El espín, la explicación incompleta no definitiva

A la pregunta, ¿qué es el espín de una partícula?

La mejor respuesta que puedo dar es:

No tengo ni idea

Pero, ciertamente, una respuesta así queda pobre y además te hace parecer que no sabes de lo que hablas, así que tendremos que poner cara de listos y dar unas cuantas razones para lo que es el espín.

En mi opinión toda el problema con el espín procede de su nombre que a su vez procede de las reglas matemáticas que verifica esta propiedad de las partículas. Dichas reglas son exactamente iguales a las de las rotaciones y de ahí que la interpretación, y el nombre, siempre se asocie a una «rotación» de las partículas.

Sin embargo, esta explicación de que la partícula gira sobre si misma no es satisfactoria por muchos motivos, porque no sabemos qué es una partícula pero casi seguro que no es una canica, porque de serlo la velocidad de rotación sería mucho mayor que la velocidad de la luz para dar lugar a los espines de las partículas conocidas, etc.

En esta entrada voy a contar mi película, lo que yo entiendo del espín y como me gusta contarlo. Posiblemente no sea ni una película entretenida, ni acertada, pero es la mía, si no os gusta, tengo otras 😉

Stern-Gerlach, partículas, magnetismo

Por supuesto, cuando uno habla del espín está obligado a contar el experimento de Stern-Gerlach.  Este experimento consiste en tirar partículas a través de un campo magnético. Si estas partículas, átomos de plata en el experimento original, tienen una propiedad denominada momento magnético al pasar por la región donde está el campo se desviarán de la trayectoria inicial.  Pero, teóricamente esta desviación sería continua desde una posición máxima a una mínima.

Sin embargo, Stern y Gerlach encontraron que al hacer el experimento con la plata solo encontraban desviaciones de la misma intensidad en dos grupos.

Este experimento realizado en 1922, que históricamente fue malinterpretado, pone de relieve que los electrones tienen una característica que tomaba únicamente dos valores . Se acababa de descubrir el espín del electrón, pero no se fue consciente de ello hasta que Uhlenbech y Goudsmit llegaron a la conclusión de que el electrón tenía espín a través de sus estudios de espectros atómicos en 1925.

Pues ya está, tenemos una nueva característica y ahora hay que describirla matemáticamente. Justo este paso es el que provoca todas las confusiones acerca del espín.

Matemática del espín

No vamos a entrar en detalles, solo quiero que veáis un par de relaciones. Las rotaciones de los objetos se describen en física con objetos matemáticos, como todo, y verifican esta condición en mecánica cuántica:

Los representan los generadores de las rotaciones alrededor de los respectivos ejes.

Da un poco igual lo que signifique esa expresión, lo que no da tanto igual es que eso que véis define lo que es un momento angular, es decir, el objeto matemático que describe como rotan los sistemas.

Cuando se enfrentaron a describir matemáticamente el espín obtuvieron que dicho objeto matemático tendría que tener tres componentes, que denotaremos por , que verifican:

Y ya tenemos el lío, esa expresión es formalmente análoga a la anterior, así que a la nueva característica se la denomina espín (que viene del inglés spin = giro) porque verifica la misma relación que define al momento angular.

¿Girando dónde?

Pues a la vista de esa relación matemática entre espín y momento angular podemos decir que el espín sería producido por la rotación de una partícula alrededor de un eje.

Podéis encontrar multitud de sitios donde se explica que esto no es correcto porque para que eso fuera así la partícula tendría que girar a una velocidad mayor que la velocidad de la luz, y eso en un mundo relativista queda feo.

Sin embargo, en mi opinión, el problema es aún más grave. El espín, el objeto matemático, no está definido en términos de coordenadas espaciales. Es decir, ese bicho no vive en nuestro espacio usual, por lo tanto difícilmente podría representar la rotación de algo en el espacio.

En física, especialmente en cuántica, para representar los grados de libertad de una partícula tenemos que recurrir a espacios auxiliares. Podemos imaginarlos como espacios atados a nuestro espacio físico en cada punto, es lo que un matemático llamaría un fibrado:

En esta imagen nuestro espacio físico usual está representado por la superficie (base manifold, en la figura). Y en cada uno de los puntos de ese espacio asociamos un espacio vectorial (o de otro tipo) que representa otros grados de libertad de las partículas más allá de las posiciones. A estos espacios los denominamos fibras (fiber, en la figura).

