El infinito está muy lejos. De la mano de Penrose no tanto.

Generalmente hablamos del espaciotiempo que contiene un agujero negro, de un espacio de Minkowski que es el espacio matemático que representa el espaciotiempo de la relatividad especial, de un universo, etc. Pero el tema es curioso, un espaciotiempo usualmente es infinito, así que representarlo en un papel parece difícil.

Pues no lo es, vamos a ver como pintar todo un espaciotiempo completo (infinito) en un trozo de papel. Esta herramienta es conocida como diagrama de Penrose y es muy divertida. Las matemáticas ciertamente son mágicas. Vamos a ver si podemos conocer qué son estos diagramas de Penrose en esta entrada.

El primer problema

El espaciotiempo tiene cuatro dimensiones, tres espaciales y una temporal. Eso ya empieza a dificultar el tema de representarlo. Afortunadamente la cosa se simplifica por una razón, generalmente nos interesan espaciotiempos que tienen cierta simetría (por ejemplo un espaciotiempo análogo a una esfera), por lo tanto no hace falta estudiar las tres componentes espaciales ya que son equivalentes entre sí. Por eso muchas cosas se pueden decir de diagramas que simplemente representan una coordenada espacial (la x) y la temporada temporal (la t).

Espaciotiempo = Espacio de Minkowski

El espacio de Minkowski es un espacio matemático de cuatro dimensiones que representa todas las propiedades que tiene que tener un espacio para ser considerado el espaciotiempo de la relatividad especial.

Las principales características son:

1.- Las partículas que se mueven a la velocidad de la luz están representadas por líneas rectas que forman 45º con todos los ejes del espaciotiempo.

2.- Estas forman lo que se conoce como cono de luz.

3.- En dos dimensiones se representa así.

4.- Las partículas con masa tienen trayectorias en el espaciotiempo (líneas de mundo de las partículas) que siempre se mueven dentro del cono de luz.

5.- Para salir del cono de luz hay que moverse a velocidades superlumínicas. Y por el momento no conocemos medio alguno de hacer eso aunque existe una posibilidad teórica, la existencia de los taquiones.

Pero lo que nos interesa es que en el espacio de Minkowski tenemos definida la estructura causal del espaciotiempo. Y el elemento esencial es el cono de luz.

En cada punto del espaciotiempo hay un cono de luz. Si yo estoy en un punto el cono denota mi trozo de espacio accesible. Es decir, si enciendo un rayo de luz sólo podré alcanzar puntos que estén en el cono de luz futuro que se centra en mí. Todos los rayos de luz que me llegan han de venir del cono de luz pasado que se centra en mí. Si tirara una piedra, por muy fuerte que la tirara, sólo podría alcanzar aquellos puntos que estén dentro de mi cono de luz futuro. Si alguien me tirara una piedra, para alcanzarme tendría que venir desde el interior de mi cono de luz pasado. Entonces eso determina el tema de causa y efecto, la causalidad.

¿Cuándo puede influir un observador en otro que están muy separados? La respuesta es casi evidente, cuando sus respectivos conos de luz se crucen. Lo que significará que las señales luminosas que salen de uno y otro han tenido tiempo para alcanzar al otro respectivamente.

El infinito aquí al lado

Vamos al tema este de cómo acercar el infinito lo suficiente como para poder pintar todo un espacio cuyas dimensiones se extienden desde $-\infty$ hasta $\infty$ .

Supongamos que tenemos las coordenadas $(\bar{x},\bar{t})$ en una representación 2D del espaciotiempo.

$-\infty\in \bar{x}\in\infty$

$-\infty\in \bar{t}\in \infty$

¿Cómo podríamos traer el infinito aquí al lado? Pues la respuesta la dan las matemáticas, que por muchas vueltas que les demos siempre logran hacernos la vida más fácil (y más difícil a veces). El truco está en lo siguiente, fijémonos en esta gráfica:

Esta es la gráfica de la función trigonométrica tangente $y=tan(x)$ . Esta gráfica tiene una gran virtud:

– Para $x=-\pi/2$ tenemos $tan(-\dfrac{\pi}{2})=-\infty$

– Para $x=\pi/2$ tenemos $tan(\dfrac{\pi}{2})=\infty$

Eso quiere decir que esta función toma un valor infinito (positivo o negativo) para un valor finito de la variable $x$ .

Por lo tanto, podríamos decir que nuestras coordenadas espaciotemporales $(\bar{x},\bar{t})$ la podemos considerar como:

$\bar{x}=tan(x)$

$\bar{t}=tan(t)$

Así pues, en realidad en vez de considerar el par $(\bar{x},\bar{t})$ podemos considerar que nuestras coordenadas son $(x,t)$ . Es la magia de la matemática, un espacio se puede expresar en distintas formas con distintas coordenadas, todas ellas relacionadas entre sí (por ejemplo con las expresiones anteriores).

Nombres raros y conceptos

Necesitamos algunos símbolos y algunos nombres para identificar distintas zonas en el infinito.

– Los valores $t=-\pi/2$ y $x=-pi/2$ se denomina pasado infinito temporal (past timelike infinity) y se representa por $i^-$ .

– Los valores $t=\pi/2$ y $x=pi/2$ se denomina futuro infinito temporal (future timelike infinity) y se representa por $i^+$ .

– Los valores $t=-\pi/2$ y $x=pi/2$ se denomina infinito espacial (spacelike infinity) y se representa por $i^0$ .

– Los valores $t=-\pi/2$ y $x\neq \pm pi/2$ se denomina pasado infinito nulo (past null infinity) y se representa por $I^-$ .

– Los valores $t \neq \pm \pi/2$ y $x=pi/2$ se denomina futuro infinito nulo (future null infinity) y se representa por $I^+$ .

