Destripando un agujero negro

Vamos a presentar la forma usual en la que un físico teórico piensa en un agujero negro.  Para ello tenemos que usar ciertas herramientas de la relatividad general, especialmente haremos incapié en herramientas muy visuales como los diagramas de Penrose.

Para esta entrada no está mal revisar la entrada previa sobre agujeros negros, y sobre el trabajo de Karl Schwarzschild y sobre diagramas de Penrose entrada I y entrada II.

A ver qué sale…

Aprendiendo de la relatividad general

La relatividad general (GR en lo que sigue de sus siglas en inglés, General Relativity) parte de un principio esencial:

Todo observador, independientemente de su estado de movimiento, describe la misma física.

Como hemos discutido varias veces, especialmente en la entrada sobre qué es la relatividad, los principios de relatividad escogen un grupo de observadores que ven la misma física.  Pues en GR son todos los posibles, da igual que sean inerciales o no lo sean (es decir sin o con aceleración).

Esto se traduce en que cada observador elige un sistema de coordenadas diferente y la física no puede depender del mismo.  Es decir, todos los sistemas de coordenadas se pueden utilizar.  Está claro que en determinados problemas unos serán mejores que otros porque simplifiquen los cálculos, las fórmulas sean más cortas, etc.

Pero pongamos esto visualmente, imaginemos que tenemos ciertos sistemas físicos interactuando entre sí, intercambiando partículas, o colisionando.  Representemos estos sistemas por poliedros de diferentes colores.  Pues bien, las relaciones entre ellos son las mismas, independientemente de los sistemas de coordenadas que empleemos para describirlos:

Imagen de la invariancia bajo cambio de sistema de coordenadas. Imagen extraida del Albert Einstein Institute.

Esta es una de las lecciones más importantes de la GR. Y ahora la vamos a ver en acción.

De nuevo Schwarzschild

Cuando uno habla de un campo gravitatorio, es decir de la métrica asociada a una determinada configuración de masa y energía, uno ha de dar la forma de dicha métrica.  En el caso de Schwarzschild es:

Pero para saber cómo es el espaciotiempo asociado lo mejor es ver cómo se comportan la luz y las partículas con masa en este espaciotiempo.

Definiremos:

1. Una línea horizontal roja que representa la superficie dada por el radio de Schwarzschild .  Esta superficie se denomina horizonte de sucesos del agujero negro.
2. Las líneas amarillas claritas representa rayos de luz que mandan observadores hacia el interior del agujero negro.
3. Las líneas amarillas ocres representan rayos de luz que mandan observadores hacia el exterior del agujero negro.
4. Las líneas moradas son líneas de tiempo constante.
5. Las líneas azules representa líneas de radio constante.
6. La línea azul claro representa los puntos que están en r=0.

Entonces tenemos esta imagen:

Analizamos este diagrama:

– Vemos que en el exterior del agujero negro (a la derecha del horizonte, las líneas de rayos de luz entrantes y salientes forman la estructura esperada, un cono de luz (ver entrada sobre diagrama de Penrose para Minkowski).  Esto significa que lejos de la masa M el espaciotiempo se comporta como un espaciotiempo plano.  Esto es lógico ya que a mayor distancia de la masa M menos intenso es el campo gravitatorio, y por tanto menos curvatura.

Conforme nos acercamos al horizonte los conos de luz se van deformando, lo que indica que la curvatura aumenta.

–  Observamos un hecho curioso, si nos fijamos atentamente al llegar al horizonte las líneas amarillas entrantes se van acercando al horizonte, pero ninguna de ellas entra dentro.

Este es el famoso hecho que se usa en divulgación de que un observador externo mirando a una nave cayendo en el agujero vería que nunca traspasaría el horizonte (no entramos en el tema del corrimiento al rojo que ya trataremos en otra entrada).  Justo en el radio de Schwarzschild esas líneas quedan sobre el horizonte.  Eso quiere decir que si estás sobre el horizonte sólo puedes permanecer sobre él si te mueves a la velocidad de la luz. También vemos que las líneas ocres (luz que intenta salir del agujero) justo en el radio de Schwarzschild quedan sobre él.

– Por lo tanto, a la vista de este diagrama nada puede entrar ni salir del horizonte.

Este hecho es lo que nos dice que el radio de Schwarzschild produce una singularidad (aparece un infinito en la métrica, ver la entrada anterior).

– Resulta que cuando estamos dentro del agujero (a la izquierda de la línea roja que representa el horizonte) las líneas amarillas y ocres (rayos de luz entrantes  y salientes) sufren una deformación extrema.  Apuntan hacia la línea azul (puntos r=0).  Y este r=0 es otra singularidad, la métrica presenta otro infinito (ver la entrada anterior).

