El ser humano es capaz de lo peor y también de lo mejor. Es capaz de levantarse en guerra por motivos absurdos, condenando a miles a luchar por los problemas y las ideas infantiles de unos pocos. Sin embargo, incluso dentro de la más cruda de las barbaries aparece la luz del genio humano.
En esta entrada queremos presentar cómo incluso en la más profunda de las desesperaciones, la guerra, un señor tuvo tiempo para enseñarnos la potencia de la Relatividad General (GR en lo que sigue por sus siglas en inglés General Relativity) y nos descubrió todo un mundo nuevo, los agujeros negros. Este gran hombre fue Karl Schwarzschild.
Breve reseña biográfica
Karl Schwarzschild
Schwarzchild nace en Frankfurt am Main el 9 de Octubre de 1873 en el seno de una familia judia.
Desde pequeño se mostró interesado y ciertamente apto para la física y las matemáticas, llegando a publicar un artículo de mecánica celeste a los 16 años.
En 1896 Octuvo su doctorado en matemáticas. Y desde 1901 hasta 1909 trabajó como profesor en Göttingen. En aquella época este era uno de los centros estrella de la física y la matemática mundial.
En 1909 se trasladó al Obervatorio Astrofísico de Potsdam (cerca de Berlin), donde actualmente se encuentra el Instituto Albert Einstein de física gravitacional del Instituo Max Planck alemán.
Desgraciadamente en 1914 fue requerido por el ejercito alemán que se encontraba inmerso en una guerra cruel, la Primera Guerra Mundial. Sirvió en el frente ruso (uno de los más duros de dicha guerra) llegando a la escala de teniente de artillería.
Desgraciadamente muere el 11 de Mayo de 1916, se cree que por causa de una enfermedad autoinmune cutánea muy rara.
Durante sus años activos en ciencia realizó contribuciones importantes a la teoría cuántica, espectroscopía, la física de la fotografía, etc. Pero sin duda su contribución más importante y por la que es mayormente conocido es la que vamos a exponer aquí, su trabajo en Relatividad General.
Si eres el primero resuelves el problema fácil… y luego te sorprendes.
En 1915 Einstein publica la forma definitiva de la teoría de la Relatividad General. Esta teoría, como todas, presenta un conjunto de ecuaciones y en este caso son ciertamente difíciles de resolver. De hecho, Einstein dio una solución aproximada al problema del movimiento de Mercurio alrededor del Sol, para mostrar que la predicción de la Relatividad General era acertada respecto al perihelio de Mercurio en contraposición con la sacrosanta teoría Newtoniana. Tengamos en cuenta que Einstein pesenta las ecuaciones de la GR en Noviembre de 1915.
Pues bien, Schwarzshild le escribió a Einstein una carta el 22 de Diciembre de 1915 desde el frente ruso. Esto no sería muy relevante si no fuera porque en dicha carta le presentó una solución exacta a un problema concreto donde se aplicaba la GR.
Es increible pensar que tan solo un mes después de la forma definitiva de las ecuaciones de Einstein, Schwarzschild, en mitad del frente ruso de la Primera Guerra Mundial, pudiera desarrollar un trabajo que cambiaría la física para siempre.
El problema era el más sencillo posible, ¿cómo es el campo gravitatorio que genera una masa M con forma esférica? Este es el problema relevante para estudiar por ejemplo el sistema solar, pero claro, se presentó la sorpresa.
La solución de Schwarzschild
No os preocupéis, no vamos a resolver las ecuaciones de la relatividad general en este caso. Pero si que vamos a presentar la solución y a explicarla detalladamente.
Problema: Tenemos un cuerpo esférico de masa M sin rotación, ¿cómo es el campo gravitatorio que genera?
Notas:
- Como hemos explicado en varias entradas de este blog, la relatividad general es una teoría donde lo que buscamos es la métrica del espaciotiempo. La gravedad es la manifestación de una geometría y por tanto de una métrica.
- Es muy recomendable leer la entrada sobre relatividad general.
- También es muy interesante leer la entrada sobre métricas.
- Así cuando hablamos en este contexto de campo gravitatorio nos referimos a la métrica asociada.
Visualmente el problema es simple, tengo una masa M de forma esférica y nada más. Evidentemente este sistema es igual en cualquier dirección, unicamente veremos más o menos cerca la masa M si nos alejamos o nos acercamos. Esto quiere decir que el espaciotiempo resultante tiene simetría esférica.
Schwarzschild pensó sobre esto y dijo, bien, pues resolvamos el problema de la manera más natural posible, empleemos las coordenadas esféricas.
Nosotros estamos acostumbrados a las coordenadas cartesianas (x,y,z). Un punto en el espacio tridimensional hay que identificarlo con tres cantidades. Pero nadie te dice que sólo se puedan usar las coordenadas cartesianas. De hecho, cualquier punto se puede localizar dando dos ángulos y un radio.
Describamos eso:
- Tenemos un sistema de tres ejes perpendiculares.
- Ahora tenemos un punto P.
- Dibujamos el vector que va desde el origen del sistema de ejes hasta el punto P.
- Dicho vector definirá un ángulo
con el eje Z.
- Ahora podemos mirar la proyección del vector en el plano XY y ver el ángulo que define dicha proyección sobre el eje X, ese ángulo lo llamaremos
.
