Como vimos en la entrada “Detallitos sobre agujeros negros ¿Frío o caliente?” los agujeros negros son cosas apasionantes y una de las características más sorprendentes es que tienen entropía. Pero esto no deja de ser un problema como ya se puso de manifiesto en la entrada mencionada a la hora de hablar de la violación del segundo principio de la termodinámica.
En esta entrada nos queremos centrar justamente en este problema, yendo más al detalle de cómo se puede solventar este problema. La solución es imponer unas cotas a la entropía que pueden tener los agujeros negros. Y en esta entrada queremos revisar las cotas que hemos de imponer a los sistemas de materia para no violar el segundo principio de la termodinámica. Además descubriremos una sorpresa más… esto va de hologramas.
Recapitulando:
En esta parte refrescaremos la memoria sobre algunos detalles sobre agujeros negros que ya fueron explicados en la entrada mencionada “Detallitos sobre agujeros negros ¿Frío o caliente?”
- Tenemos el teorema del área que establece que el área del horizonte nunca puede decrecer. Por lo tanto si A es el área del horizonte cualquier variación de dicha área será positiva o nula:
– Recordemos que el área de un agujero negro viene determinada por su masa:
- Este comportamiento del área del horizonte es lo que motiva la analogía con la entropía.
Pero si tienen entropía tenemos un problema…
Si un agujero negro de verdad tiene entropía tenemos un problema sobre la mesa.
Si tiramos un sistema masa m con mucha entropía dentro del agujero (imaginemos que sin carga ni rotación) lo único que hará será aumentar su masa en la cantidad de la masa del sistema. Pero esto nos lleva a preguntar: ¿Ha desaparecido la entropía?
La respuesta es no, no ha desaparecido. ¿Por qué? Porque se puede demostrar que la entropía (S) del agujero negro está relacionada con el área de su horizonte:
Pero el área está relacionada con su masa, y si aumenta la masa aumenta el área y por lo tanto aumenta la entropía. No ha desparecido. Fantástico, 😉
Por lo tanto, en el universo la entropía total no decrece, pero hemos de sumar la entropía del agujero y la entropía de la materia/energía externa:
A esto se le conoce como segunda ley generalizada.
Si nos fijamos solo en la entropía de la materia, está claro que si tiro un sistema material a un agujero negro su entropía desaparece. Pero la entropía del agujero aumenta.
Pero esto no soluciona el problema del todo. ¿Por qué?
Imaginemos que tiramos varios sistemas, todos de masa m, al agujero. Su área (o su masa) aumentará de la misma forma. Pero supongamos que cada uno de estos sistemas tiene una entropía distinta y que alguno de ellos tiene una entropía muy grande. Dado que la única información que afecta a la entropía del agujero es su masa, aún se podría perder entropía y por supuesto violar la segunda ley. Por esto es necesario fijar una cota de entropía.
Entonces Bekenstein conjeturó, porque no está probado hasta lo que sabemos, que un sistema material con una energía E no puede tener una entropía mayor que cierta cantidad que viene dada por:
Tenemos una esfera de radio R que puede en encerrar a sistemas de energía E (de uno en uno la imagen sólo es un ejemplo de que la forma del sistema no importa)
donde R es el radio de la esfera mínima que puede contener al sistema en cuestión. Y E es la energía total de dicho sistema. Con esta cota se verifica la segunda ley generalizada en cualquier caso y asegura que un sistema de una masa/energía dada no puede tener una entropía arbitrariamente alta. Y que si lo tiramos al agujero negro su entropía, dada por el área de su horizonte, siempre será mayor o igual a la suma de las iniciales del agujero y el sistema por separado.
Para que quede claro, esta cota es sobre la cantidad máxima de entropía que un sistema material puede tener para que no podamos violar el segundo principio de la termodinámica empleando un agujero negro.
Pero esto no es más que una conjetura, así que hay varias propuestas de cotas en la entropía que puede tener un sistema. Veamos otro ejemplo.
Cota de Suskind o Cota esférica de entropía
Leonard Suskind se puso a estudiar cuanta entropía puede tener un sistema de materia. Entonces dijo, sea un sistema con energía E, encerrémoslo con una esfera imaginaria. Esta esfera tendrá un área A, y Suskind dice:
La entropía del sistema material encerrado por una esfera de área A verificará la siguiente relación:
Es decir, que cualquier sistema tiene que tener una entropía menor que el agujero negro con la misma área que la esfera que encierra el sistema de materia. O dicho de otra forma, un agujero negro es el sistema que tiene la máxima entropía posible para una energía dada.
