Curiosamente hoy ha saltado la noticia de que han demostrado la existencia de un ser superior usando el teorema de Gödel. Ahora vendría un enlace, pero vamos que para lo que hay que leer mejor lo buscáis vosotros mismos.
Es curioso porque en un comentario a la entrada:
Diseña tu teoría física — Crash Course
Ya ha salido el susodicho teorema para concluir que las mates y la física son incompletas y por lo tanto no podemos confiar en ellas.
Esa conclusión, partiendo del magnífico trabajo de Kurt Gödel, es tan acertada como atribuirle al Quijote la expresión:
Cosas veredes, Sancho.
Pues sí amigos, cosas veredes.
En esta entrada vamos a intentar dar unas pinceladas sobre el teorema de Gödel y sobre sus magnífica y populares malinterpretaciones.
El amigo Kurt la lío parda
¿Qué dijo Gödel?
¿Terminó con la utilidad de las matemáticas?
¿Las sentenció a muerte?
¿Todas las ciencias que dependan de las matemáticas están abocadas al fracaso?
Pues no, tranquilos, este hombre lo que hizo fue estudiar la matemática desde el punto de vista de su fundamento lógico. Desnudó a la matemática de todo significado y estudió las condiciones en las que la matemática se desarrollaba. Y su trabajo fue fundamental para entender la base de la matemática y deliciosamente inútil respecto al trabajo diario de un matemático. Así de simple y así de hermoso.
Sin embargo, sus resultados pueden que sean de los más empleados en discusiones ajenas a la matemática, casi siempre fuera de todo el contexto en el que sus teoremas tenían significado. Los teoremas de incompletitud de Gödel, se han pervertido hasta límites insospechados. Y generalmente, todo parecido con la realidad es pura coincidencia.
¿Qué es la matemática?
La matemática no es más que una serie de afirmaciones que se prueban ciertas o falsas en términos de unas afirmaciones previas siguiendo unas reglas establecidas, partiendo de unas afirmaciones iniciales que tomamos como ciertas porque sí.
Es decir, en matemática trabajamos con:
1.- Definimos unos objetos.
Números, vectores, funciones, conjuntos… llámalo X.
2.- Definimos unas afirmaciones que tomamos como ciertas.
A esto lo llamamos: AXIOMAS.
3.- Definimos unas relgas para manipular los objetos que hemos definido anteriormente.
4.- Haciendo uso de los objetos, las reglas definidas y los axiomas nos planteamos si una determinada afirmación que involucra dichos objetos es cierta o no dentro de este esquema.
Estas afirmaciones que se prueban como verdaderas dentro de este sistema los llamamos: TEOREMAS.
Y ESTOS TEOREMAS SON VERDAD ÚNICAMENTE DENTRO DEL ESQUEMA EN EL QUE SE HAN PROBADO COMO CIERTOS.
Al conjunto de puntos del 1 al 4 lo podemos llamar: SISTEMA FORMAL.
Por ejemplo, si yo digo:
Los ángulos de un triángulo suman 180º
Esto es verdad en la geometría Euclídea.
Pero en una esfera, donde los axiomas de la geometría son diferentes a los de la geometría euclídea, esto no es cierto.
Aquí ya no estamos en la geometría euclídea sino en la geometría no-eclídea.
Por lo tanto, una cosa puede ser cierta en un sistema formal y falsa en otro.
Incompletitud
El caso es que Gödel dijo que en un sistema formal cerrado se podría dar el caso de poder formar una afirmación dentro de la que no podríamos decidir si era cierta o falsa.
En general, solemos pensar que si una afirmación no es cierta su negación sí lo es:
– Es falso que sea de noche, entonces es cierto que sea de día.
– Es cierto que llueve, entonces es falso que «no llueve».
Sin embargo, en determinados sistemas formales no podemos probar que una afirmación o su negación sean ciertas o falsas dentro de dicho sistema. Es decir, hay afirmaciones indecidibles. Si encontramos una afirmación de este tipo en un sistema formal se dice que este es INCOMPLETO.
