El motor de curvatura de Alcubierre: Viajes hiper-rápidos en Relatividad General

Hoy pretendemos entender la forma que en 1994 propuso Miguel Alcubierre para tener una forma de desplazarse más rápido que la luz entre dos puntos del espacio.  Esto viene a colación porque hicimos una entrevista al Dr. Alcubierre en @Los_3chanchitos que desgraciadamente, por causas técnicas, tiene un sonido de muy baja calidad.  Esperamos tener la oportunidad de repetirla en breve asegurándonos que todo funciona bien y que podáis disfrutar de sus respuestas y su explicaciones.

Aquí os dejo el vídeo de nuestro canal explicando el trabajo de Alcubierre sobre viajes «más rápidos que la luz»:

El trabajo al que hacemos referencia es:

The warp drive: hyper-fast travel within general relativity

Vamos a desmenuzar su trabajo.

La velocidad de la luz

Esta historia es más que conocida.  En 1905, Albert Einstein, aparece con una nueva forma de entender la naturaleza bajo el brazo.  Para que las leyes de la física sean las mismas para todos los observadores que se mueven, de forma relativa, en línea recta y a velocidad constante hemos de aceptar un hecho curioso:

La velocidad de la luz en el vacío es una constante.

Es decir, independientemente de qué velocidad relativa tengas respecto a una fuente emisora de luz, o en general de ondas electromagnéticas, siempre medirás que la velocidad de las mismas es c.

Esta teoría tiene una fuerte componente geométrica.  El espacio y el tiempo, que hasta entonces tenían poca relación entre sí, pasan a conformar una única entidad, el espaciotiempo.   En este espaciotiempo podemos estudiar la propagación de luz que llega hasta nosotros y que luego volvemos a emitir.  Supongamos que recibimos un frente esférico que nos llega a nosotros y una vez recibido volvemos a emitir en todas direcciones:

En esta animación hemos suprimido una componente espacial porque de otro modo no podríamos hacer las representaciones.  Pero esas circunferencias marcadas en realidad son esferas.  Lo sé, no hay manera de imaginar eso con nuestra mente seleccionada biológicamente para pensar en solo tres dimensiones espaciales.

Que cualquier observador, independientemente de su velocidad relativa al foco emisor mida la misma velocidad de la luz en el vacío se traduce en que todos esos observadores han de coincidir en que la luz se mueve por la superficie de ese cono.  Sí, es el conocido como cono de luz.

Ese cono de luz nos permite dividir el espaciotiempo en distintas regiones:

1.-  La superficie del cono –  Que son los caminos por el espaciotiempo que pueden seguir las partículas o las radiaciones que se mueven a la velocidad de la luz.

2.-  El interior del cono –  Esos son los puntos a los que, considerando que estoy en el vértice del cono, puedo enviar información a una velocidad menor que la velocidad de la luz.  Eso en lo tocante a la parte superior del cono, la parte inferior son todos aquellos puntos que han podido enviarme señales o partículas que se mueven a una velocidad inferior a la velocidad de la luz.

3.-  El exterior del cono – Para acceder a los puntos exteriores al cono de luz asociado a mi posición en el espaciotiempo debería de poder enviar señales, partículas o radiación, a una velocidad superior a la velocidad de la luz.

Todo esto se puede extraer de la métrica del espaciotiempo de la relatividad especial, el espaciotiempo de Minkowski. La métrica es lo que nos permite calcular distancias en un espacio y, además, a construir y calcular áreas, volúmenes, ángulos, etc.  Es decir, en cierto sentido la métrica es la llave de la geometría de un espacio, la llave maestra.  Para la relatividad especial tenemos que la métrica, que representaremos por ds² toma la siguiente forma:

Esta métrica es la conocida como métrica de Minkowski y no es más que una vuelta de tuerca a la fórmula que uno puede construir en dos, tres, cuatro, cinco,…, dimensiones de un determinado espacio.

Eso sí, hay un signo menos en una de las componentes. Ese signo menos no es ningún capricho.  Si queremos que sea cierto que en ese espacio se preserva la estructura del con de luz para todo observador que se mueva en línea recta y velocidad constante ese signo es esencial.  Es decir, ese signo es debido a que la velocidad de la luz en el vacío es una constante.