Cuando se propone un nuevo principio
Recordemos lo que sabemos de la entropía, que no es mucho pero nos servirá. Resulta que la entropía no es más que el número de microestados (haciendole algunas jugarretas como calcular su logaritmo) que corresponde a un macroestado dado. Es decir, si tengo un gas con una temperatura, presión, y número de moles dados dentro de un volumen V pues cuento cuantos microestados (posiciones de las moléculas del gas, sus energías, etc) son compatibles con ese macroestado.
No ha de ser difícil entender que si aumento el volumen, hay más configuraciones posibles (las moléculas pueden ocupar más posiciones y se pueden organizar de más formas), pueden recorrer más distancias, etc. Así que la entropía aumenta cuando aumentamos el volumen. Podemos decir que la entropía depende del volumen en todos los sistemas que nos rodean.
Pero mire usted por donde, en los agujeros negros la cosa no depende del volumen, depende del área. Pensemos un momento, no depende del volumen (3 dimensiones), depende del área (2 dimensiones). ¿Nos suena?
Entonces Gerad ‘t Hooft propone un principio:
Si tengo una región R de D dimensiones que tiene una frontera B de un número de dimensiones D-1. Todos los procesos físicos que ocurren en R pueden ser codificados por procesos que sólo tienen lugar en la frontera B.
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Esta es una visión artística. Tengo una cosa encerrada en la esfera (una manzana) y puedo saber cualquier cosa de la manzana mirando las partículas que viven sólo en la superfice.
Es decir, que hay una codificación de la información en R (D dimensiones) en B (D-1 dimensiones). ¿Adivináis como se llama a este principio? Pues sí:
Principio Holográfico
La razón es simple, basta con leer la entrada sobre holografía 😉
¿El principio holográfico está comprobado o sirve para algo?
Esta pregunta es muy extensa y merece varias entradas por separado. Pero diremos algo para ir abriendo boca:
- La física de agujeros negros parece verificar este principio por definición (de hecho motivó la formulación de tal principio)
- La teoría de cuerdas establece algo que circula con el nombre de conjetura AdS/CFT. Que lo que nos viene a decir es que si tenemos un universo Anti-de-Sitter toda la física interior se puede codificar en la física de su horizonte (AdS tiene uno) y está descrita por una teoría cuántica de campos conforme. Ya explicaremos esto más adelante, por ahora sólo queremos picar la curiosidad.
- Y en Loop Quantum Gravity (gravedad cuántica de lazos) todo indica que la descripción de los agujeros negros es esencialmente holográfica y además siguiendo una versión de la AdS/CFT
Esperamos que os haya resultado interesante la entrada…
Nos seguimos leyendo
Cuentos Cuánticos 
Bueno primero que nada quiero decirles que me han dejado sorprendido no se qué pasa que por más que intento entender algo no puedo, he leído sobre agujeros negros, y algunas cosas… Pero wtf esto es demasiado no tengo los conocimientos necesarios para estos temas todavia 😥
Bueno a lo que venía jaja es una pregunta y espero que me puedan ayudar con mis dudas.
¿Los agujeros negros reducen la entropia solo cuando la materia está dentro del agujero negro? O cuando este se evapore por la radicación de Hawking, la materia retomará la entropia que tenía antes de ser absorbida por el agujero negro?
A lo mejor mi pregunta es ridícula pero me ayudaría mucho que me respondieran..
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Si nos fijamos en una región central del núcleo de una estrella de finida por una esfera de radio R, y vamoa añadiendo más y más masa a la estrella por acreción de la de sus alrededores, la región de estudio tendrá cada vez más masa (por compactación). Entiendo que los grados de libertad de las partículas allí confinadas será cada vez más limitada. Razonando de esta forma, la entropía de esa región decrece, y llegando al estado de agujero negro (cuando el radio de Schwarzchild supere al radio R) estaríamos en el estado de mínima entropía posible. Se violaría el segundo principio de la termodinámica, cierto, pero es que los AN violan ese principio, el de causalidad y el del sentido común. Son entidades que se nos escapan de la física. No entiendo porque hay resistencia a admitir que los agujeros negros podrían ser sumideros de entropía.
De hecho, aplicando el segundo principio de la termodinámica a nuestro universo habitual, conocido y familiar, en su conjunto, en el que se cumplen las leyes de la termodinámica, si pensamos que todos los procesos CONOCIDOS no hacen sino AUMENTAR la entropía del Universo, no creo que quepa otra conclusión que admitir que al principio (Big Bang) ésta debería ser mínima o incluso nula, cuando no negativa o compleja (lateral, como la llamaría Gauss). El estado del Big Bang es claramente compatible con la definición de agujero negro, lo cual es coherente con que los agujeros negros (en concreto el Big Bang) sean cotas inferiores de la entropía y superiores como conjetura Suskind
La entropía del universo podría ser constante a base de aumentar en el universo «normal» y decrecer en los agujeros negros, que equilibrarían el balance. Agujeros negros que por fusión entre ellos irían conformando un nuevo estado Big Bang de entropía mínima para conformar de nuevo el proceso cíclico.