Claro, entonces como la matemática es un sistema formal esto implica que la matemática en incompleta y por tanto habrá cosas que no podamos demotrar.
FALSO.
Esta es la conclusión simplona que nos quieren vender del teorema de Gödel.
Gödel trabajó con la aritmética, y dijo que si esta era consistente, es decir, libre de contradicciones (que una afirmación y su negación fueran ciertas dentro de ella) entonces debería de ser incompleta (exitirían afirmaciones indecidibles).
¿La matemática está condenada?
Pues no
.
¿Por qué?
Porque como el mismo Gödel demostró también existen sistemas formales completos. Todas las afirmaciones dentro de dicho sistema serán decidibles.
Un ejemplo es el sistema de los números reales.
Y es curioso, porque los reales contienen a la aritmética de los naturales que no es completa.
El truco está en que nada nos prohibe ampliar nuestro sistema formal, añadiendo nuevos axiomas, cambiando totalmente el conjunto de objetos, reglas y axiomas matemáticos o cualquier variante que se nos ocurra.
Así pues los matemáticos pueden trabajar tranquilos que si un teorema no se puede probar en una determinada rama de las matemáticas seguro que pueden recurrir a otra.
Valga como ejemplo que el señor Wiles demostró el último teorema de Fermat:
(que parece que es una relación entre números, y que con «aritmética» no se ha sabido demostrar. Es decir, no sabemos si es decidible o no en ese contexo. Gracias a la aclaración del amigo @Zifra.)
utilizando curvas elípticas:
Entonces la física…
Entonces la física, nada. Es cierto que la física usa las matemáticas para expresar sus ideas y las teorías. Pero también es cierto que no está constreñida a usar aritmética.
Por tanto cuando nos dicen:
La física no puede probarlo todo por el teorema de Gödel.
Están cometiendo dos errores:
1.- La física no es un sistema formal cerrado.
2.- En física hay alguien que decide lo que es verdadero o falso en última instancia: EL EXPERIMENTO.
Aquí ahora podríamos discutir sobre si tendremos una teoría del todo, si esta teoría tendrá un conjunto de axiomas finitos y si estos son análogos a los de la aritmética. Entonces, podríamos discutir más en profundidad.
Por el momento hay que evitar confundir física con los modelos teóricos de la física y no hay que olvidar que es una ciencia experimental donde al final, la verdad o falsedad de un modelo se determina con observaciones y medidas.
Para ampliar
Si te interesa el tema:
Aquí intentaremos convencer a alguien que sabe más que yo del tema, mucho más que yo, para que explique el teorema. Sí, va por ti, @twalmar.
Y mientras tanto os dejo un libro muy interesante y muy esclarecedor:
Gödel’s Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse
Nos seguimos leyendo…
CORRECCIONES
En esta entrada no pretendía entrar en profundidades sobre el teorema. En ningún momento he intentado dar una demostración del mismo y ni tan siquiera lo he formulado. Sin embargo, dado que el nivel de los lectores es elevado, cosa que me alegra y mucho, han detectado varias afirmaciones groseras que pueden llevar a equívocos.
En concreto, he afirmado que los reales forman un sistema completo y libre de contradicciones. Esta afirmación es capciosa y realmente grosera.
En el siguiente enlace hay una aclaración mucho mejor que la que yo puedo hacer sobre el tema. La aclaración viene ni más ni menos que de Carlos Ivorra, profesor de matemáticas en la universidad de Valencia, un grandísimo profesor. Es muy conocido por sus libros, de libre acceso, sobre muchos campos de la matemática:
Y aquí su corrección a algunas cosas que he afirmado sin aportar enlaces o referencias:
Espero que ahora tenga un poco más de sentido lo dicho y siento haber sido tan vago en ciertos puntos de esta entrada.
Cuentos Cuánticos 
Mucho cuidado con lo que dices. En el momento en que tu sistema formal de primer orden incluya a la aritmética (es decir, los axiomas de Peano) entonces la has fastidiado. Tu sistema ya no será consistente y completo.