Ojo, dado que es una constante podemos hacer perfectamente que c=1, basta con dividir cualquier velocidad por el valor de c en el sistema de unidades que estemos trabajando. Si te gusta eso de c=300000km/s pues basta que dividas por 300000km/s cada velocidad que tengas a tu disposición y así tendrás que c=1 y que las velocidades se expresarán como fracciones o múltiplos de c.  Por ejemplo una velocidad de 150000km/s simplemente sería de 0.5 si tomamos c=1.

La ventaja de tomar c=1 es que entonces tiempo y espacio se miden con las mismas unidades y eso simplifica las fórmulas una barbaridad.  Eso sí, si te gusta mucho la velocidad de la luz puedes introducirla cuando quieras, por ejemplo:

ds²=-c²dt²+dx²+dy²+dz²

Esta métrica, en el formato que prefieras, puede tomar valores negativos, negativos y un valor nulo.  De hecho, podemos afirmar:

1.-  Los puntos en el interior del cono de luz tienen una separación dada por ds² negativa.

2.-  Un punto del interior del cono y otro en el exterior tienen una separación dada por ds² positiva.

3.-  Dos puntos sobre la superfice del cono de luz tienen una separación dada por ds²=0.  Es decir, que ds²=0 identifica a los sistemas que se mueven en el espaciotiempo a la velocidad de la luz.

Uno de los resultados más conocidos de la relatividad especial, dejando de lado las dilataciones temporales, las contracciones de longitudes y las cosas de gemelos, es que en este marco teórico se establece que ningún sistema que tenga masa en resposo no nula puede superar la velocidad de la luz en el vacío.  Esta velocidad es un límite físico para las velocidades alcancables por los sistemas.

Está claro que si hay un límite pondremos todo nuestro empeño en intentar superarlo, por las buenas o por las malas.

 Relatividad General

En este punto vamos a hablar de Relatividad General y haremos un salto tal que así:

La Relatividad General es la teoría que nos dice que la gravedad no es más que la manifestación de la geometría del espaciotiempo que se ve afectada por la distribución de energías y flujos de energía de los distintos campos presentes en dicho espaciotiempo.

Tal vez prefieras un poco más de detalles, para evitar que esta entrada sea muy larga y para saciar tu ansias de saber más de este tema, aquí te dejo una serie de entradas que te podrán satisfacer al menos un poco:  Relatividad General en Cuentos Cuánticos.

Lo que nos dice la Relatividad General es que los sistemas con masa o energía afectan a la geometría del espaciotiempo.  Estoy seguro de que has visto múltiples variantes de esta imagen:

Esa malla representa al espaciotiempo y esas bolas representan sistemas con masa o energía.  Se ve que cuanto más energético un sistema más curva el espaciotiempo.  Así, la gravedad es una manifestación de esa curvatura del espaciotiempo.

Por tanto, cada cosa con energía en un espaciotiempo lo curvará y eso hará que los caminos naturales, los que seguirían sistemas que no están siendo afectados por ninguna fuerza, no sean líneas rectas sino que describirán curvas, las llamadas geodésicas.

Pero claro, si la energía, su distribución y sus flujos cambian la geometría del espaciotiempo quiere decir que afectan a la métrica del mismo.  Así, en general, en un espaciotiempo dado la métrica ya no será la métrica de Minkowski.  En cada punto será de una forma y variará de punto a punto.

Todo esto como se entiende mejor es mirando a las ecuaciones de Einstein de la relatividad general:

Tal vez esto aclare un poco más el asunto:

El término Gab es el conocido como tensor de Einstein.  En realidad ese bicho se construye con ds² y sus formas de variar de punto a punto en el espaciotiempo (sus derivadas).

El término Tab es el tensor de energía-momento y es el que condensa la información de qué tipo de energías están distribuidas por el espaciotiempo que estemos estudiando y como fluyen esas energías.

Esa bonita fórmula en realidad son 10 ecuaciones en derivadas parciales y no lineales, es decir, es difícil resolverlas.

Pero hay dos formas de afrontar el problema de resolver estas ecuaciones.

Por un lado podemos saber qué energías tenemos, cómo están distribuidas y cómo fluyen en cada punto.  Es decir, sabemos Tab.  Así que nos queda resolver Gab que no es más que una forma complicada de esconder a ds² que es la métrica en el espaciotiempo.

Por otro lado, podemos fijar la métrica del espaciotiempo ds².  Con ella podemos construir el Gab.  Con eso estamos fijando la geometría de nuestro espaciotiempo y nos queda por resolver qué tipo de energías, cómo están distribuidas y cómo están fluyendo, darían lugar a esa gometría espaciotemporal.  Es decir, tendríamos que de determinar el Tab.

