Euclides y la Organización Deductiva

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La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados

Por poca matemática que sepas, seguro que esto te suena. No podríamos decir que fuera Euclides el que lo demostró por primera vez, pero desde luego lo recopiló junto a otros teoremas en un libro que es el fundamento de la geometría y uno de los pilares básicos de otras parcelas de conocimiento como la física, la astronomía y hasta la química: Los Elementos. En este fantástico libro, a partir de 5 postulados básicos se dedica a explorar el estudio de las propiedades de cuerpos regulares: líneas, planos, círculos, esferas, tríangulos, conos…Toda una orgía de la geometría.

Por si fuera poco, Euclides introdujo un elemento realmente novedoso en la matemática de la época, el método deductivo, aplicado al marco de las organizaciones locales. Para que se entienda ponemos dos grandes y clásicos ejemplos: la geometría del triángulo y la geometría de la circunferencia. Ambos fueron desarrollándose como pequeños universos de conocimiento geométrico. De esta manera fue posible aplicar los resultados que iban siendo establecidos dentro de estos universos particulares a problemas del espacio físico general, ya que la geometría se desarrollaba como una representación y organización del conocimiento sobre el espacio físico.

Pero el motivo fundamental por el que era necesario incorporar el método deductivo a la matemática era la intención filosófica de construir una ciencia teórica cuya meta era el conocimiento de la verdad.

El objetivo del método deductivo era explicar. Explicar era demostrar. Para explicar, en cualquier ciencia, hay que partir de primeros principios. La estructura de una ciencia completa debía ser por tanto un sistema deductivo de enunciados. Esta organización, ya de carácter global, para el caso de la geometría quedó plasmada en los Elementos de Euclides. Allí hay una organización que rebasa ampliamente las organizaciones locales. La intención filosófica de construir una ciencia desde sus primeros principios la podemos hallar en Aristóteles, quien se propuso analizar lo que era una ciencia demostrativa y los elementos que la componen:

• las definiciones, que han de incluir el género y la diferencia específica, es decir, por una parte la clase a la que pertenece el término definido, y por otra las características que lo diferencian de esa clase.
• los primeros principios, que los hay de dos clases: los específicos de cada ciencia, llamados postulados (premisa ni evidente ni probada pero que se acepta como válida y no puede referirse a otro principio) y los comunes a todas, los axiomas (premisa evidente por sí misma que no necesita demostración)
• finalmente, está el cuerpo deductivo, compuesto por las proposiciones demostradas a través de la inferencia, los teoremas (afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal).

Euclides formuló sistemas de enunciados que incluían estos elementos organizados de tal manera que la verdad de los teoremas se seguía de la supuesta verdad de los axiomas.  Hay tres aspectos del ideal de sistematización deductiva. Veámoslos con más detalle.

SISTEMATIZACIÓN DEDUCTIVA

El primero de los tres aspectos necesarios para una sistematización deductiva sería que los axiomas y los teoremas están relacionados deductivamente. En realidad este es el típico caso de haz lo que digo y no lo que hago, ya que Euclides dedujo algunos de sus teoremas apelando a la operación de superponer figuras para establecer su congruencia. Pero en los axiomas no aparece referencia alguna a esta operación de superposición. Por tanto, Euclides “probó” algunos de sus teoremas saliéndose del método axiomático. Aún así, la validez de esta afirmación es irrefutable.

En segundo lugar, los propios axiomas son verdades evidentes. Este requisito fue muy controvertido. Compartido tanto por el ideal deductivo como por la orientación pitagórica. En cambio, los que siguieron la tradición de salvar las apariencias rechazaron el requisito aristotélico de verdad material. Según Simplicio, hablando de astronomía matemática, al astrónomo le corresponde únicamente decidir “cuales son los movimientos circulares, uniformes y perfectamente regulares que conviene tomar como hipótesis a fin de salvar las apariencias presentadas por los planetas”. Basta con que estas hipótesis permitan ordenar los cielos, sin pretender que correspondan a entidades que existen realmente. Es decir, para los seguidores de la tradición de salvar las apariencias presentan una verdad formal de las construcciones de estas operaciones que no tiene por qué ser material. Dicho de otro modo, para “salvar las apariencias” basta con que las consecuencias deductivas de los axiomas estén de acuerdo con las observaciones. El que los axiomas en sí mismos no sean plausibles, o incluso sean falsos, es irrelevante. Este segundo requisito y el tercero que viene a continuación están muy relacionados, ya que de lo que se trata al fin y al cabo es de la correspondencia entre las teorías y la realidad.