Por ejemplo R es completo y decidible, pero con unos axiomas a partir de los cuales no puedes definir ni los números enteros ni los complejos. Te recomiendo
http://math.stackexchange.com/questions/362837/are-real-numbers-axioms-a-consistent-or-complete-system
http://math.stackexchange.com/questions/16665/why-is-peano-arithmetic-undecidable
La cuestión es muy compleja y muchos matemáticos que aceptan las demostraciones por inducción (implican la aceptación de los axiomas de Peano)
LA DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE DIOS-GODEL NO NOS LLEV A NINGUN SITIO PORQUE LA VERDAD CONTINGENTE NO ES NADA SOLO LA VERDAD NECESARIA .LOS PRINCIPIOS INTELIGENTES DE LA NATURALEZA EXISTEN¡¡¡ SI LA NATURURALEZA ESTA YA UNIFICADA.VEA POR GOOGLE LA TERCERA PARTE DE LAS FALACIAS DE KURT GODEL DONDE ESTAN LOS CODIGOS NUMERICOS DE LOS PRINCIPIOS INTELIGENTES DE LA NATURALEZA Y LA LEY SUPREMA QUE LOS DIRIGE VELADA POR CAUSA DEL HIPNOTISMO COLECTIVO PLANETARIO QUE SE ARRASTRA DESDE LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS DEL SIGLOXX.(PERDON POR NATURALEZA)
.¿ESTA ENTRADA NO ES DEMOSTRABLE?…¿ESTAMOS EN EL DESALIENTO DE UN MUMDO DE CONFUSION?LOS CREYENTES DICEN QUE SI EL DE-MO-NIO¡¡LOS LAICOS HIPNOTISMO COLECTIVO.CREO EN AMBOS
LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES ¡SON¡ O NO SON¡
TODA ENTRADA DE WEB O DE LO QUE TU QUIERAS TIENE UNOS FUNDAMENTOS IRRENUNCIABLE S DE LO-GI-CA NATURAL
NIVELES DE REALIDAD DIFERENCIADO SON LOS NUMEROS EN ARITMETICA POR EJEMPLO LAS 100 OVEJAS DE UN CORRAL DE 100 OVEJAS POR LO TANTO
PRIMERO-EL CONCEPTO SUPERIOR A VERDAD MENTIRA ES EL CONCEPTO EXISTENCIA REALIDAD EN SUS DIFERENTES NIVELES
SEGUNDO-UN A ENTRADA DE WEB ¡EXISTE¡ SI LA ESTAMOS VIENDO Y
TERCERO-`POR LO TANTO LA ENTRADA QUE ESTAMOS VIENDO ES E-XISTENCIA REALIDAD VERDAD …
CUARTO-EL CONCEPTO DEMOSTRABLE NO DEMOSTRABLE ES EN ESTE CASO GENERICO(NO ESPECIFICA)
QUINTO-EL CONCEPTO DEMOSTRABLE ESTA ¡SU-BOR-DI-NA-DO¡ AL CONCEPTO DE REALIDAD VERDAD …ES ¡OBVIO¡
POR LO TANTO DECIR GENERICAMENTE QUE UNA ENTRADA NO ¡ES¡¡¡ DEMOSTRABLE ES UN FALSO ENUNCIADO INDECIDIBLE¡¡¡¡…ES FALSO PORQUE LA ENTRADA ES VISIBLE A NUESTROS OJOS Y TIENE UN NIVEL CLARO DE REALIDAD VERDAD Y TAMBIEN DE DEMOSTRABILIDAD YA QUE EL CONCEPTO DEMOSTRABLE NO DEMOSTRABLE ES UN CONCEPTO DERIVADO DE LOS FUNDAMENTALES Y ESTO ES JERARQUIA SIMPLE¡¡¡PERO EN UN PLANETA CONFUSO ‘NO¡
COMO ME DIJO UN LAMA HAY VERDADES QUE SON DE NIÑOS PERO…EN UN PLANETA EN CONFUSION NO SE VEN VEAN POR GOOGLE LAS FALACIAS DE KURT GODEL DONDE SE EXPLICA LA SENCILLA LEY DE POLARIDADES ANTAGONICAS QUE ALGERGA EN FORMA NATURAL LA EXISTENCIA POSITIVA Y LA EXISTENCIA NEGATIVA QUE LO ENGLOBA TODO Y DONDE APLICANDO LA LOGICA DE JERARQUIZACION CAUSAL SE ELIMINAN MUCHOS FAL-SOS¡¡¡ ENUNCIADOS¡¡¡IN-CE-CI-DI-BLES
EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE KURT GODEL ES COMPLETAMENTE FALSO.VEAN POR GOOGLE LAS FALACIAS DE KURT GODEL.UN SALUDO
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El libro más interesante, didáctico, breve pero intenso, sobre el lado filosófico de toda la obra de Gödel es, en mi opinión, On Gödel (Jaakko Hintikka). Entre otras cosas, sirve para clarificar los varios sentidos que la expresión ‘completo’ puede tener en este contexto. Sólo en inglés; hay versiones en internet pero no se si es norma de la casa dar acceso a archivos de este tipo. Para adentrarse en estas cosas de forma menos doctrinal y ejerciendo pensamiento, es un lugar común apelar a los libros de divulgación de Smullyan, pero hay que decir que Smullyan es también autor de obras técnicas muy importantes (‘Gödel’s incompleteness theorems’, en las Oxofrd Logic Guides).
