Ejercicio de la entrada de mecánica Lagrangiana:
Consideremos una partícula de masa m sometida a una fuerza de Hooke F=-kx. Encontrar la ecuación del movimiento empleando el método Lagrangiano.
Ayuda: El movimiento es en una única dimensión. Hemos dado la fuerza, recordar que en este caso el potencial se recupera por integración directa.
Solución:
Vamos a construir la Lagrangiana. Primero construimos la energía cinética:
Ahora calculamos el potencial, para ello hacemos una integral:
El potencial diferencial será:
Integrando (con los límites de integración entre 0 y x):
Así pues:
Por lo tanto la Lagrangiana será: .
Ahora aplicamos las ecuaciones de Euler-Lagrange:
Para lo que sigue hemos de recordar que las variables y
se tratan como independientes.
1.- Calculamos
2.- Calculamos la derivada temporal de esta última expresión y obtenemos .
3.- Calculamos .
Uniendolo todo: . Si ahora modificamos un poco la expresión:
donde
es la frecuencia del oscilador. La anterior ecuación de movimiento es la que identifica un movimiento armónico simple.
Muchas gracias por los increíbles aportes que hacen en este blog. Lo encontré hoy y me pareció fascinante la simplicidad y manera de explicar, esencial para fortalecer los conocimientos de aquellos que empezamos a envolvernos en la física (en mi caso en física de partículas). ¡Saludos!
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tengo un problema de formulación lagrangiana bastante complejo, me dijeron como podría empezar a analizarlo, pero aun asi no entiendo la lógica del análisis, es decir no se porque hay q hacerlo de esa forma, si depronto les da curiosidad verlo y ayudarme, contactenme: damul90@hotmail.com Gracias
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Bien bien, ya había llegado a la solucion gracias a la pista en el otro post pero no habia tenido tiempo de comentar. Ahora se que si lo habia hecho bien 🙂
Genial!!!! Enhorabuena… Nos alegramos de que te haya salido bien, continuaremos con esto poco a poco a ver si entre todos aprendemos algo.