Mecánica Lagrangiana

Empezamos con nuestro paseo hacia la teoría cuántica de campos. Este trabajo lo dividiremos en dos partes, la parte clásica y la parte cuántica. En la primera parte revisaremos como se trabaja en física clásica con un campo, introduciendo elementos esenciales como el/la Lagrangiano/a y el Hamiltoniano (ya hemos tratado a este objeto en el blog). Veremos qué es la acción y discutiremos la importancia de las simetrías. Posteriormente iremos a la parte cuántica del asunto.

En esta primera entrada daremos unas breves notas sobre mecánica Lagrangiana.

La Lagrangiana

La Lagrangiana es un objeto que contiene toda la dinámica de un sistema mecánico. Es decir, conocida la Lagrangiana podemos obtener las ecuaciones del movimiento del sistema. Para encontrar estas últimas hacemos uso de las conocidas como ecuaciones de Euler-Lagrange. En esta primera toma de contacto simplemente introduciremos a mano dichas ecuaciones y posteriormente las derivaremos.

El objetivo esencial de esta entrada es mostrar que la mecánica Lagrangiana contiene exactamente la misma información que la mecánica Newtoniana.

Una partícula en una dimensión

Para hacer la discusión más sencilla inicialmente nos concentraremos en estudiar cómo evoluciona una partícula en una única dimensión con una energía cinética dada por T y sometida a un potencial V(x).

La Lagrangiana formalmente (y en los casos que nos vamos a ocupar) es la siguiente combinación:

L=T-V

Por lo tanto la Lagrangiana en nuestro caso será dada por:

– Energía cinética: $T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2$ , donde m es la masa de la partícula y $\dot{x}=\dfrac{dx}{dt}$ es la velocidad de la misma.

– Energía potencial: En este caso supondremos que el potencial únicamente depende de la posición de la partícula, V(x), pero no de su velocidad $\dot{x}$ o del tiempo, t.

La Lagrangiana será:

$L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)$

Es importante recordar que en este contexto, posiciones $x$ y velocidades $\dot{x}$ son tratadas como variables independientes, es decir, la Lagrangiana depende de dos variables (en este caso unidimensional), $L=L(x,\dot{x})$ .

Las ecuaciones del movimiento: Ecuaciones de Euler-Lagrange

Para obtener las ecuaciones del movimiento de una Lagrangiana dada emplearemos las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0$

Notemos que implican derivadas parciales respecto de posiciones y velocidades ya que L es función de ambas variables que se consideran independientes.

Entonces, en nuestro caso:

$L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)$

Vamos a derivar las ecuaciones del movimiento:

1.- Calculamos $\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ :

$\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\dfrac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)\right)=m\dot{x}$

Entendiendo que la masa es independiente del tiempo.

2.- Calculamos la derivada temporal de este resultado anterior:

$\dfrac{d}{dt}(m\dot{x})=m\ddot{x}$

3.- Ahora calculamos el otro término:

$\dfrac{\partial L}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-V(x)\right)=-\dfrac{\partial V}{\partial x}$

4.- Lo juntamos en la ecuación de Euler-Lagrange:

$m\ddot{x}+\dfrac{\partial V}{\partial x}=0$ que queda, $m\ddot{x}=-\dfrac{\partial V}{\partial x}$

Es fácil reconocer que acabamos de encontrar la ley de Newton para fuerzas conservativas (aquellas que son el gradiente de un potencial cambiado de signo). Así que la mecánica escrita en términos Lagrangianos es totalmente equivalente a la mecánica de Newton.

Las ventajas sobre esta última son que se basa en el concepto de energía del sistema que es una magnitud escalar, no hay que colocar complicados diagramas de vectores y la obtención de las ecuaciones del movimiento es directa a través de la ecuación de Euler-Lagrange. Además veremos próximamente más características de la Lagrangiana que la hacen un concepto especialmente poderoso para el estudio de la dinámica de los sistemas físicos.

Os dejamos con un ejercicio de los que daremos la solución el próximo viernes:

Ejercicio: Consideremos una partícula de masa m sometida a una fuerza de Hooke F=-kx. Encontrar la ecuación del movimiento empleando el método Lagrangiano.

Ayuda: El movimiento es en una única dimensión. Hemos dado la fuerza, recordar que en este caso el potencial se recupera por integración directa.

En la próxima entrega discutiremos el concepto de Acción y su relación con la Lagrangiana.

Nos seguimos leyendo…

22 Respuestas a “Mecánica Lagrangiana”

Man | 22 mayo, 2016 en 5:50 | Responder

No entiendo lo de las energias segun cada tipo de problema 😦 me pueden explicar eso por favor…
Roger | 20 agosto, 2015 en 3:34 | Responder

hola que tal eh visto tu desarollo y no se me hizo dificil seguirlo, sin embargo cuando dejas el ejercicio no lo ehh podido resolver, das una pista en comentarios pero de donde sale F=-(dv/dx)? esto significa que no eh entendido la Lagrangiana espero mu puedan ayudar
- Anónimo | 8 diciembre, 2015 en 20:45 | Responder
  
  la fuerza es igual a menos la derivada del potencia respecto de la posición.
  Es una definición de la fuerza, como F=dp/dt
Anónimo | 20 agosto, 2015 en 3:29 | Responder

Que tal, entendi tu desarrolo del ejemplo son matematicas sencillas, pero al momento que deajs el ejercicio no he sabido como hacerle, das una pista pero de donde sale F=-(dV/dx) no he entendido entonces realmento la langriana espero me puedan ayudar
Saludos!!!
Emilio Correa Gonzalez | 23 julio, 2014 en 9:44 | Responder

Fantástico!! Llevo unos meses estudiando matemáticas precisamente para intentar entender la física y creo que voy a disfrutar mucho con este blog.