Esto es interesante porque uno puede imaginar distribuciones de energía (y sus flujos) que estiren, contraigan, agujereen o retuerzan el espaciotiempo.  Basta con imaginar y luego ver si nuestras ensoñaciones tienen algún sentido físico.

No solo de la velocidad vive el desplazamiento

Cuando queremos ir de un punto del espacio a otro punto del espacio lo que hacemos es recorrer la distancia que los separa con una determinada velocidad.  La velocidad se puede definir como el espacio que recorremos por unidad de tiempo (en realidad, la velocidad instantánea tendríamos que definirla como una derivada que involucra un paso al límite para intervalos de tiempo infinitesimalmente pequeños).

Esta es la manera tradicional en la que pensamos al imaginar un desplazamiento.  Y como sabemos, la relatividad especial nos dice que nada puede ir más rápido que la luz. Por lo tanto, si nosotros intentamos ir de un punto del espacio a otro y a la misma vez que nosotros iniciamos el viaje lanzamos un rayo de luz tenemos por seguro que ese rayo de luz nos va a ganar de largo la carrera.

Pero tal vez sea posible desplazarse sin moverse del sitio.

Sí, sí, has leído bien… desplazarse sin moverse del sitio.

La expansión del universo

Desde 1929 sabemos que el universo se expande, y desde 1998 sabemos que lo hace cada vez más rápido.  Fue Hubble el que determinó que el universo se expandía ya que fue capaz de observar que las galaxias se estaban alejando todas de la nuestra y que lo hacían tanto más rápido cuanta mayor era la distancia que nos separan de ellas.

En esa gráfica vemos que la «velocidad» a la que se alejan las galaxias de nosotros es mayor cuanta mayor es la distancia de separación.  Por lo tanto, si miramos lo suficientemente lejos podremos encontrar galaxias cuya «velocidad» de separación de nosotros sea superior a la velocidad de la luz.  ¿Cómo? ¿CÓMO?

Bueno, para ser honestos tendremos que precisar que aquí el uso de la palabra «velocidad» es una licencia poética. En realidad en el caso de la expansión del universo las galaxias no se mueven unas respecto de otras.  Y sí, sé que esto no está ayudando mucho en este momento.

Para entender todo esto vamos a imaginar lo siguiente:

1.-  Vamos a considerar que representamos el estado de nuestro universo, la parte espacial, en un instante dado y que ponemos una malla en la que situamos las galaxias.

2.-  Luego vamos a ir estirando la malla sin modificar las posiciones de las galaxias.

Algo así:

Ahí hemos representado solo dos galaxias, una situada en el punto (1,1) y la otra situada en el punto (4,3).  Es evidente que la malla se ha estirado en todas las direcciones y es evidente que la distancia entre cualquier par de puntos de la malla ha aumentado.  Eso es importante porque eso significa que la expansión no tiene un centro.  A nosotros nos parece que todas las galaxias se alejan de nuestra posición no porque estemos en el centro sino porque todas se alejan de todas y veríamos lo mismo en cualquier otra posición.

Ahora bien, las galaxias han aumentado su distancia real porque el espacio que las contiene se ha estirado.  Sin embargo, ellas no se han movido de su sitio, sus posiciones en la malla son las mismas en todo momento. Esto quiere decir que no hay un movimiento relativo entre las galaxias sino que su distancia aumenta porque están siendo arrastradas por la expansión del propio espacio que las contiene.

Pero ahora tenemos dos distancias en juego. Por un lado tenemos la distancia coordenada:

Esa distancia solo depende de las coordenadas de las galaxias.  Dado que son fijas esa distancia siempre es fija.  Es evidente que esa no es la distancia físicamente real.  Para calcular la distancia real de separación hemos de introducir de algún modo el efecto de la expansión.  Suponiendo que la expansión hace que aumente la distancia en cada instante en un factor a(t), la distancia real quedaría:

Es decir, que la distancia coordenada (dx²+dy²+dz²) aumenta en un factor a²(t) en cada instante de tiempo.  Eso es porque las coordenadas que nosotros determinaríamos de las otras galaxias estarían influidas por la expansión y nos daría la sensación de que la posición en el espacio de una galaxia no es (x,y,z) sino (a(t)x, a(t)y, a(t)z).  Por lo que al final, la distancia que nosotros percibimos va aumentando con el tiempo como se describe por:

a²(t)(dx²+dy²+dz²)

Dado que estamos en un espaciotiempo, la métrica del mismo sería:

Si esa a(t) fuera constante estaríamos en un espaciotiempo plano normal, pero si esa a(t) crece con el tiempo, por ejemplo, estaríamos en un espaciotiempo en el que hay expansión espacial.  Si por contra, a(t) decrece con el tiempo, estaríamos en un espaciotiempo con contración espacial.