Dado que las partículas con masa se tienen que mover dentro de los conos de luz, si hay algo en el interior del agujero negro, no tiene otra opción que caer al punto r=0.

Una imagen simplificada en términos de los conos de luz es la siguiente:

Es raro no poder ni entrar ni salir ¿no?

Eso de que en tengamos algo que no deja ni salir ni entrar no parece muy normal. No hay ninguna razón pra que esa región se convierta en una barrera infranqueable.  De hecho si uno calcula sus propiedades físicas, como por ejemplo la curvatura del horizonte, esta sale finita.  ¿Entonces por qué hay un infinito en la métrica cuando el radio es el radio de Schwarzschild?

Pues muy simple, por la elección de coordenadas.  Como hemos dicho antes, en relatividad general todas los observadores están permitidos.  Y las coordenadas que usó Schwarzschild para describir su solución eran las que escogería un observador externo situado a un radio (distancia al agujero) fijo (coordenadas esféricas).

¿Qué pasa si usamos otras coordenadas?  Veámoslo, elijamos el punto de vista de un observador que está cayendo libremente hacia el agujero.

Definamos las líneas que vamos a usar:

1. Las líneas amarillas y ocres representan lo mismo que en el caso anterior.  Análogamente para las línea roja, azul clarito, azul y morado.
2. Las líneas verdes son las líneas que siguen observadores (partículas con masa) en caida libre.

Con estas coordenadas la cosa ya tiene mejor sentido.

–  Vemos que un observador en caida libre puede atravesar sin problema el horizonte, y que una vez que que traspasa el mismo termina en los puntos a r=0 que llamaremos a partir de ahora la singularidad.

– Vemos que las líneas de luz entrantes también pasan sin problemas.

–  Las líneas salientes sin embargo conforme se acercan al horizonte se pegan a él.  Es decir son tangentes al mismo, lo que indica que nada puede salir del agujero, porque nada puede superar la velocidad de la luz en el horizonte.

Esto se consigue con un cambio de coordenadas, de las coordenadas de un observador estacionario a un r fijo, a las que eligiría un observador en caida libre.  Evidentemente la forma de la métrica cambia consecuentemente (aunque la física es consistente por supuesto).  No daremos la forma de la métrica, pero mostraremos como cambia el diagrama de forma natural de unas coordenadas a las otras.

Coordenadas de Finkelstein

Los físicos son moscas cojoneras y les gusta los refinamientos, así que uno puede volver a cambiar de coordenadas de forma que las líneas de luz entrantes (amarillas claras) formen un ángulo de 45º con los ejes T y X.  Así uno tiene mejor imagen de lo que ocurre:

Suponemos que la interpretación está clara, ¿os atrevéis a interpretar?

Veamos que el cambio es natural:

Rizando el rizo, coordenadas de Kruskal

Pero claro, ya que nos ponemos, por qué no vamos a dibujar todas las líneas de luz, entrantes y salientes, formando ángulos de 45º con los ejes.  Así la comparación con los conos de luz de Minkowski es directa.  Esto se consigue cambiando a las conocidas como coordenadas de Kruskal.

Aquí únicamente hemos de decir que hay una línea rosa (el horizonte) y aparece una línea roja (que llamaremos el antihorizonte, pero que no le vamos a prestar mucha atención por ahora, porque eso se merece una entrada completa, en este caso es simplemente un pasado infinito nulo, como el que vimos en la entrada de diagramas de Penrose).

Aquí está todo claro, el horizonte (línea rosa) forma 45º, es decir, es una línea nula.  Para estar sobre ella hay que moverse a la velocidad de la luz.  Y como nada puede superar esa velocidad nada puede escapar del interior (las líneas ocres no pueden salir a uno ser que estén fuera del horizonte).

Las líneas amarillas claras siempre entran sin problema.

Esta es la forma que tiene un agujero negro en términos físicos.  Pero además podríamos dar el diagrama de Penrose para este caso, (es decir, trayendo el infinito aquí al lado).

Este diagrama es muy interesante porque vemos que básicamente el espacio exterior al horizonte es casi un espacio de Minkowski, por eso decimos que el espaciotiempo de Schwarzschild es asintóticamente plano (cuando nos alejamos del horizonte) se comporta como Minkowski (un mundo sin gravedad).

Las coordenadas de Kruskal vienen con sorpresa, ¿no parece incompleto el diagrama?  Sí, lo parece… pues volveremos a él.  Por ahora sólo una pista… agujeros de gusano 😉

Esperamos que os haya gustado la entrada y aquí estamos 😛

Todas las imagenes de esta entrada han sido tomadas de la página de Andrew Hamilton que es un trabajo magnífico sobre estos temas.  No os la perdáis.