Que hay uses y abuses del teorema de Gödel es cierto, pero no lo es menos que entre lo que se cita como abuses están cosas que escribió el propio Gödel, así que la cuestión no se puede despachar como usos con conocimiento de causa y abusos por desconocimiento. Aprovecho la ocasión para decir que aunque pienso que en sus últimas conclusiones Penrose empuja el balón con la mano, la interpretación que hace del teorema de Gödel no es tan desatinada como suelen decir los hinchas de la Inteligencia Artificial.
http://books.google.es/books/about/On_G%C3%B6del.html?id=sb_aAAAAMAAJ
¿Puedes comentar un poco más tu opinión sobre la relación, Gödel-Penrose-IA ?
Hay dos grandes obras de alta divulgación sobre este tema: ‘Las sombras de la mente’ de Penrose y ‘Gödel, Escher, Bach’ de Hofstadter. Ambas obras mantienen puntos de vista diferentes, y valen más por las ideas que suscitan que por la firmeza de sus conclusiones. Si se busca guerra, creo que es mejor ir a ‘Las sombras de la mente’ que a ‘La nueva mente del emperador’ porque Penrose se expresa, si no con más claridad, con más detenimiento. La conclusión de Hofstadter parece más razonable -se remite a la investigación empírica para resolver la cuestión empírica de la validez de la IA, mientras que Penrose, en lo referido al asunto, apela a un argumento a priori que es relevante para la cuestión empírica sólo gracias a argumentos tortuosos-.
Francis Crick, en ‘La búsqueda científica del alma’, resumía con mucho gracejo el punto de vista de Penrose: «Roger Penrose es un distinguido matemático y físico teórico. Según su libro La nueva mente del emperador, cree que el cerebro puede ejecutar procesos que no podría llevar a cabo ninguna máquina de Turing. Considera incompleta la física porque no tiene todavía una teoría sobre la gravitación cuántica. Penrose confía en que una teoría adecuada de la gravitación cuántica explique el misterio de la consciencia, pero es impreciso, cosa poco frecuente en él, al hablar de cómo podría ser. En el fondo de su argumentación se encuentra su idea de que la gravitación cuántica es misteriosa, como misteriosa es la consciencia, y que qué bonito sería que la una explicase a la otra. Buena parte del libro trata de las máquinas de Turing, el teorema de Gödel, la teoría cuántica y la flecha del tiempo, temas todos ellos explicados al detalle y con gran claridad. Poco hay de las propiedades del cerebro, pero tampoco nada prácticamente de psicología. Penrose es un platónico, punto de vista que no es del agrado de todos. Sería muy notable que su idea resultase ser cierta». En efecto, la parte positiva del punto de vista de Penrose es que hay una física alternativa que serviría (también) para explicar la conciencia. Yo creo que a Penrose le interesa más la física alternativa («no computable») que la explicación de la conciencia, pero se puso a polemizar sobre estos temas con su argumento negativo porque podía llamar más la atención del público sobre lo que a él realmente le interesa; como decía Vladimir Arnold, la parte matemática de la ciencia no es de fácil comprensión por el público, y los científicos han tenido que envolverla en un poco de filosofía. En el caso de Penrose, yo que soy de letras entiendo el envoltorio, pero lo que es una física no computable no lo acabo de entender.