Aquí vemos de forma palpable la capacidad que tenemos para influir en la geometría y el comportamiento del espaciotiempo sin más que toquetear la métrica.

Así que, volviendo a la expansión del universo, no hay ningún problema para que existan galaxias que se separen de nosotros a mayor «velocidad» que la luz.  Ahora sabemos que eso no es una velocidad real, no es un desplazamiento en el espacio por unidad de tiempo, es un efecto de la geometría expansiva del espacio.  Y eso no entra en conflicto con la realtividad, el espacio se puede expandir al ritmo que queramos, solo hemos de encontrar la distribución de energías adecuadas para ello, por ejemplo una bonita energía oscura.

Si quieres saber más sobre la expansión tal vez te interese este conjunto de entradas: Cosmología y expansión.

Por fin, el espaciotiempo de Alcubierre

Venga, vamos a intentar seguir los pasos de Miguel Alcubierre para intentar llegar de un punto a otro del espacio en menos tiempo que lo haría un fotón moviéndose a través del espaciotiempo.

Nuestro problema consiste en ir de una estrella a otra separadas por una distancia enorme.

Nuestra amiga tiene dos opciones.  Puede optar por montarse en la nave espacial más rápida que encuentre e iniciar el viaje.  Pero entonces se encontraría de bruces con la limitación de que no podría llegar nunca a la velocidad de la luz y mucho menos superarla.  Está claro que en ese caso los fotones ganarían la carrera.

Pero nuestra amiga comienza a pensar una forma alternativa.  Se quiere aprovechar de la capacidad que tiene el espaciotiempo para estirarse y contraerse.

Así que se situa en una coordenada Xa:

Inicialmente, mira a su alrededor, y salvo en las inmediaciones de las estrellas lo que nota es un espaciotiempo plano (sí, estamos despreciando la curvatura alrededor de las estrellas porque es una complicación que no aportaría nada a la discusión que vamos a realizar).  Por lo tanto su métrica será:

Ahora bien, ella sabe que se puede mover en línea recta (en realidad sabe que se puede mover por una geodésica en el caso general) para ir de su estrella a la otra estrella. Por tanto sería ideal encontrar un espaciotiempo que arrastrara literalmente su coordenada de posición, la Xa para que consiguiera ese desplazamiento.  Eso es fácil de conseguir modificando un poco la métrica como algo así:

Fijémonos que hemos reemplazado el dx² por un factor (dx-Vadt)².  ¿Qué significa eso?

La Va no es más que dXa/dt, es decir, la «velocidad» a la que la coordenada que ocupa nuestra amiga se ve arrastrada por el espacio.  Así que dx-Vadt lo que nos da es justamente el arrastre de las coordenadas X de nuestro espacio con una velocidad Va.  Alucinante, ¿no?

Pero eso es un poco bruto ya que estamos afectando a todas las coordenadas X de nuestro espacio a la vez.  Lo que nuestra amiga quiere es que todo lo demás se quede tal y como está y lo único afectado sea su posición.

Como es muy lista modifica un poco más la métrica:

¿Qué es esa ?  Aquí  es la distancia desde cualquier punto a la posición que ocupa nuestra amiga (o su nave) dada por la coordenada Xa.  Sabiendo eso se establecen las siguientes propiedades de esa función:

1.-  Vale 1 en un entorno pequeño alrededor de Xa.  Por lo tanto alrededor de Xa veremos un espacio plano solo que la coordenada en cuestión están siendo arrastrada con una velocidad Va.

2.-  Rápidamente, cuando aumenta un poco, esa función se anula. si esa función se anula lo que nos queda es que la métrica vuelve a ser la de un espaciotiempo plano.

Así que veamos:

Resulta que nuestra amiga está en la posición Xa, pero el propio espaciotiempo en el que está inmersa hace que esa coordenada se vea arrastrada por el espaciotiempo a una velocidad Va.  Eso quiere decir que el espacio se apelotona, se contrae en la dirección frontal en el sentido de movimiento y se estira en la trasera.   Y eso lo hace solo en el pequeño entorno en el que la función no es nula.

