Volvemos con temas caóticos, es lo que toca en los tiempos que corren. En esta entrada voy a hablar de uno de los sistemas que más graia me hacen en esto del caos. Es un sistema simple, con transformaciones matemáticas que son reversibles y que sin embargo generan una dinámica caótica en los puntos que definen el sistema.
El tema que nos ocupará en estas líneas es la conocida como transformación del panadero. Veremos como de una forma simple, y muy visual, llegamos a ver el caos en el más estricto sentido de la palabra. La intención no es profundizar en el tema sino presentarlo de la manera más simple posible y dar los enlaces a determinados aspectos que me llaman la atención. Es una transformación, que me parece a mí, poco conocida y que es muy interesante.
En este blog hemos dedicado dos entradas a cuestiones caóticas:
La pregunta es… ¿se irá el sistema solar al carajo?
Así que no está de más meter una más sobre el tema. Espero que os guste.
El sistema de interés
El sistema no puede ser más simple, partimos de un cuadrado de lado uno en el que diferenciamos dos mitades:
Ahora seguimos los siguientes pasos:
1.- En el eje vertical comprimimos el lado hasta que tenga una longitud mitad de la original. Y estiramos el lado horizontal hasta doblar su longitud.
2.- Luego nos ponemos en la mitad del lado horizontal y trazamos una línea de puntos.
3.- Cortamos por esta línea de puntos vertical y pegamos los dos trozos que obtenemos llevando la parte de la derecha sobre la parte de la izquierda.
Con esto volvemos a tener un cuadrado de lado uno. Sin embargo hemos producido una mezcla que es más que evidente siguiendo los colores asignados originalmente a las mitades del primer cuadrado.
De forma más animada la transformación inicial sería (notemos que aquí los colores se han dispuesto verticalmente pero que el proceso es el mismo):
Este procedimiento lo podemos repetir tantas veces como queramos.
Es evidente que estas transformaciones son reversibles. Basta con realizar las operaciones inversas, cortar donde hemos pegado, estirar donde contraemos, contraer donde estiramos y pegar donde habíamos cortado, para volver al sistema inicial.
Para los interesados en las expresiones matemáticas relacionadas con esta transformación:
Para una discusión más filosófica y más física de las implicaciones de esta transformación (así como de los procesos irreversibles) es muy recomendable el libro de Ilya Prigogine e Isabelle Stregers:
¿Dónde está el caos?
La cosa no puede ser más simple, pero la pregunta es pertinente. A simple vista ahí no hay caos por ningún sitio. Las transformaciones matemáticas involucradas son lineales, geométricas e invertibles. Y aquí es donde viene el punto que siempre me ha parecido bellísimo en lo tocante a este sistema.
Si elegimos dos puntos del cuadrado y procedemos a realizar el procedimiento del panadero (a estas alturas debe de estar claro el nombre, esta transformación emula la forma que tiene un panadero de amasar el pan) resulta que sus trayectorias divergen por muy cercanos que estuvieran los puntos en un principio.
Esto es una muestra de sensiblidad de condiciones iniciales y es ciertamente asombroso, para mí, que pase en este sistema. Yo hubiera esperado que dos puntos cercanos siguieran trayectorias cercanas en toda la evolución, sin embargo no es así… ¿No me creéis? Pasen y vean:
Para profundizar
Esta aplicación matemática es muy interesante por los motivos expuestos, su simplicidad y su riqueza de comportamiento la hace un laboratorio excelente para comprobar muchos detalles matemáticos escabrosos. Os dejo unos cuantos links a cuestiones más técnicas y muy interesantes relacionadas con este tema:
Sobre la ergodicidad de la transformación del panadero: Fundamental Statistical Mechanics.
Los problemas de mezcla, en los que el panadero tiene mucho que decir, son muy interesantes y muy complejos: Quantifiying Mixing.
Si no os quedáis tranquilos con que la apliación genere realmente caos lo mejor es que calculéis los exponentes de Lyapunov asociados: Lyapunov.
Y por supuesto, no podía faltar la versión cuántica de la transformación: The quantized baker map.
Nos seguimos leyendo…
Cuentos Cuánticos 
mae mia con la teoria la vida hay que hacerla lo mas sencilla posible
No sean avaros sef1ores ARTUSI & SHUMI, cndauo viene la honorabiledsima CANCILLER SRZ publiquen aunque sea un daguerrotipo de la misma para poder ver el vestuario que impone. Recuerdo el faltimo Saint-Exupery Style que le vi la faltima vez que publicaron y me volo la capocheta.
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