El tercer requisito consiste en que los teoremas concuerden con las observaciones. Es decir, el sistema deductivo debe estar en contacto con la realidad. Ciertamente Euclides intentó probar teoremas que tuviesen aplicación práctica. Pero, para estar en contacto con el reino de la experiencia, es necesario que al menos algunos de los términos del sistema deductivo hagan referencia a objetos y relaciones del mundo. Parece que Euclides supuso que términos tales como “punto”, “línea” o “peso” tenían correlatos empíricos. Puede ser que la preocupación de Arquímedes (en esta línea que venimos comentando) por las leyes aplicables a “su palanca ideal” refleje una tradición filosófica en la cual se establece un contraste entre las complejidades inmanejables de los fenómenos y la pureza intemporal de las relaciones formales. Esta tradición se vio a menudo reforzada por la opinión ontológica de que el reino de los fenómenos es, en el mejor de los casos, una “imitación” o “reflejo” del “mundo real”. La responsabilidad principal por la promulgación de éste punto de vista recae sobre Platón y sus intérpretes. Este dualismo tuvo importantes repercusiones en el pensamiento de Galileo y Descartes.

Casi todos los científicos y filósofos posteriores consideran que el segundo y tercer requisito pueden ser discutibles, pero todos coinciden en que el primero es fundamental. No es posible subscribir el ideal deductivo sin aceptar el requisito de que los teoremas estén deductivamente relacionados con los axiomas.

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS

Euclides empleó dos importantes técnicas para probar teoremas a partir de sus axiomas, pero no fue el único, por lo menos Arquímedes también las usó:

• La técnica de reductio ad absurdum. La reducción al absurdo se utiliza para probar que el teorema T es verdad. Y para ello se comienza por asumir justo lo contrario, que T no es verdadero y se deduce a partir de esta negación una posible contradicción en las premisas, de la forma p y no p. De esta forma,  se afirma la necesaria verdad de T en función del principio de no contradicción de los axiomas.
• El método de exhaución, también conocido como el método de demostración por casos. Es una extensión del método de reductio ad absurdum. Consiste en mostrar que cada posible contrario de un teorema tiene consecuencias que son incompatibles con los axiomas del sistema. Es decir, la proposición a ser probada se divide en un número finito de casos, y cada caso es demostrado por separado. Una demostración por casos consta de dos etapas:
  • Una prueba de que los casos son exhaustivos; es decir, que cada instancia de la proposición a ser probada coincide con las condiciones de (al menos) uno de los casos.
  • Una demostración de cada uno de los casos.

Y DESPUÉS DE EUCLIDES…

Al explorar las proposiciones como miembros constitutivos de un sistema axiomático de geometría, el significado mismo de proposición fue evolucionando gradualmente. La proposición ya no era una representación de alguna propiedad del espacio físico, fue perdiendo su valor ontológico, a la par que iba aumentando su aspecto lógico. Este proceso duró varios siglos y tuvo importantes motivaciones.

Principalmente, el Postulado V de Euclides fue un gran motivador. Es el postulado conocido como el postulado de las paralelas, que en su forma simplificada viene a decirnos que dos rectas paralelas son equidistantes. Desde tiempos del propio Euclides, este postulado fue visto como una proposición demasiado complicada como para ser considerada un postulado, ya que carecía de la evidencia en sí que debía caracterizar las proposiciones dignas de tal nombre.

Hasta el siglo XIX, gran parte de la historia de la geometría se centra en la demostración del postulado de marras. De hecho, arrastra consigo la misma evolución del concepto de demostración. Desde el comienzo, fue claro para quienes buscaron tal prueba, que habría que hacerlo dentro del contexto euclidiano y ello comportaba una hipótesis de profundo valor epistemológico: el espacio era euclidiano. La demostración del postulado simplemente haría más ligero el sistema postulacional. No hubo, en general, duda alguna del isomorfismo entre el sistema euclideo y el espacio físico. Hasta comienzos del siglo XIX la idea de lo que constituía una demostración en geometría fue esencialmente la misma que la establecida oficialmente en los Elementos de Euclides. Cuando Newton publica su obra, los Principia, toma como modelo Los Elementos (Euclides fue por lo tanto uno de los gigantes en cuyos hombros estaba subido).  Aunque para su trabajo sobre el cálculo, que se desarrolla mediante el lenguaje del álgebra, sus criterios de legitimación son diferentes.

Pero durante el siglo XIX las cosas cambiaron drásticamente. Entonces, la metodología de la geometría fue adoptada por el álgebra y el análisis. La geometría misma sufrió cambios radicales a través de la obra Fundamentos de Geometría de D. Hilbert, que reformuló la geometría de Euclides de forma más próxima al ideal deductivo.

En los Elementos, los axiomas son verdades evidentes por lo cual no necesitan de una demostración que los justifique como tales. En consecuencia, lo que podamos deducir de ellos, tendrá también el carácter de verdad que tienen los axiomas. En cambio, en el trabajo de Hilbert, no se tiene en cuenta el carácter de verdad de los axiomas; lo fundamental es que el conjunto de axiomas sea consistente. Es decir, que los axiomas no se contradigan entre sí. Los resultados que se deduzcan de los axiomas, tendrán el carácter de deducciones pero no un valor asociado de verdad. Un pequeño paso desde Euclides, un gran salto para la Ciencia.

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