Ahí dejo mi paja mental de hoy.
Corrijo una errata; debería decir:
«El estado del Big Bang es claramente compatible con la definición de agujero negro, lo cual es coherente con que los agujeros negros (en concreto el Big Bang) sean cotas inferiores de la entropía y NO superiores como conjetura Suskind
Estoy totalmente de acuerdo contigo. Además se contempla el aumento o descenso de la entropía incluyendo los agujeros negros dentro de un sistema cerrado, cuando yo creo que los ahujeros negros son un sistema aparte. Habría que contemplar la entropía como un parámetro asociado a la masa y a la energía. Para la masa y la energía restante, no absorbida por el agujero negro, la entropía sería la misma. Habría que ver lo que sucede dentro del agujero negro y aplicar los mismos conceptos que se aplican fuera de él puede ser miope y arbitrario. Yo creo que el descenso de entropía en el agujero no contradice la segunda ley, si lo observamos como sistemas independientes.
Fé de erratas, se coló una “h” en el agujero. Dedos demasiado grandes para el móvil.😂
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¿Por qué la entropía de los agujeros negros depende del área y no del volumen, como ocurre en los sistemas que usualmente nos rodean?
Si el área del horizonte de sucesos de un agujero negro nunca decrece, tal como lo plantea el teorema del área de Hawking, ¿Por qué no se puede pensar tmbién que el volumen del horizonte de sucesos nunca decrece? porque el área depende del volumen, y viceversa ¿no?
Porque desde un punto de vista matemático el volumen de un agujero negro no está bien definido. Al existir una singularidad en su interior el cálculo del volumen puede dar distintos resultados para distintos métodos de cálculo. Así que lo único que tenemos bien definido es el área del horizonte pero no el volumen que encierra dicha área. Es la maravilla de la matemática, especialmente la geometría diferencial.
La entropía se equipara (es múltiplo de) al área del horizonte porque así lo dice la primera ley de la mecánica de los agujeros negros y la temperatura de Hawking. No es algo impuesto, aparece de forma natural en el formalismo.
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Buenas.
Me parece que expusiste el tema de forma sencilla, pero ello presupone tener conocimientos del tema, puesto que aceptar S=A/4 implica conocer la relación que halló Hawking. De todas formas está bien claro, no obstante aún así es bastante abstracto y las conjeturas que le siguen también son abstractas. Estas teorías deberían estar enmarcadas dentro de una ley para que tengan buen sustento y sean demostrables experimentalmente como lo consiguió Einstein. Según tus estudios o quizás estés enterado ¿Hay una posibilidad de reducir estos hallazgos en una ley coherente y demostrable? y ¿De qué se trataría?.
Saludos
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No tengo muchos conocimientos acerca de las leyes de la termoninamica, pero considero que las mismas se fundamentan en la materia y energia de naturaleza cuantica (particula, atomos, moleculas, ect), en los agujeros negros esto no se aplica, ya que los mismos ( pieso yo) lo cuantico no existe como lo conocemos, no hay atomos, ni particulas en movimiento, ni espacios vacios, las particulas estan compactadas, formando un todo de gran concentración de masa, de alli su enorme fuerza gravitatoria, como todo es masa, atraen todo, no creo que sean en si agujeros, ni deforman el espacio como indica la teoria de la relatividad.
La cuántica no es una teoría de unas determinadas partícula o energías. Es una teoría de como se comporta la naturaleza a un nivel básico en su estructura. Eso quiere decir que cualquier sistema puede ser estudiado desde la perspectiva cuántica. Dentro de los agujeros negros no sabemos qué habrá pero lo que sí sabemos es que de algún modo tiene que poder ser descrito por una teoría consistente con la teoría cuántica (o alguna generalización de la misma).
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Una pregunta… En la imagen que has puesto de la manzana contenida en R y proyectada en B, ¿no hemos codificado en Bla información únicamente de la superficie de la manzana?, ¿como podemos codificar los estados internos?, no podemos tener el problema de superposición de la información?.
Un holograma contiene toda la información DE LA SUPERFICIE de una forma dada, ¿que me estoy perdiendo?
La imagen es una alegoría y tu pregunta es muy buena.
A esto se le llama holografía simplemente por la analogía, en un holograma es cierto que solo tenemos información de la superficie pero también del volumen que ocupa. Somos capaces de codificar una imagen tridimensional en un dispositivo bidimensional. Pero la analogía, como todas las analogías, no se puede extender más allá de la aparente similitud.
A lo que hace referencia la imagen es a lo siguiente:
– La manzana representa una teoría gravitatoria (cuántica) definida en el volumen interno.
– Esta teoría está en correspondencia con una teoría no gravitatoria (del tipo de teorías que describen el resto de interacciones, las teorías gauge).
