Supersimetría en acción

Siempre queda bien hablar de lo que por aquí nos gusta denominar supercosas. La supersimetría, las supercuerdas, los supercompañeros, etc. Y siempre nos dicen que la supersimetría es una cosa que cambia fermiones en bosones, pero ¿qué es la supersimetría de verdad? ¿cómo se trabaja con ella?

En esta entrada lo que vamos a ver es justamente eso, de la manera más simple posible. Pretendemos presentar cómo se trabaja con la supersimetría de verdad. Evidentemente no vamos a entrar en la formulación de teorías supersimétricas, eso tendrá que esperar pero acabará llegando. Lo que queremos es explicar las bases pero entrando en harina.

Antes de empezar: La supersimetría en divulgación

Hay una serie de entradas en el blog relacionadas con la supersimetría, bosones y fermiones que serán útiles para concretar detalles para todo aquel que se pierda en algún momento en esta entrada:

Supercosas Aquí se introduce y se motiva el tema de la supersimetría.

Bosones y Fermiones, esos famosos desconocidos Una visión real sobre qué es un bosón y un fermión. La verdadera distinción entre ambos.

Espín Una breve introducción al concepto de espín.

Supersimetría

Repasemos una frase típica en cualquier texto de divulgación que hable de la supersimetría:

En ¿Es el Bosón de Higgs lo que necesita la física? de Amazings:

supersimetría, una teoría que establece cómo fermiones y bosones se agrupan en parejas de partículas hermanas

En ¿Encontrará el LHC supersimetría? de Ciencia Kanija

La supersimetría (o SUSY) es una idea atractiva dado que ofrece una solución al “problema jerárquico” de la física de partículas, proporcionando una forma de unificar las fuerzas electrodébil y fuerte, e incluso contiene una partícula de materia oscura. Un resultado importante de la teoría es que cada partícula conocida tiene al menos una partícula supercompañera – o “partícula-s”.

En Diez de las mayores preguntas a las que se enfrenta la Física Moderna hoy de migui.com

La llamada supersimetría (o SuSY en inglés) es a nivel cuántico y nos dice que cada partícula fundamental tiene una “compañera supersimétrica” cuyo espín se diferencia en $\frac{1}{2}$ con su compañera. Esto es, la compañera de un fermión (espín 1/2, 3/2, 5/2…) será un bosón (espín 0, 1, 2…) y viceversa. Tienen ambas la misma masa y los números cuánticos internos.

En Supercosas de Cuentos Cuánticos

La supersimetría nos viene a decir que dado un bosón siempre existe un fermión asociado, lo que se llama la partícula supercompañera. Y viceversa, dado un fermión siempre existe un supercompañero bosónico asociado.

Ya vemos que esto de la supersimetría es algo muy popular y que siempre nos quedamos todos en la superficie. Así que profundicemos algo más.

Jugando con la supersimetría

Hablamos de supersimetría cuando tenemos una teoría que no cambia cuando se intercambian los bosones por fermiones y viceversa.

Aclaremos esto de una vez, cuando en física (cuántica) se dice «cambiar» lo que significa es que hay un objeto matemático denominado operador que actúa sobre los estados cuánticos según una determinada regla matemática. En este caso, supongamos que tenemos un operador $\hat{Q}$ de forma que si lo hacemos actuar sobre un fermión nos dará un bosón y viceversa:

$\hat{Q}|Fermion\rangle=|Boson\rangle$

$\hat{Q}|Boson\rangle=|Fermion\rangle$

Como sabemos los fermiones son partículas de espín semientero (1/2, 3/2, 5/2,…) y los bosones son partículas de espín entero (0, 1, 2,…). Por supuesto siempre en unidades de $\hbar$ . Así pues el operador $\hat{Q}$ lo que hace es subir en 1/2 el espín de la partícula sobre la que actúa (lo que explica que convierta bosones en fermiones y viceversa). El operador $\hat{Q}$ recibe el nombre de supercarga.

Al igual que los estados cuánticos los operadores también se pueden etiquetar en fermiónicos y bosónicos. En este caso la supercarga es un operador fermiónico, dado que modifica el espín del estado sobre el que actúa en 1/2.

Como hemos visto en varias ocasiones un elemento esencial en la teoría cuántica es el conmutador entre operadores. Esta operación te dice si dos operadores conmutan o no y físicamente te dice si puedes medir simultáneamente los valores de las magnitudes físicas (observables) que representan. Si dos operadores conmutan los observables se pueden medir simultáneamente y no conmutan no se pueden medir simutáneamente. (Las entradas donde hablamos extensamente del conmutador a distintos niveles se pueden encontrar aquí: Conmutador). Sin embargo, para un operador de tipo fermiónico esto no es útil y hay que recurrir, para definirlo adecuadamente, al anticonmutador que viene definido así:

{A,B}=AB+BA

Así se impone que la supercarga verifique:

{ $\hat{Q},\hat{Q}^\dagger$ } $=P^\mu$

Aquí simplemente diremos que $\hat{Q}^\dagger$ está relacionado con la supercarga (es su hermítico conjugado) y $P^\mu=(E, p_x, p_y, p_z)$ es el vector 4-momento de forma que su cuadrado $P^2=E^2-p^2=-m^2$ .

