Cuántica y Garabatos II

Como decíamos ayer, los diagramas de Feynman nos sirven para calcular las probabilidades de procesos que nos llevan de una situación inicial a una situación final que involucran distintos campos/partículas cuánticas.

Hoy vamos a explicar cómo es eso de que los diagramas en sí mismos son un número tal que al tomar su cuadrado nos da la probabilidad de un proceso.

En entradas sucesivas iremos afinando los detalles y explicando la aplicación de las reglas que vamos a enumerar hoy a campos físicos de interés.

Esta entrada es la continuación de:  Cuántica y Garabatos I

Insistiendo en la naturaleza del  diagrama

Dijimos que para calcular la probabilidad de que se produzca una transición de un estado inicial a un estado final  teníamos que considerar todos los posibles diagramas compatibles con las interacciones y las leyes de conservación que permitían dicha transición.En este proceso de la imagen tenemos inicialmente dos electrones y finalmente tenemos otros dos electrones. Estos han interactuado, por lo tanto habrán sufrido cambios en sus energías y su estado de movimiento.  En la teoría cuántica de campos (TCC), en el contexto en el que estamos ahora y que explicaremos más adelante, las interacciones se consideran mediadas por partículas/campos mensajeras/os.

Experimentalmente lo único que es accesible al experimentador son los estados iniciales y finales. Podríamos decir que:

Lo que pasa en la caja negra, se queda en la caja negra.

Esto es una forma de decir que cada diagrama en sí mismo no tiene significación física más allá de que da una determinada contribución a la probabilidad total del proceso.  Para conocer la probabilidad total del mismo tendríamos que calcular todas las contribuciones, los números asociados, de cada uno de los diagramas posibles de la transición estudiada. Por lo tanto, y como se verá en breve, los estados intermedios, las partículas intercambiadas, no son observables. Podríamos considerar que son «artefactos» de la forma en que tenemos de calcular las probabilidades de los procesos que son susceptibles de observarse en el laboratorio.

Lo que vamos a hacer ahora es elegir uno de estos diagramas e ir diseccionándolo para asignarle un sentido a cada uno de los elementos del mismo.

Disección del diagrama

Tomemos un diagrama simple:

Este diagrama representa el paso de una situación inicial a una situación final por el intercambio de una partícula/campo.  Vamos a ver cómo contribuye esto a la probabilidad del proceso.  Recordemos que el sentido de lectura que hemos elegido para los diagramas de de izquierda a derecha.

Para empezar vamos a definir los elementos del diagrama de la manera más aséptica posible.

En un diagrama como este encontramos los siguientes elementos:

1.-  Tenemos las líneas externas.  Estas representan a las partículas iniciales y finales.

2.-  Tenemos líneas internas. Que representan la propagación de las partículas que median la interacción que provoca la transición entre el estado inicial y el estado final.

3.-  Y el último elemento, uno de los más relevantes, son los vértices.  Esos son los puntos en los que se produce la interacción, es donde una partícula se acopla con otra produciendo en sí misma la interacción que corresponda.

No son muchos elementos.

¿Cómo se calcula la probabilidad del proceso a través del diagrama?

Este es el meollo de la cuestión.  Lo que nosotros queremos obtener al final es la probabilidad del proceso que es lo que compararemos con los experimentos.  En un experimento de partículas elementales, se generan cantidades ingentes de procesos y se estudian los estados finales a  partir de los estados iniciales.  Posteriormente, lo que hacemos es calcular la probabilidad de cada uno y comparar con los modelos teóricos (de los que se extraen los diagramas de Feynman que predicen dichos procesos).

Por lo tanto, lo que nosotros queremos calcular es:

Si solo tenemos en cuenta el diagrama que tenemos entre manos eso se calcularía así:

Eso quiere decir que tenemos que calcular un número asociado al diagrama y elevarlo al cuadrado. (El origen de la unidad imaginaria es una cuestión técnica que no viene al caso, simplemente asumiremos que está ahí por definición por el momento).

Así, todo el diagrama de Feynman no es más que un número que se representa por .

En los diagramas de Feynman estamos interesados principalmente en la energía de las partículas y en su momento (es decir, en su estado de movimiento).  Tanto la energía como el momento son cantidades conservadas.  Si tenemos en cuenta que en los procesos de partículas nos encontramos en el reino de la física relativista, la energía de una partícula verificará en todo momento:

Es decir, la energía total de la partícula se debe a dos factores:

1. Energía debida a su movimiento, representada por el factor . (El subíndice 3 del momento indica que es el momento lineal en tres dimensiones)
2. Energía debida a que tenga masa, representada por el factor .