El efecto es que se crea una burbuja de radio que contra el espacio en su frente (según la dirección de movimiento deseada) acercando la estrella de llegada y estira el espaciotiempo en su parte posterior (según la dirección del movimiento) alejando la estrella de salida.

Eso lo hace con una velocidad Va, pero resulta que eso es un efecto de contracción/dilatación del propio espacio y resulta que no hay limitación para su valor.  Por lo tanto, nuestra amiga podría ir de una estrella a otra en un tiempo tan corto como quisiera.  Dado que los fotones que se muevan por el exterior están condenados a moverse a c a través del espacio serían derrotados en la carrera con nuestra amiga.

La típica imagen del espaciotiempo de Alcubierre es la siguiente:

La nave en la que va nuestra amiga están en la región 2. Ahí, en su centro está la coordenada Xa.  La región 1 es la parte trasera y la 3 es la parte delantera, respecto al sentido del movimiento. Dentro de la burbuja el espacio es plano, igualmente fuera de la misma.  Es en las paredes donde en la parte frontal se produce una contracción del espacio y en la parte trasera una dilatación del mismo.

Sin lugar a dudas, esta es una ingeniosa forma de hacer un viaje más rápido que la luz.

¿Cómo se hace esto?

Muy bien, hemos descrito una bonita métrica que hace justamente lo que queríamos, proporcionarnos un método de hacer viajes superlumínicos.  Pero, como hay que ser coherentes hemos de reconocer que lo que hemos hecho es construir una ds² de diseño. Hemos fijado la parte geométrica de las ecuaciones de Einstein, así que nos queda una tarea:

El Dr. Alcubierre fue consciente de ello y en su trabajó determinó qué distribución de energía y qué tipos serían necesarias para que este espaciotiempo fuera realizable físicamente.

Desgraciadamente tenemos dos malas noticias:

a)  La cantidad de energía necesaria es comparable a la energía equivalente a la masa del Sol (o varias veces la misma).  Para ser justos en algunos resultados posteriores solo hace falta la energía equivalente a la masa de Júpiter.

b)  Resulta que para mantener las paredes de la burbuja es necesaria energía con densidad negativa, es decir, la energía por unidad de volumen ha de ser negativa al menos en las paredes laterales de la burbuja.

Tenemos un problema con eso porque no es fácil encontrar en la naturaleza campos que generen densidades negativas de energía.  Es cierto que sabemos que cuánticamente esto no es imposible y que es muy posible que en presencia de agujeros negros, en el origen del universo y en otras situaciones muy dramáticas, se generen o se hayan generado energías de densidades negativas.  Sin embargo, nosotros no hemos generado energías de densidades negativas.

Bueno, tal vez sí, en el efecto Casimir.  Este efecto es el que se da cuando se meten dos placas metálicas en el vacío y se aprecia que aparece una fuerza de atracción entre ambas.  Este efecto se ha medido, de hecho se ha medido la fuerza con la que se atraen estas placas.

Una posible explicación de este hecho consiste en considerar que la presencia de las placas afecta al comportamiento del vacío cuántico.  Este vacío cuántico en virtud del principio de indeterminación no puede tener en todo instante una energía fijada sino que ha de fluctuar (en promedio la energía es constante, pero instantáneamente si intentamos determinarla no podremos).  La meter las placas introducimos condiciones para las fluctuaciones admitidas entre las mismas excluyendo muchas de las posibles. Por lo tanto en el exterior hay más fluctuaciones que en el interior.  Si consideramos que en el exterior tenemos el vacío con la menor energía posible, energía nula si la definimos así, tenemos que aceptar que en entre las placas hay menos energía, por lo que hemos generado una región con densidad de energía negativa.

Pero nadie ha medido la energía entre las placas de un efecto Casimir, solo es una explicación teórica plausible al efecto.  Y muy atractiva en mi opinión.  De todas formas, aunque fuera el caso, no sabríamos como generar ingentes cantidades de este tipo de energía de densidad negativa para construir una burbuja de Alcubierre.

Si os interesa el tema…

Este tema es fascinante porque nos obliga a entender mejor el espaciotiempo y el comportamiento energético de los campos físicos. Nos lleva a estrujarnos la cabeza en múltiples sentidos.  Si queréis una selección de trabajos sobre todos estos temas:

Artículos sobre el motor de curvatura de Alcubierre

Espero que os haya gustado.

Nos seguimos leyendo…