Bienvenidos al Caos

Todos hemos oído hablar de la teoría del caos. No se puede negar que el nombre es sugerente. Entre mariposas que crean tormentas y la impotencia a la hora de hacer predicciones, pocas veces se pone uno a toquetear el caos de verdad.

En esta entrada vamos a intentar jugar con el caos con el ejemplo más simple en el que podemos encontrarlo. Os voy a presentar la aplicación logística, y vamos a manipularla para sacar de ella muchas cositas interesantes.

Advertencia: Sería genial que tuvierais una calculadora a mano 😉 (da igual que sea de primera o de última generación).

Esta entrada participa en la Edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemáticas Interactivas y Manipulativas.

El ingrediente principal: La aplicación logística

Esta aplicación no es más que una función iterativa. ¿Qué significa eso de ‘iterativa’?  Pues que introducimos un valor elegido para la incognita, hacemos las operaciones que nos diga la función, obtenemos un resultado, y ese resultado lo volvemos a meter en la incognita, volvemos a operar y obtenemos un nuevo resultado. Este proceso lo podemos repetir tantas veces como queramos. A cada paso de este procedimiento lo llamaremos, iteración.

La aplicación de marras, la logística, tiene esta forma:

1. Es la incógnita obtenida en el paso n de la iteración.
2. nos indica el número de la iteración y toma valores 0, 1, 2,..
3. es un valor real, puede tomar cualquier valor real positivo. Este coeficiente nos servirá para modular distintos comportamientos de la aplicación como veremos.
4. es la solución obtenida al introducir el valor de la iteración previa.

Un ejemplo:

Elegimos .

Elegimos el valor inicial de la variable,

Comenzamos:

1. n=1. 
2. n=2. Introducimos el valor anterior
3. Repetimos el proceso

Veamos algunos casos:

Para ,

Esto lo podemos ver de forma gráfica. Disponemos en el eje vertical los valores de y en el eje horizonta (el orden de la iteración). Así en este caso podemos ver que el sistema se estabiliza para el valor 0.5.

Aprovecharemos este método gráfico para ver más claramente lo que pasa cuando jugamos con el factor .

Para y :

En este caso vemos como el sistema se estabiliza para el valor o.6. También es interesante observar que se llega a este punto estable en un número de iteraciones más alto.

Para y

Aquí surge una cuestión interesante, ahora tenemos que el sistema oscila entre dos valores, 0.643 y 0.688.  El sistema pasa de tender a un punto estable a tener una oscilación entre dos valores. A cada paso en la oscilación salta entre uno de esos dos valores.

Para y

El comportamiento se mantiene, estamos oscilando entre dos valores. En cierto sentido, hemos doblado el periodo, ahora en vez de caer en el mismo valor cada salto (iteración), tenemos que esperar dos saltos para llegar al mismo valor.

Pero la historia no acaba aquí, sigamos.

Para y :

Aquí el sistema pasa a oscilar entre 4 puntos diferentes, se queda saltando entre cuatro valores. Se puede decir que hemos vuelto a doblar el periodo.

Si vamos aumentando la r los periodos se irán duplicando y cada vez con mayor rapidez al aumentar el parámetro.  Al final llegamos un punto en el que el periodo es infinito, es decir, nunca volvemos a un valor previo, ¡hemos llegado al caos!. Mirad esto…

Para y :

Bifurcación, el periodo se dobla

Los matemáticos se pusieron a estudiar esto como locos y miraron los puntos estables que se tenían en la aplicación logística cuando se va aumentando el valor del parámetro.  Lo que descubrieron es justamente lo que nosotros hemos visto aquí, que el periodo se va doblando en valores concretos del parámetro hasta que llega un momento en el que el periodo es infinito y se llega al caos:

Aquí tenemos los puntos estables finales en el eje vertical y los valores del parámetro r en el eje horizontal.

Para r entre 0 y 3 tenemos un único valor para punto final estable que va aumentando poco a poco.

Justo para r=3 el periodo se dobla y el sistema oscila entre dos valores estables.

Para valores de r entre 3 y 4 el periodo se va doblando una y otra vez y cada vez más rápido con la variación del parámetro.

Para r=4 entramos en el reino del caos, ya no hay ningún periodo, nunca se vuelve a un punto anterior.

¿Y la mariposa? ¿Qué pasa con la mariposa?

Cuando se habla de caos es difícil no hablar de mariposas, somos así de tiernos. Ya sabéis:

Una mariposa aletea en Nueva Zelanda y se produce una granizada en Murcia.

Una bonita forma de decir que una pequeña variación en las condiciones iniciales de un sistema hace que la evolución del mismo varíe muchísimo. En los casos que hemos visto anteriormente hemos pasado a un régimen caótico en r=4. ¿Podemos ver la sensibilidad a las condiciones iniciales?  La respuesta es afirmativa.

Vamos a graficar de forma superpuesta la evolución para una aplicación logística con r=4. Pero las condiciones iniciales las tomaremos y . Y lo que obtenemos es:

¡Impresionante! ¿qué no?

Vemos como al principio las curvas se superponen pero rápidamente las gráficas se hacen muy distintas. Esto es la sensibilidad a las condiciones iniciales en estado puro. Bienvenidos al caos.

Concluyendo

Es evidente que la teoría del caos es muy amplia y con muchos detalles matemáticos, muchos de ellos de una gran profundidad y no carentes de dificultad. Sin embargo, es posible para todo el mundo jugar con el caos porque la propia matemática nos regala sistemas muy simples en los que el caos se pone de manifiesto.

Con esta entrada lo único que pretendíamos era picar la curiosidad de los lectores, la red está llena de aplicaciones online para jugar con la aplicación logistica y hay multitud de lecciones que servirán para profundizar en el tema. Solo hay que buscar en tu buscador favorito.

Pienso que es posible entender por lo menos los fundamentos de teorías matemáticas como el caos. Espero que esta entrada os haya resultado interesante.

Nos seguimos leyendo…