El espín vive en esos espacios axiliares, no tiene nada que ver ni con posiciones, ni con velocidades o con cualquier otro concepto usual que podamos definir en nuestro espacio XYZ de toda la vida.  Así que cuando se dice que el espín representa una rotación, en realidad habría que decir que representa una rotación en uno de estos espacios auxiliares y no en el espacio físico.

Esto no es más que una representación matemática, lo que pasa en esos espacio auxiliares tiene influencia en nuestra física. De hecho, toda la teoría gauge se vale de estos espacios y las consecuencias en la física son más que evidentes porque determinan las cargas de las partículas y sus interacciones.

Así que supongo que igual que nos preguntamos qué es el espín podríamos preguntarnos (y lo hacemos) qué es la carga. Pero mi mejor respuesta sería que el espín no es más que una característica interna de las partículas para la que no tengo ninguna imagen cotidiana para explicarla. Posiblemente, si de mí hubiera dependido, le hubiera puesto el nombre del alpargato de una partícula. Y seguramente no concluiríamos que las partículas calzan alpargatas.

La importancia del espín

El espín es una característica esencial en nuestro universo, está sujeto a leyes de conservación, hay interacciones que existen gracias a él, permite a las partículas tener momento magnético. Por ejemplo, el neutrón, que es una partícula neutra es capaz de interactuar con el campo magnético gracias a su espín.

Pero lo realmente importante del espín, según mi opinión, es que es una manifestación palpable de la relatividad especial.

Sí amigos, el espín viene determinado por la forma en la que se transforman los estados de las partículas ante transformaciones relativistas.

Nota técnica:

El espín de las partículas viene definido por los Casimires del grupo de Poincaré. Estos objetos son los que etiquetan sus representaciones irreducibles. Los Casimires de este grupo nos dan lugar a dos invariantes, la masa de la partícula y su espín. Es decir, que desde el punto de vista físico/matemático, el espín es una característica de las partículas que es invariante frente a cambios de sistema de referencia inerciales, está en equivalencia con la masa en lo que concierne a ese aspecto.

De hecho, hasta los trabajos de Dirac sobre la mecánica cuántica relativista el espín de las partículas había que introducirlo a mano en la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, en la mecánica cuántica relativista el espín de las partículas aparece de forma natural (al menos el de valor 1/2, originalmente).

Por tanto, la existencia del espín pone sobre la mesa que estamos viviendo en un universo relativista, lo que siempre me parece brutal.

Así que concluendo:

Para mí el espín de una partícula es una característica invariante que las define al mismo nivel que su masa.

Referencias

Group Theory in Physics Part II, Lie Groups & Lie Algebras  Michiel Snoek

Curso sobre grupos y algebras de Lie donde se hace una discusión elemental al grupo de Poincaré y presenta cómo se obtiene el espín de las partículas en este contexto.

Hay varias propuestas para tener una interpretación clásica del espín de las partículas:

Classical Origin of the Spin of Relativistic Pointlike Particles and Geometric interpretation of Dirac Solutions

On a Classical, Geometric Origin of Magnetic Moments, Spin-Angular Momentum and the Dirac Gyromagnetic Ratio

What is spin?

Muchas de estas propuestas, como las de los últimos dos artículos mencionados, proponen que haya una diferencia entre el centro de masas de la partícula y su centro de carga. Esto podría producir que uno rotara alrededor el otro y generar el espín.  Bajo mi punto de vista estas propuestas están algo forzadas y su demostración experimental es un tanto complicada. Pero nunca se sabe.

Mencionar que en la universidad del País Vasco, el profesor Martín Rivas también tiene un modelo de este tipo:

A vueltas con el espín

Para otras opiniones sobre este tema os dejo con dos entradas del blog de Francis:

Nota dominical: Qué es el espín de una partícula

A vueltas con el espín del electrón y los modelos de bolas de Martín Rivas

Nos seguimos leyendo…