Bueno, hace ya bastante tiempo que no escribimos sobre el tema de la entropía de agujeros negros en Loop Quantum Gravity y ya va siendo hora de finiquitar el tema (por decir algo).
Sería muy recomendable empezar a leer:
Recopilación sobre agujeros negros
No es imprescindible, voy a intentar resumir aquí los elementos básicos para poder entender esta entrada sin recurrir a las anteriores y a las allí citadas. Pero si alguien quiere profundizar pues genial…
(Meteremos comentarios más técnicos en rojo que podrán ser evitados sin pérdida de continuidad)
¿Loop quantum gravity?
La LQG es un intento de encontrar la versión cuántica de las fórmulas de Einstein para la relatividad general. Ni más, ni menos.
No es una teoría unificadora en su idea original. No pretende describir universos de más de cuatro dimensiones, ni las necesita. No pretende introducir supersimetría, ni la necesita, etc…
Así que para empezar hay que dejar claro una cosa:
«LQG no es competencia para la teoría de supercuerdas»
Mucha gente, tanto de LQG como de cuerdas, pretende hacer una guerra entre las dos teorías, básicamente entre los que trabajan en ellas. Eso es simplemente absurdo, en realidad un análisis detallado de ambas teorías mostraría que los problemas a los que se enfrentan son básicamente los mismos y muchos resultados están convergiendo…
Así que, grosso modo, LQG es un intento de encontrar una imagen cuántica del espaciotiempo y su geometría.
Ni mucho menos LQG es una teoría acabada o completa. Quedan muchos problemas por resolver que sólo han sido parcialmente entendidos desde su origen hace 26 años. Así que habrá que ver si ha valido la pena invertir tiempo en esta teoría cuando se tenga una forma final que pueda decir algo que podamos comprobar observacionalmente.
Espaciotiempo a la loop
En la situación actual, el espaciotiempo para LQG es una amalgama de cosas llamadas spin-networks. Es decir, que lo que entendemos por espaciotiempo sería una combinación de estos bichos:
Un spin-network es una función de onda cuántica que toma valores sobre un grafo como el del dibujo. En las líneas del grafo hay unos números semienteros que contienen información sobre el valor del área que tendría una superficie imaginaria intersectada por ese lado, el área sería:
Donde j es el valor del número asociado a un lado dado del spin-network considerado. Si la superficie es pinchada por más lados el área será la suma de cada contribución individual con los diferentes valores de j. 
La LQG se basa en transcribir la información de la métrica a una conexión tipo SU(2) al estilo de las teorías de Yang-Mills. El espacio de fases cinemático de la LQG coincide con el de las teorías gauge sobre el que hay que implementar ciertas ligaduras específicas de la relatividad general.
En LQG luego hemos de elegir la polarización del espacio de Hilbert cinemático de forma que tenemos las holonomías de la conexión como variables de configuración y los momentos asociados son los flujos de la tríada densitizada. Este tratamiento tiene un paralelismo con los Wilson Loops de las teorías gauge (especialmente en los tratamientos no perturbativos).
El álgebra canónica de holonomías y flujos conduce a una cuantización que es única y eso se expresa en el teorema LOST (Lewandowski-Okowlov-Sahlmann-Thiemann). Así LQG tiene solidez desde el punto de vista cinemático pero falta introducir una dinámica consistente en la teoría que te seleccione los estados físicos de gravedad cuántica.
En mi opinión lo mejor de LQG no es que vaya a resolver el problema de la gravedad cuántica, que podría ser, sino que proporciona una forma de hacer teoría cuántica de campos (con grados de libertad locales) sin una métrica prefijada. Es un paso más allá de lo que hacen las teorías topológicas de campos.
Un horizonte de agujero negro a la loop
La imagen que tenemos de un horizonte (esférico, pero puede ser más general) de un agujero negro en LQG es el de una superficie de la que dentro no sabemos lo que hay (por aquello de que para un observador externo el horizonte supone una frontera a lo que puede conocer ya que no hay ninguna señal que escape del interior del agujero) que está pinchada por un spin-network. Así que cada lado que pincha produce una cosa llamada «punción» que tiene la j asociada al lado que la produce y eso le induce un área. La imagen sería tal que así:
Cada lado del spin-network que pincha el horizonte tiene una j asociada. Eso dota de área a dicha punción. Y el área total del agujero está dada por la suma de las distintas contribuciones.