Claramente se tiene que exigir que la supercarga conmute con el 4-momento:

$[\hat{Q},\hat{P}]=0$

recordemos que el conmutador [A,B]=AB-BA

Porque esto nos asegura que: $[\hat{P}^2,\hat{Q}]=0$

Desarrollo:

$[\hat{P}^2,\hat{Q}]=[\hat{P}\hat{P},\hat{Q}]=\hat{P}[\hat{P},\hat{Q}]+[\hat{P},\hat{Q}]\hat{P}=0$

Y esto ¿por qué es importante? Esto es imprescindible porque trabajamos con estados cuánticos asociados a partículas fermiónicas o bosónicas que tienen una determinada masa:

$\hat{P}^2|Fermion\rangle=m_F^2|Fermion\rangle$

Ahora nos podemos preguntar, si un fermión tiene una masa $m_F$ ¿qué masa tiene el bosón asociado por una transformación supersimétrica? Veamoslo:

1.- Tengo un fermión representado por el estado $|F\rangle$

2.- Este fermión tiene una masa $m_F$ , es decir,

$\hat{P}^2|F\rangle=m^2_F|F\rangle$ .

3.- Ahora transformamos este fermión en su bosón asociado:

$\hat{Q}|F\rangle=|B\rangle$

3.- Ahora queremos saber la masa del fotón, es decir tenemos que averiguar cuánto vale $\hat{P}^2|B\rangle$ .

Para calcular esto haremos lo siguiente:

$\hat{P}^2(\hat{Q}|F\rangle)=\hat{P}^2\hat{Q}|F\rangle$

Pero como $\hat{P}^2$ y $\hat{Q}$ conmutan podemos escribir:

$\hat{P}^2\hat{Q}|F\rangle=\hat{Q}\hat{P}^2|F\rangle$

Pero ya sabemos que $\hat{P}^2|F\rangle=-m_F^2|F\rangle$ así pues:

$\hat{Q}(\hat{P}^2|F\rangle)=\hat{Q}(m^2_F|F\rangle)$

Dado que $\hat{Q}$ es un operador cuántico tiene que ser lineal, es decir, que es «transparente» a las constantes, por lo que:

$m^2_F\hat{Q}|F\rangle=m_F^2|B\rangle$

Con lo que hemos obtenido que el bosón asociado tiene que tener la misma masa que el fermión del que parte (y viceversa). Pero como ya explicamos en distintas entradas, por ejemplo en Supercosas, no vemos compañeros supersimétricos de las partículas usuales eso implica que no pueden tener la misma masa sino una muy superior (por eso necesitamos aceleradores de partículas de muy alta energía para poder producir estas partículas en caso de existir). Esto es lo que se dice: La supersimetría está rota, es decir, que por debajo de una determinada energía la supersimetría no se hace evidente (no vemos las parejas supersimétricas de las partículas que nos rodean). Si conseguimos superar dicha energía la simetría se reestablece y entonces tendremos que ver las partículas supersimétricas polulando por ahí.

Y hasta aquí lo que queríamos explicar, esperamos haber podido introducir la idea y motivar la curiosidad. Además de que esta entrada servirá como referencia básica para las siguientes entradas que vayamos haciendo en Cuentos sobre la supersimetría desde un punto de vista formal. Esperamos que os haya gustado.

Nos seguimos leyendo…

6 Respuestas a “Supersimetría en acción”

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Anna | 19 enero, 2013 en 22:44 | Responder

Hola Iris, Que gusto leer tus comentarios, spmriee tienes algo interesante para aportar.Muchas gracias por participar en el debate, y por la difusif3n del artedculo en Twitter, Facebook y Linkedin, es un gesto muy generoso de tu parte.Saludos y e9xitos, Gastf3nTwitter:
Tom Wood | 19 octubre, 2011 en 4:55 | Responder

Esta blogosfera científica se sigue calentando y usted sigue poniendo el listón mas alto alto.
Edazez | 18 octubre, 2011 en 19:23 | Responder

Como es costumbre un placer leerte.
Gracias.
Pablo | 18 octubre, 2011 en 12:58 | Responder

Muy buena la entrada! Una pregunta, la supersimetria explica justamente los fenomenos que no se han podido observar, pero a los niveles de energia que actualmente se manejan la teoria falla, eso me parece que no le da mucho soporte, entonces ¿porque es tan importante esta teoria?¿hay algun aspecto de ella que se haya podido verificar experimentalmente aunque sea parcialmente?
Gracias

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