Aun aun pierdo muchos conceptos del articulo, hay partes que he podido seguir y que hace apenas unos meses me hubieran sonado a chino.

Esto me anima a seguir.

Gracias por tus magníficos artículos!!
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Anónimo | 4 febrero, 2014 en 0:26 | Responder

Por qué, estoy todavía en primero de bachiller, aún no sé derivar, ojalá supiera…
45cr CharlieC | 6 enero, 2012 en 23:05 | Responder

O sea que el Lagrangiano y el Hamiltoniano tienen alguna diferencia, pero que son casi iguales, eso siempre como que ha confundido, pero lo que me lo ha aclarado ahora es lo que se expresa en las ecuaciones de que uno depende de posiciones y velocidades y el otro de posiciones y momentos, està muy bien esto, gracias.
Pablo | 11 octubre, 2011 en 2:51 | Responder

Gracias, claro como el agua
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Pablo | 8 octubre, 2011 en 5:18 | Responder

Perdonen, pero me pierdo ¿cual es la diferencia entre Lagrangianos, Hamiltoniano y energia total del sistema? Parecen ser lo mismo.
- Cuentos Cuánticos | 8 octubre, 2011 en 13:45 | Responder
  
  A un nivel elemental la diferencia esencial es la definición: L=T-V y H=T+V (aunque esto es así únicamente par sistemas simples). Un estudio más detallado nos indica que:
  
  a) El lagrangiano depende de posiciones y velocidades.
  
  b) El Hamiltoniano depende de posiciones y momentos.
  
  El momento en mecánica elemental se define como p=mv así que a primera vista hay poca diferencia. Sin embargo, cuando uno trata con sistemas sometidos a interacciones el momento ya no es proporcional a la velocidad. Así que esta es una diferencia sustancial.
  
  Pronto veremos que la energía total del sistema siempre corresponde con el Hamiltoniano y que eso se puede derivar del Lagrangiano. Es decir Hamiltoniano = Energía total, y Energía total es algo que podemos calcular a partir del Lagrangiano pero no es directamente igual al mismo.
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osguk | 6 octubre, 2011 en 21:26 | Responder

Excelente post como siempre pero no he podido con el ejercicio, esperare a que salga la solución a ver como es.
- Cuentos Cuánticos | 6 octubre, 2011 en 22:51 | Responder
  
  Suponemos que el problema está en calcular el potencial, te damos una pista:
  
  Como
  
  $F=-\dfrac{dV}{dx}$
  
  El potencial diferencial será:
  
  $dV=-Fdx$
  
  Integrando (con los límites de integración entre 0 y x):
  
  $V=\int dV=-\int Fdx=-\int -kxdx=k\int xdx=k\dfrac{x^2}{2}$
  
  Así pues:
  
  $V=\dfrac{1}{2}kx^2$
  - osguk | 7 octubre, 2011 en 4:18 | Responder
    
    Muy bien, voy a hacer un segundo intento y les cuento
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daniel | 3 octubre, 2011 en 19:54 | Responder

ok, esperaré impaciente entonces esa entrada.
gracias!
daniel | 3 octubre, 2011 en 19:00 | Responder

hola! En entradas anteriores hablasteis del paréntesis de Poisson como la operación que condensa la dinámica de un sistema en la física clásica. ¿Cuál es la relación entre el paréntesis y el Lagrangiano?
Gracias!
- Cuentos Cuánticos | 3 octubre, 2011 en 19:51 | Responder
  
  La dinámica de los sistemas físicos se puede estudiar desde un formalismo Lagrangiano o un formalismo Hamiltoniano. El paréntesis de Poisson aparece en el formalismo Hamiltoniano siendo la relación entre coordenadas y momentos que tiene que satisfacer un sistema físico bien comportado. Efectivamente se puede llegar a probar que existe una relación entre el paréntesis de Poisson y la ley de acción extremal. Tocaremos este punto en breve y mostraremos la relación entre Lagrangiano y Hamiltoniano.
pedrokb | 3 octubre, 2011 en 0:34 | Responder

Mira por dónde, el jueves tuve mi primer examen de mecánica Lagrangiana… una pena que no saliera la entrega antes.
Jesus Diaz | 2 octubre, 2011 en 22:40 | Responder

Excelente articulo sobre Mecanica Analitica, para mi lo jodido empezaba con las coordenadas generalizadas, las ligaduras, los espacios fasicos, etc… ahi ya me perdia entre tantisimo formalismo. Supongo que se hablara de todo esto, a ver si con vosotros consigo recordar y comprender esos conceptos de mis años de facultad 😉