La física no computable, todo aquello que reside más allá (?) de la frontera que Gödel descubrió, por mucho que nos cueste digerirlo (como, especialmente, parece ser el caso del autor de este blog) no la entiende nadie en el mundo; nadie; ni los de letras, como es tu caso, ni los de ciencias. Es muy duro. Lo sé. Penrose y Hofstadter cada uno de un modo diferente escenifican ese límite. Lo realmente brillante fue lo del cachondo de Kurt: con su teorema sentenció a los matemáticos y, por extensión, a otras muchas disciplinas a las que la matemática puede explicar de forma paralela. Es un bucle, no tiene más secreto y (al mismo tiempo) tiene todo el secreto que le queramos poner. Si queremos ser totalmente honestos, aunque ello implique dar cobijo a las hordas de magufos, debemos reconocer, del mismo modo que Gödel reconició no sin divertirse como un niño con zapatos nuevos, que la solución al problema puede estar incluso fuera del propio cerebro. Yo durante mucho tiempo pensé que la clave radica en el sistema nervioso… pero ya me han hecho dudar.
Más información sobre el tema: «Desmontan la teoría informática que ‘demuestra’ la existencia de Dios»
http://www.elconfidencial.com/tecnologia/2013-10-30/desmontan-la-teoria-informatica-que-demuestra-la-existencia-de-dios_47827/
Mira te dejo por aquí algo relativo al error al que me refiero:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70974.0;topicseen
Saludos
¿Por qué afirmas que R es completo -en el sentido de la lógica? Hay un sistema isomorfo en R de los naturales, lo que implica que si R es completo lo es el sistema isomorfo a los naturales, ergo lo son los naturales también. Además en R también hay afirmaciones indecidibles.
Sin embargo, buscaré un poco más y te confirmo con más fuentes.
Que sepa, R es completo en el sentido topológico.
Pero, y lo mismo estoy metiendo la pata, N no es completo en el sentido de que las operaciones definidas no se mantienen dentro de N siempre. Por ejemplo, 1-2 no pertenece a los naturales, sino a los enteros (o a R, claro). Pueden ir por ahi los tiros??
P.D.:teclado extranjero, no tildes 😀
Por eso, de una manera coloquial, siempre explico que las matemáticas son un lenguaje que sirve o nos ayuda a expresar los fenómenos naturales.
Hay personas, principalmente los fundamentalistas científicos (no me refiero ni a la ciencia en general, ni a los verdaderos científicos), que suelen usar mucho frase como «¡está comprobado matemáticamente y las matemáticas no se equivocan!». Estos fundamentalistas científicos son presa de los fundamentalistas religiosos o fanáticos de cualquier secta.
Las matemáticas no comprueban nada y todo aquel que ha usado las matemáticas sabe que una variable que falte va a arrojar resultados falsos.
Cualquier fanático que se me acerca y trata de refutarme usando las «falasias de la ciencia», lo confronto de esa forma: las matemáticas son un medio, la ciencia es un medio, para qué, pues para llegar a la verdad; de la misma forma en que tu libro es un medio, el libro de los fanáticos, para llegar a un fin; cuando les digo que hay gente que ha matado por la fe, entonces me dicen que es gente que no comprende el mensaje del libro. También hay gente que no comprende el mensaje de la ciencia.