¿Cómo se calcula la entropía del horizonte?
Pues si tenemos un horizonte de área 
Dado que la entropía es justo el número de estados cuánticos que dan lugar a un estado macroscópico, al hacer esa combinatoria estamos contando la entropía del agujero.
La crítica típica:
Mucha gente dice que LQG obtenga una entropía proporcional al área:
no es una sorpresa porque desde el inicio aquí sólo se introduce el área del horizonte como cantidad más importante.
Esto no es cierto, que obtengamos una dependencia de la entropía del agujero con el área es debido a las condiciones que impone la teoría. Esencialmente al juego de contar cuantas combinaciones de j’s podemos tener sobre un conjunto N de punciones para dar lugar al área del horizonte. De hecho, si uno hace la combinatoria natural a este problema sin atender a dichas condiciones lo que obtiene es algo como:
Así que el hecho de que LQG obtenga una dependencia lineal con el área del horizonte para la entropía no es un resultado trivial.
Lo que hay de verdad:
En realidad lo que ocurre es que las punciones del spin-network sobre el horizonte son fuentes (defectos topológicos) de una teoría de Chern-Simons sobre la esfera. La entropía corresponde a la dimensión del espacio de Hilbert de esta teoría. Este problema fue estudiado por Witten y llegó a la conclusión de que el espacio de Hilbert de una Chern-Simons con punciones en una esfera tenía la misma dimensión que los bloques conformes de una CFT, esencialmente una teoría Wess-Zumino-Witten.
Así que podemos decir que en LQG tenemos un ejemplo magnífico de relación Gauge/teoría topológica.
¿Qué pasa con el parámetro de Barbero-Immirzi?
En la formulación de la relatividad general con una acción basada en conexiones aparece un término topológico (el término de Holts). Este término va acompañado de un parámetro libre identificado por Barbero y por Immirzi. El papel de este parámetro es muy parecido al del parámetro 
Desde el punto de vista clásico esto no tiene ninguna importancia porque las ecuaciones del movimiento son insensibles al valor del parámetro. Pero cuánticamente esto es esencial ya que aparece en la expresión de los autovalores de los operadores geométricos como el área. Pero no hay forma en la teoría, aún, de fijar el valor de este parámetro. Así que lo que se obtiene en el conteo de entropía en LQG es esta relación:
Donde 
¿Cómo puedes estudiar la entropía si en tu teoría no hay dinámica?
Esencialmente porque la dinámica no tiene influencia en la entropía del agujero. Los grados de libertad son intrínsecos al mismo. Además trabajamos con horizontes aislados, es decir, que sólo exigimos que no haya entrada de material al agujero independientemente de lo que pase en todo el espacio exterior.
De hecho, se puede ver como la función lapso se anula en el horizonte por lo que el Hamiltoniano de la RG no tiene nada que decir sobre el mismo.
Pero esto no es sorprendente, en la derivación de la radiación de Hawking tampoco hace falta conocer la dinámica del problema ya que se limita a una comparación cinemática entre los vacíos de varios observadores. Otra cosa es que quieras estudiar como se propaga la radiación en ese espaciotiempo en concreto, entonces la cosa en LQG no está todavía clara aunque se está avanzando mucho.
La obtención de este resultado es importante porque cualquier propuesta de gravedad cuántica tiene que recuperarlo. El problema es que todas lo hacen, por lo tanto no puede ser tomado como un test de la veracidad de la teoría sino más bien como una indicación de que se va por el buen camino.
Espero haber motivado un poco más el tema este y haber aclarado algunas cuestiones que preocupan a mucha gente. Sólo hay que tener en cuenta que puede que todo esto sea totalmente erróneo… pero había que intentarlo.
Continuaremos en otra ocasión con las nuevas propuestas y las posibles aplicaciones (sorprendentes) de esto. Sólo decir que hoy día parece que no hay que fijar el valor del parámetro para recuperar la ley de la entropía correcta.