– Esto lo que quiere decir es que toda la física descrita por la teoría gravitatoria en el volumen se puede describir como física descrita por esta otra teoría en la frontera.
El principio holográfico simplemente, simplemente por decir algo, nos dice que hay una relación entre teorías en el volumen (bulk) y en su frontera. No quiere decir que describamos la constitución interna de la manzana. Este es un principio que relaciona teorías no objetos.
Espero haberte ayudado, de no ser así no tengas problema en preguntar todo lo que sea necesario.
Muchas gracias por tu respuesta, me ha quedado perfectamente claro :-), por cierto, soy Maraxus, quería identificarme porque me es imposible acceder a mi usuario desde el trabajo (básicamente porque no me acuerdo de la contraseña 😛 ).
Última pregunta dentro de un intervalo de tiempo que nadie conoce:
Por tu explicación, ¿debo deducir que el principio holográfico, aplicado a un agujero negro, no es el mismo que la teoría de universo holográfico?, ¿que diferencias hay?.
Realmente tengo muchas ganas de que hagas una entrada explicando las teorías de universos holográficos y como afectarían, supuestamente, a la resolución de medidas fundamentales como el espacio y el tiempo a escalas de Planck. Parece una teoría de ciencia ficción pero me sorprende la gran cantidad de experimentos que podrían apoyar esta teoría o desmentirla en los próximos años.
Hola,
en realidad es el mismo principio. En un agujero negro la entropía está sobre el horizonte y la entropía únicamente cuenta los grados de libertad del sistema. El agujero negro es un sistema gravitatorio así pero nosotros vemos que su entropía depende de grados de libertad únicamente contenidos a la superficie de su horizonte. Eso quiere decir que la gravedad interior está mapeada de algún modo a grados de libertad del horizonte únicamente.
Si dispusieramos de una teoría cuántica de la gravedad completa debería de explicar este hecho holográfico (holográfico en el sentido que estamos hablando). De hecho, la Loop Quantum Gravity hace algo así, y aunque aún no es una teoría totalmente satisfactoria, si que en su cálculo de la entropía del agujero negro se ve como los grados de libertad del horizonte pertenecen a un tipo de teoría distinto (se llama teoría de Chern-Simons y es una teoría gauge y de hecho en el horizonte es una teoría topológica) que la teoría del exterior y el interior del agujero.
Nos pondremos a diseñar la entrada de universos holográficos en breve, pero no creo que sea antes de Septiembre.
Muchas gracias por tu comentario.
El principio holográfico parece bastante razonable cuando existe espacio fuera de la región R, de tal manera que lo que hay dentro podría pasar a fuera a través de la frontera B dejando en este proceso su información. Pero si la frontera está en el infinito, como en el caso de AdS/CFT, la cosa parece más complicada. ¿Serán realmente equivalentes ambos casos? ¿Es necesario asumir que lo que está dentro tendría que ser capaz de salir de R para que la frontera B tuviera la misma información?
En realidad no es cuestión de que algo salga a través de la frontera. La situación es mucho más sutil.
Imagina que tenemos la región R donde la física está descrita por una teoría A y en la frontera B tenemos una teoría B. Los grados de libertad de ambas teorías en principio son independientes (y su número no es el mismo), las interacciones son diferentes, etc.
Lo que nos dice el principio holográfico es que podemos saber acerca de la física en la región R descrita por la teoría A (que suele ser una teoría complicada) a partir de lo que pasa en la frontera B descrita por la teoría B (que suele ser una teoría mucho más simple). Es decir, que hay un mecanismo que condensa toda la información de R simplemente en B.
Por eso se le llama principio holográfico porque hay una reducción del número de grados de libertad y de dimensiones pero se condensa la misma información. Aquí no se habla de que haya nada que salga o entre a R a través de B, es una cosa mucho más interesante y profunda.
Aún no hay una prueba definitiva de que este principio sea correcto, pero todo parece indicar que sí lo es. Y es que el problema es que esta correspondencia holográfica se mostraría especialmente en teorías de gravedad cuántica (como por ejemplo supercuerdas) y aún no hemos controlado perfectamente estas teorías.
Espero haber sido más claro esta vez.
Un saludo.
Gracias por la respuesta. La verdad es que lo de salir a través de la frontera era más que nada una manera heurística de convencerme de porque los grados de libertad del interior se puede identificar de alguna manera (no-trivial) con los de la frontera, pero supongo que peca un poco de inocente.
El caso prototípico de AdS/CFT es bastante complicado (teorías como muchos ingredientes). Lo ideal sería destilar la esencia de la conjetura, encontrar el ejemplo más sencillo donde se vea el principio holográfico muy claramente.
Bueno, no estoy diciendo nada coherente o con contenido, así que lo dejo. Gracias one more time.