Diagrama de Penrose para el espacio de Minkowski

Receta para pintar las líneas:

1.- Dibujemos dos ejes ortongonales.

2.- Dispongamos los puntos en dichos ejes correspondientes a los valores $-\pi/2$ y $\pi/2$ (cuatro puntos en total).

3.- Sigamos las definiciones. Lo único que hay que tener cuidado es que los infinitos nulos son rectas que conectan los puntos $-\pi/2$ y $\pi/2$ sobre los ejes.

Entonces obtenemos:

Esta es una representación del espacio de Minkowski completo. Es decir, una representación de un espacio infinito en un espacio finito.

Asombroso.

Comentarios técnicos y observaciones

Desde el punto de vista técnico lo que se hace para llegar a los diagramas de Penrose es una transformación conforme. Estas transformaciones cambian las distancias entre puntos de un espacio (tanto como para acercar el infinito) pero no alteran los ángulos en dicho espacio (por eso la estructura de cono de luz, light cone permanece inalterada como se ve en la figura). Los conos de luz se dicen formados por líneas nulas. Estas son las líneas que siguen las partículas que se mueven a velocidad c y se llaman nulas por razones que expondremos más adelante cuando hablemos de la métrica del espaciotiempo.

Estos diagramas son esenciales para el estudio de la estructura del espaciotiempo en muchos casos y son una herramienta fundamental para el entendimiento del comportamiento gravitatorio de los agujeros negros. Estamos preparando una serie de entradas sobre esto.

Por el momento lo dejamos aquí para dar la oportunidad de familiarizarse con este hermosa construcción.

Nos seguimos leyendo…

13 Respuestas a “El infinito está muy lejos. De la mano de Penrose no tanto.”

Fernando | 9 octubre, 2020 en 17:34 | Responder

Las figuras no se ven
Cuentos Cuánticos | 28 mayo, 2012 en 14:16 | Responder

Pero es que aquí hay dos cosas a distinguir. En realidad hemos hecho una transformación a coordenadas «nulas», es decir las líneas negras de los futuros infinitos nulos, no son espaciales o temporales, ahí llegan partículas de luz.

No sé si he entendido bien tu pregunta o si he respondido correctamente.
Anónimo | 25 mayo, 2012 en 2:21 | Responder

no entiendo, por ejemplo si t es el eje vertical , por ejemplo en $t=-\frac{\pi}{2}$ , linea roja, x deberia ser $-\frac{\pi}{2}$ para ser el pasado infinito, pero al llegar al futuro infinito, donde $t=\frac{\pi}{2}$ , siguiendo la linea roja, x sigue siendo $-\frac{\pi}{2}$ y no asi $\frac{\pi}{2}$ ,
saludos,
- Antonio | 26 enero, 2014 en 23:50 | Responder
  
  Según he entendido yo, x-barra y t-barra no son espacio ni tiempo, a pesar de la elección de letras. Son simplemente las coordenadas de dos ejes que forman 45 grados con el espacio y el tiempo. Yo también me lié al principio con eso.
Pingback: Destripando un agujero negro | Cuentos Cuánticos
Arsemex | 11 agosto, 2011 en 15:18 | Responder

He leido algunos posts que decian que se habia conseguido la teletransportacion cuantica, entonces si teletransportamos algo deberia superar la velocidad de la luz, no?

La luz: 299.792.458 m/s
Teletransportacion: infinito/instantaneo

Seguro que he dicho alguna locura 😀
- Cuentos Cuánticos | 11 agosto, 2011 en 15:23 | Responder
  
  El teletransporte es una mala palabra, en realidad hay que hablar de teleporte. Y no involucra que algo desaparezca aquí y aparezca en otro punto alejado instantaneamente. Es un efecto cuántico muy sutil que aún no hemos discutido en profundidad en este blog pero que comentamos brevemente en el siguiente enlace:
  
  El teleporte no viola las leyes de la relatividad especial en ningún caso.
  - Arsemex | 11 agosto, 2011 en 15:39 | Responder
    
    He releido el post que mencione. Fallo mio, en el post pone teleporte y teleportaron informacion, bueno la informacion existia en los dos sitios al mismo tiempo. Esta informacion la sacaron de la revista Science.
    Otro post que no encuentro decia que ya habian conseguido teleportar millones de atomos de un gas, o eso recuerdo.
    Estaria bien que dedicaras un post a la teleportacion si no te molesta claro.
Arsemex | 11 agosto, 2011 en 13:22 | Responder

Tenia entendido que con la antigravedad se podria acelerar gradualmente un objeto hasta superar la velocidad de la luz, todo esto por supuesto en el vacio.
- Cuentos Cuánticos | 11 agosto, 2011 en 14:01 | Responder
  
  Bueno, eso no es posible en un espaciotiempo plano como Minkowski. es decir, eso no es posible en la relatividad especial. Lo que sí es posible «en teoría» es en relatividad general.
  Aquí hay algunas entradas sobre el tema se velocidades supralumínicas.
  - Arsemex | 11 agosto, 2011 en 15:01 | Responder
    
    Gacias por la respuesta.
    Perdona mi ignorancia, pero que pasa si se supera la velocidad de la luz?
    - Cuentos Cuánticos | 11 agosto, 2011 en 15:05 | Responder
      
      Te perdono tu ignorancia si tu perdonas la mía. O mejor no nos perdonamos nada porque no nacemos sabiendo ni nos dedicamos a lo mismo todos (afortunadamente).
      
      Pero la velocidad de la luz en el vacío no se puede superar. Para acelerar algo con masa a mayor velocidad que c hay que aplicar una energía infinita.
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