De hecho, lo que nos interesa en estos cálculos es que la energía relativista, representada por (el subíndice 4 en este caso indica que estamos trabajando con la energía definida en las cuatro dimensiones del espaciotiempo) verifica:

Estas nociones serán interesantes en próximas entradas. Para una revisión rápida de estos conceptos: Conceptos de Relatividad Especial.

Para concretar, los diagramas son representaciones de procesos a nivel de energías. Lo que tenemos en cuenta en ellos es hacia donde fluyen los momentos/energías y tendremos que ser cuidadosos en imponer conservación de estas cantidades para que el proceso sea físicamente realizable.  Esto quiere decir que no podemos dar un sentido espaciotemporal a los diagramas entendiendo sus líneas como trayectorias reales de las partículas (cosa que no tiene sentido en un contexto cuántico).

El cálculo de

Vamos a describir, dejando las expresiones formales para más tarde, cómo se calcula el número asociado al diagrama de Feynman.  Para ello le asignaremos un sentido matemático a cada uno de los elementos del diagrama.

1.-  Las líneas externas siempre estarán ahí, por lo tanto les pondremos un 1 a cada una de ellas.   Dichas líneas representan los estados iniciales y finales, así que han de estar. Lo interesante en los diagramas pasa dentro de sus tripas, en las líneas internas y en los vértices de interacción.

2.-  A las líneas internas, partículas que median la interacción en el proceso de paso del estado inicial al final, les asignamos una cantidad que dependerá de la «energía» de la partícula intercambiada (partícula o partículas, como veremos en situaciones más complicadas).

Anotación:

En los procesos cuánticos, las partículas se pueden crear y destruir, es decir, aparecen y desaparecen siempre que respeten las leyes de conservación.  Pero algo pasa en las líneas internas.  Estas partículas son emitidas en una parte del diagrama y absorbidas en otra parte del mismo.  Dado que no podemos verlas, porque solo tenemos acceso a estados iniciales y finales, estas pueden tener cualquier energía.  Ojo, esto es importante y le dedicaremos una entrada, pero ahora daremos unas cuantas pinceladas.

Podemos considerar que estas partículas emergen a costa de dos contribuciones, la energía de las partículas iniciales y la energía del vacío.  Esto es posible por la indeterminación entre energía y tiempo que tenemos de forma efectiva en cuántica.  Podemos crear estas partículas y que se propaguen con cualquier energía pero a mayor energía menos tiempo de vida tienen y por tanto se propagarán menos.  Dicho de otro modo, las partículas mediadoras tienen todo un rango de distancias donde pueden transmitir la interacción responsable del proceso que inducen.  Es por eso que la forma matemática que tendrá la cantidad asociada a las líneas internas en un diagrama de Feynman será, de forma genérica 1/E.  A mayor energía, menor probabilidad de transmitir la interacción, y viceversa.  Pero la historia no acaba aquí.  Dado que estas partículas pueden salir con cualquier energía, y como no sabemos qué energía tienen, para calcular el número del diagrama de Feynman sumaremos a todas las energías, asunto solucionado. Si no puedes seleccionar una, tómalas todas.

3.-  En los vértices tendremos información de la intensidad de la interacción. Es decir, cada vértice tendrá una información que nos dice como de intenso es el acoplo de los diferentes campos/partículas que están interactuándo.  Por lo tanto, en los vértices hay una constante en cada vértice.

Hay un detalle importante, en los vértices tenemos que asegurarnos que la conservación del momento/energía se verifica.  Así podremos asegurar, al final del cálculo, que en todo el proceso no se ha violado estas leyes de conservación.

Con estas reglas el cálculo del número asociado al diagrama de Feynman, , se puede expresar como:

Dejaremos esto reposar un rato y continuaremos en breve con asignar expresiones formales a esta «fórmula». Nos queda introducir un elemento más en los diagramas, los famosos y problemáticos loops (lazo, en castellano, pero no conozco ninguna palabra castellana que tenga el mismo significado que loop. Así que, usaré loop en las siguientes entradas)

Nos seguimos leyendo…