Nos seguimos leyendo…
Cuentos Cuánticos 
Hay una cosa básica que parece escaparse del concepto:
Un AN, no es una superficie, sino que está determinado por el observador. Así lo que para un observador en el infinito, sería un AN, para otro observador en órbita, no sería un AN.
Me explico: Al igual que una piedra, el fotón pierde su energía, (en el caso de la piedra, vemos que pierde velocidad, aunque en el fotón no), pero la pérdida de energía nos resulta semejante. La realidad, es que, si tiro en la superficie de la Tierra, una piedra para arriba, esta llegará a cierta distancia, así si no tenga la velocidad de escape, volverá. Pero si tiene menos me alcanzará a mi en orbita, aunque no tenga velocidad para el escape.
Igualmente la luz en un cuerpo masivo, si estoy en órbita, me alcanzará, degradado (el fotón), pero no alcanzará a escapar hasta el infinito.
Nada de eso tiene sentido… Gracias por el comentario.
Cuentos cuánticos, eso que dices de que si uno hace la combinatoria natural, sin atender a las condiciones impuestas por la LQG, entonces la entropía obtenida no dependería linealmente de área del agujero negro, ¿de qué artículo lo has sacado?.
Eso lo he sacado de un cálculo que se puede hacer fácilmente. Pero creo que hay artículos que comentan eso… los tendré que buscar. Creo que es de Kriplovich… los busco y mañana te digo algo al respecto.
¿Te puedo preguntar que expliques un poco más o des alguna referencia del tema este de la teoría de Chern-Simons con punciones?
Otra cosa. ¿Se ha aplicado el formalismo de LQG a teorías topológicas de tipo Witten (cohomológicas me refiero, donde hay métrica pero los observables no dependen de ella)? ¿Quedaría algo trivial o no?
Penúltima cosa. Escuché que hace unos días E. Bianchi sacó un paper que calcula el area del horizonte y da lo que tiene que dar sin parámetros delante. ¿Resuelve esto el problema o no?
Última cosa. Hace algo más de un mes estuvo Carlo Rovelli por el Perimeter Institute y dio un curso corto de Quantum gravity que debe de ser una intro a LQG. Puede estar interesante: http://pirsa.org/index.php?p=speaker&name=Carlo_Rovelli
La teoría de Chern-Simons sobre el horizonte aparece por lo siguiente:
Nosotros partimos de una acción de Palatini (primer orden) usando las variables de Ashtekar. Pero si metemos una frontera interna (el horizonte) el problema variacional no está bien definido. Así el término de frontera que hace que podamos definir la forma simpléctica (o la acción) es justamente la acción de una teoría de Chern-Simons, donde el nivel de la teoría depende del área del agujero.
Una teoría de Chern-Simons sobre una esfera sin defectos es una teoría trivial, es decir, las ecuaciones de movimiento son F=0 donde F es la 2-forma de curvatura de la conexión, por lo tanto las soluciones son conexiones planas.
En cuanto metes defectos (que actúan como fuentes) la dinámica es distinta y tenemos que
donde T son los generadores del grupo gauge que estés empleando (estoy omitiendo índices y epsilons).
En loop quantum gravity el asunto es que las condiciones de frontera imponen que:
y 
está relacionado con los generadores del grupo gauge (son las densidades tríadas). Es decir, tenemos justamente las ecuaciones de movimiento de una teoría de Chern-Simons con defectos topológicos sobre una esfera. Lo que hay que contar son los estados cuánticos de esta teoría que en cierto sentido están inducidos por lo que pasa en el exterior (la parte de la derecha de la curvatura en la última ecuación de la misma.
La fuente más recomendable es esta:
Haz clic para acceder a 0005126v1.pdf
LQG se ha aplicado a teorías BF y teorías de CS. No sé si alguien ha mirado las teorías cohomológicas de Witten, lo miraré.
Lo que ha hecho Bianchi es rederivar en el formalismo de spin foams un resultado de Perez y Ghosh donde no hay que fijar el parámetro. Pero yo no las tengo todas conmigo porque yo creo que lo esconden en otro sitio.
Gracias por el enlace de Rovelli.
Gracias por la respuesta. Me quedaré con la idea de tu explicación y ya si eso en el futuro remoto miraré el paper :).
A todo esto, CS aparece por todos los rincones. (Salvo en dimensiones pares claro).