(i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)(i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=-\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=$

Como matrices gamma diferentes anticonmutan cada vez que cambiemos de orden dos matrices gamma introduciremos un cambio de signo:

$=\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^0\gamma^3\gamma^1\gamma^2\gamma^3=-\gamma^0\gamma^1\gamma^0\gamma^2\gamma^3\gamma^1\gamma^2\gamma^3=$

$=\gamma^0\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^1\gamma^2\gamma^3=\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^1\gamma^2\gamma^3=$

$=-\gamma^1\gamma^2\gamma^1\gamma^3\gamma^2\gamma^3=\gamma^1\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^2\gamma^3=$

Recordemos que $\gamma^i\gamma^i=-1\times\mathbb{I}$ :

$=-\gamma^2\gamma^3\gamma^2\gamma^3=\gamma^2\gamma^2\gamma^3\gamma^3=(-\mathbb{I})(-\mathbb{I})=\mathbb{I}$

4.- Probaremos que $\{\gamma^5,\gamma^\mu\}=0$

Comprobación:

Lo haremos en dos casos concretos y el resto se haría análogamente.

1º caso

$\{\gamma^5,\gamma^0\}=\{i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3,\gamma^0\}=i\{\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3,\gamma^0\}=i(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^0+\gamma^0\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=$

Efectuamos cambios en la posición de gamma-cero de la primera expresión y en la otra empleamos que su cuadrado nos da la identidad:

$=i(-\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^0\gamma^3+\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=i(\gamma^0\gamma^1\gamma^0\gamma^2\gamma^3+\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=i(-\gamma^0\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3+\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=$

$=i(-\gamma^1\gamma^2\gamma^3+\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=0$

2º caso

Usaremos la gamma-5 y la gamma-2, con cualquier otra sirve el argumento:

$\{\gamma^5,\gamma^2\}=i\{\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3,\gamma^2\}=i(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^2+\gamma^2\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=$

$=i(-\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^2\gamma^3-\gamma^0\gamma^2\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=i(\gamma^0\gamma^1\gamma^3+\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^2\gamma^3)=$

$i(\gamma^0\gamma^1\gamma^3-\gamma^0\gamma^1\gamma^3)=0$

En la próxima entrada seguiremos con las propiedades y características de estas matrices.

Nos seguimos leyendo…

13 Respuestas a “Matrices Gamma de Dirac- Parte I”

Nelson Mechán Zurita | 11 noviembre, 2019 en 20:52 | Responder

Disculpa, en tu curso de Espinores, ¿la última entrada es Matrices Gamma de Dirac – Parte 1? ¿La segunda parte? Necesito comprender el uso de los espinores y ya no encuentro entradas para continuar :c
Jesus Gil Navarro | 7 agosto, 2017 en 17:13 | Responder

donde está la segunda parte, la parte conceptual que se anuncia al principio de esta primera parte?
Anónimo | 8 mayo, 2016 en 8:25 | Responder

¿Y los espinores… pa cuando?
liz | 25 noviembre, 2015 en 23:47 | Responder

Por que al buscar la ecuacion solo me aparece (∂ + m) ψ = 0
Es la misma pero ya simplificada?
- Anónimo | 21 enero, 2016 en 23:22 | Responder
  
  La ecuacion que tu dices no es nabla sino «nabla tachado». Es un operador que Feynman propuso para agrupar todos los terminos. Es simplemente notacion, que incluye en su definicion las gammas, etc.
Diego irarrazabal | 28 mayo, 2015 en 10:55 | Responder

Hola, que tal? 😀
Quisiera saber si la segunda parte de las matrices gamma de Dirac esta disponible, ya que la busco y no la encuentro. Me he desvelado leyendo los articulos para poder entender de que manera en especifico esta relacionada la ecuacion de Dirac con el entrelazamiento cuantico. Cualquier informacion sera agradecida de corazon 🙂
María | 14 octubre, 2014 en 22:48 | Responder

Genial explicación. Da gusto entender de dónde salen ciertos resultados que se dan por hecho en los libros. Muchas gracias.
otura | 26 septiembre, 2013 en 21:31 | Responder

muchas gracias, excelente explicación sobre la Ecuacion de Dirac.
Carlos Reyes | 18 julio, 2013 en 17:48 | Responder

Siguiendo la secuencia podemos ver la importancia de la combinación de la RE y la MC que está bastante claro el análisis.
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Amarok | 12 julio, 2013 en 18:36 | Responder

¡Magnífica serie de artículos! Creo que no he visto ningún otro sitio donde expliquen y desarrollen con tanta claridad como en éste el tema de la ecuación de Dirac. Ya estoy deseando leer las siguientes entregas de este excelente curso (y blog en general, xD).