Ejercicio mecánica lagrangiana

Ejercicio de la entrada de mecánica Lagrangiana:

Consideremos una partícula de masa m sometida a una fuerza de Hooke F=-kx. Encontrar la ecuación del movimiento empleando el método Lagrangiano.

Ayuda: El movimiento es en una única dimensión. Hemos dado la fuerza, recordar que en este caso el potencial se recupera por integración directa.

Solución:

Vamos a construir la Lagrangiana. Primero construimos la energía cinética:

$T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$

Ahora calculamos el potencial, para ello hacemos una integral:

$F=-\dfrac{dV}{dx}$

El potencial diferencial será:

$dV=-Fdx$

Integrando (con los límites de integración entre 0 y x):

$V=\int dV=-\int Fdx=-\int -kxdx=k\int xdx=k\dfrac{x^2}{2}$

Así pues:

$V=\dfrac{1}{2}kx^2$

Por lo tanto la Lagrangiana será: $L=T-V=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-\dfrac{1}{2}kx^2$ .

Ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0$

Para lo que sigue hemos de recordar que las variables $x$ y $\dot{x}$ se tratan como independientes.

1.- Calculamos $\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$

2.- Calculamos la derivada temporal de esta última expresión y obtenemos $m\ddot{x}$ .

3.- Calculamos $\dfrac{\partial L}{\partial x}=-kx$ .

Uniendolo todo: $m\ddot{x}=-kx$ . Si ahora modificamos un poco la expresión:

$\dfrac{d^2 x}{dt^2}+\omega^2 x=0$ donde $\omega^2 =k/m$ es la frecuencia del oscilador. La anterior ecuación de movimiento es la que identifica un movimiento armónico simple.

6 Respuestas a “Ejercicio mecánica lagrangiana”

davidrp96 | 19 junio, 2015 en 4:21 | Responder

Muchas gracias por los increíbles aportes que hacen en este blog. Lo encontré hoy y me pareció fascinante la simplicidad y manera de explicar, esencial para fortalecer los conocimientos de aquellos que empezamos a envolvernos en la física (en mi caso en física de partículas). ¡Saludos!
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Daniel Muñoz | 18 septiembre, 2012 en 16:18 | Responder

tengo un problema de formulación lagrangiana bastante complejo, me dijeron como podría empezar a analizarlo, pero aun asi no entiendo la lógica del análisis, es decir no se porque hay q hacerlo de esa forma, si depronto les da curiosidad verlo y ayudarme, contactenme: damul90@hotmail.com Gracias
- pedrokb | 18 septiembre, 2012 en 21:03 | Responder
  
  Hola Daniel, si te parece bien crea un hilo en el foro de este blog y nos lo cuentas a ver si podemos ayudar en algo. Puedes entrar al foro clicando en el logo del gato, arriba a la derecha.
osguk | 9 octubre, 2011 en 20:27 | Responder

Bien bien, ya había llegado a la solucion gracias a la pista en el otro post pero no habia tenido tiempo de comentar. Ahora se que si lo habia hecho bien 🙂
- Cuentos Cuánticos | 9 octubre, 2011 en 20:29 | Responder
  
  Genial!!!! Enhorabuena… Nos alegramos de que te haya salido bien, continuaremos con esto poco a poco a ver si entre todos aprendemos algo.