¿Por qué los números naturales son incompletos?
Deberías nombrar algo sobre la condición de recursividad de la teoría, pues es clave en todo este asunto
Interesante artículo, solo puedo añadir que Gödel nos confirmó que nuestro conocimiento está limitado al lenguaje. Un saludo.
La matemática es una inmensa tautología maravillosa. Lo que hizo Gödel es usar el truco de la autorreferencia, que traducido al lenguaje natural sería algo así como: ¿Vas a responder no a esta pregunta? Y ahí la tautología matemática normal no sirve…
Saludos
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Cuánto daño hizo GÖdel…. Si no,que se lo digan a Hilbert!
Pero si definimos la unidad imaginaria, igual llegamos a situaciones “raras”, ¿no?A ver si no me equivoco…:
1=e^(2*PI*i)
e=e^(1+2*PI*i)
e=(e^(1+2*PI*i))^(1+2*PI*i)
e=e^(1-4*PI+4*PI*i)
e=e^(1-4*PI)*e^(4*PI*i)
e=e^(1-4*PI) … lo cual no es cierto.
Algo falta para que pueda resolver este interrogante 🙂
esto era en respuesta a Ignacio…
Dos cosas:
1.- (1+2*PI*i)*(1+2*PI*i) no vale (1-4*PI+4*PI*i). Vale (1-4*PI^2+4*PI*i).
2.- Con las exponenciales de números complejos hay que ir con cuidado. Concretamente, se define a^z = e^(z*log a), donde log a es el logaritmo complejo.
Las exponenciales deben de manejarse con cuidado cuando hay complejos de por medio. Concretamente, hay que tener muy cuenta que la exponencial compleja es periódica, y ello hace que el logaritmo periódico sea multivaluado. Hay que tener eso muy presente para no caer en falacias lógicas como la que propones.
Disculpas, quería decir que el logaritmo COMPLEJO es multivaluado.
Gracias, al escribirlo se me escapó el cuadrado sobre el Pi, que había que arrastrar a continuación. Esto me pasa por no escribirlo primero en papel (y por no escribir fórmulas desde hace 13 años…) 🙂
En efecto, la trampa está donde mencionas. Aplicando la definición que comentas y dado que el logaritmo complejo es multivaluado y que para manejarse con cuidado hay que tomar el valor principal, que sería aquel cuya parte imaginaria cae entre -PI y PI, se evitaría caer en la falacia lógica.
Muy buena entrada, de hecho estoy muy de acuerdo con el análisis físico del planteamiento. Sin embargo, desde el punto de vista matemático no estoy del todo de acuerdo.
No soy ningún experto en el tema pero en mi opinión es incorrecto definir al conjunto de los números reales como un conjunto cerrado ya que hay interrogantes con variables reales sin respuesta en este conjunto (como la famosa ecuación (x^2)+1=0). Precisamente para completar este conjunto se define axiomaticamente la unidad imaginaria ( i = raíz de menos uno) generando el conjunto de los números complejos que, si no me equivoco ya puede definirse como un conjunto completo con respuesta a cualquier interrogante que ademas contiene al de los reales.
Un saludo, Ignacio
La cosa es un poco delicada. Lo que se puede probar es que la teoría de los cuerpos cerrados de los reales está libre de contradicciones y es completa, al menos en la lógica de primer orden.
Como ves la afirmación no es nada trivial y merecería una entrada completa para explicar qué significa eso. Pero de forma elemental podemos decir que podemos dar un conjunto de axiomas en los que toda afirmación de la teoría se puede probar verdadera o falsa.
El caso que tu has puesto está excluído ya que no es algo que podamos definir en dicha teoría. Pero es un buen ejemplo de que los sistemas formales en matemáticas no son cerrados. Cada vez podemos ir ampliando las cosas para dar cabida a nuevos hechos o exigencias.
Que sea cerrado en lógica no es lo mismo que ser cerrado algebráicamente que es el caso que tú has propuesto.
Un saludo.