- La distancia entre el punto O y el punto P lo llamaremos radio y será representado por
.
Es bueno seguir e intentar dibujar estos puntos que hemos enumerado, pero por si acaso dejamos una imagen:
Pues bien, Schwarzshild escribió las ecuaciones de Einstein en estas coordenadas y encontró una hermosa solución, es decir una métrica, la conocida como Solución de Schwarzschild:
Apuntes sobre la solución:
- Lo primero es
: Esto hace referencia a la información de la métrica respecto a los ángulos. Pero recordemos que estamos hablando de una situación esférica, por tanto la información de los ángulos es irrelevante, así que no daremos su forma explícita. (Una esfera es una esfera, da igual el ángulo desde la que la miremos).
- Luego tenemos un factor interesante:
Estudiemos esto en detalle:
¿Cuando vale ese factor 0? Esta es una pregunta obvia cuando tienes una resta, y no es difícil ver que el valor del radio que hace que esa agrupación valga cero es 
Nota sobre las unidades empleadas:
En la ecuación 
Es decir, el factor con todas las constantes sería: 
En unidades del sistema internacional habituales este factor no toma el valor 
by @ricardocosan
¿Qué significa esto?
Sustituyamos esto en la métrica:
Pero un momento, 1/0 es infinito. Por lo tanto tendremos:
Esto quiere decir que perdemos toda la posibilidad de adquirir conocimiento de distancias radiales para cosas que estén a una distancia
Inicialmente se pensó que esto no era muy preocupante porque ningún cuerpo de masa M podría estar contenido en una esfera de radio igual o menor que 2M. Así que no hay de qué preocuparse por este «artefacto matemático». Pero pronto se vió que esta idea no se sostenía, se pueden encontrar fenómenos físicos, como la compresión de una estrella en los últimos estadios de su evolución, que hicieran que la misma se contrayera por debajo de este radio. Así que… tenemos un problema. Tenemos que entender por qué esta métrica (el campo gravitatorio deja de tener sentido en este caso).
Pero aún hay otro punto problemático. Pensemos que pasa cuando r=0.
Esto queda:
Es decir, tenemos otra singularidad en r=0, la fórmula vuelve a dejar de tener sentido porque aparece otro infinito en ella.
Singularidades
La aparición de una singularidad es algo realmente incómodo. La teoría ya no puede decir nada con sentido en esos puntos y todo se viene abajo. Y resulta que en la solución dada por Schwarzschild encontramos dos:
que sólo se da cuando toda la masa M del objeto se «concentra» en el punto central.
Por eso hay que entender si esto es una casualidad de la teoría, si tiene sentido físico, si se pueden evitar, etc.
Así que una vez presentada esta solución diremos:
La solución de Schwarzschild es perfecta para describir el campo gravitatorio de una masa M en radios mayores que el radio de Schwarzschild. Con ella podemos describir las posibles órbitas que describiran partículas o cuerpos alrededor de esta masa M.
El problema viene cuando toda esa masa se contrae para ocupar un espacio con un radio menor que el radio de Schwarzschild. Cuando eso pasa estamos ante esos monstruos que tienen el nombre de agujeros negros.
Por el momento lo dejamos aquí, posteriormente discutiremos con mayor detalle esta solución de forma que veamos que el radio de Schwarzschild no supone una singularidad real (es lo que se conoce como una singularidad evitable) pero la de r=0 no hay forma de deshacerse de ella. Y además entraremos en detalles sobre cómo se comporta el espaciotiempo cuando hay un agujero negro presente.
El caso es que, aunque muchas veces se dice que la humanidad no es inteligente, esta es una muestra de que aún en las peores condiciones la chispa de la genialidad puede aparecer.
Esperamos que os haya gustado la entrada.
Nos seguimos leyendo…
Esta entrada se ha escrito con la colaboración de @ricardocosan.
Cuentos Cuánticos 
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Me parece que la solución que estás poniendo sea la de Hilbert.
La de Schwarzschild era
gS (r) = (1 − α/R)dt² − (1 − α/R)⁻¹ dR² − R² dΩ²
con
α = 2m
R = (r³ + α³ )^(1/3)
Pero Hilbert tomó R como si fuera la coordenada radial, cosa que Schwarzschild no hizo y que puede considerarse un error (y sus resultados no se siguen de la solución de Schwarzschild).
Échale un vistazo a http://arxiv.org/abs/gr-qc/0102055
Las consecuencias son muy interesantes…
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En efecto, se me fue de la pinza el tema de las unidades. Muchas gracias, hemos insertado tu comentario en la propia entrada. Genial, a ver si las colaboraciones se van haciendo algo habitual en este rincón.
Muchas gracias…
¿Sería conveniente hacer un pequeño apunte acerca de porqué la masa se puede medir en unidades de distancia? A lo mejor lo has puesto en algún otro lado pero por si acaso:
En la ecuación $r= 2M$ se esconde un factor $G/c^2$ que se ha puesto, porque así lo hemos querido y porque podemos, igual a $1$. En unidades del sistema internacional habituales este factor no toma el valor $1$, sino $7,4\cdot 10^{-28} \; m/kg$. Así que hay que tener mucha masa (como la del sol $2\cdot 10^30\; kg$ para que el radio de Schwarzschild no sea minúsculo.
Perdón por la intromisión si esto ya estaba claro.