Probabilidades negativas

En esta entrada seguimos con el curso de Introducción a la Teoría Cuántica de Campos y pretendemos mostrar el verdadero problema asociado a la ecuación de Klein-Gordon cuando la consideramos una ecuación que describe cómo se comporta una partícula relativista.

El verdadero problema de la ecuación de Klein-Gordon aplicada a una única partícula es que nos dice que hay estados donde la probabilidad de encontrar dicha partícula en una región del espacio puede ser negativa.

Nos centraremos en una partícula moviéndose en una dimensión por simplicidad.

Corriente de Probabilidad

Como es estándar tomaremos la corriente de probabilidad calculada con un campo escalar $\phi$ que tomaremos complejo y tomando $\hbar=1$ :

$J=-i\phi^*\dfrac{\partial \phi}{\partial x}+i\phi\dfrac{\partial \phi^*}{\partial x}$

Calculemos la derivada espacial de la corriente de probabilidad:

$\dfrac{\partial J}{\partial x}=-i\phi^*\dfrac{\partial^2\phi}{\partial x^2}+i\phi\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial x^2}$

Empleando la ecuación de Klein-Gordon:

$\dfrac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=m^2\phi$

Recordemos que si una función compleja es solución a una ecuación, su compleja conjugada también es solución:

$\dfrac{\partial^2 \phi^*}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}=m^2\phi^*$

Sustituyendo la segunda derivada espacial en la corriente por la ecuación de Klein-Gordon:

$\dfrac{\partial J}{\partial x}=-i\phi^*\left(\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+m^2\phi\right)+i\phi\left(\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}+m^2\phi^*\right)$

Esto implica que:

$\dfrac{\partial J}{\partial x}=-i\left(\phi^*\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\phi\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}\right)$

Ahora empleando la ecuación de continuidad:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\dfrac{\partial J}{\partial x}=0$

Esta ecuación nos da la conservación de la probabilidad y nos dice que la variación en el tiempo de la densidad de probabilidad $\rho$ de encontrar una partícula en una región se compensa con el gradiente de la corriente de probabilidad, es decir, cómo fluye dicha probabilidad en esta región.

Por lo tanto identificamos:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=i\left(\phi^*\dfrac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\phi\dfrac{\partial^2\phi^*}{\partial t^2}\right)$

Y por tanto la densidad de probabilidad es:

$\rho=i\left(\phi^*\dfrac{\partial\phi}{\partial t}-\phi\dfrac{\partial\phi^*}{\partial t}\right)$

Recordemos que en mecánica cuántica no relativista la densidad de probabilidad era:

$\rho_{NR}=\psi^*\psi=|\psi|^2$

Y esta cantidad es definida positiva (nótese que es un módulo al cuadrado).

El problema es que en el caso de Klein-Gordon la densidad de probabilidad contiene derivadas temporales ya que esta ecuación es de segundo orden en las derivadas temporales. Y esta es la razón por la que podemos tener probabilidades negativas.

Probabilidades Negativas

Como se vio en las entradas anteriores del curso la solución de tipo partícula libre viene dada por la onda plana:

$\phi(\vec{x},t)=e^{-ip\cdot x}=e^{-i(Et-px)}$

Ahora calculemos las derivadas temporales de esta solución y de su compleja conjugada:

$\dfrac{\partial \phi}{\partial t}=-iE e^{-i(Et-px)}=-iE\phi$

$\dfrac{\partial \phi^*}{\partial t}=iE e^{i(Et-px)}=-iE\phi^*$

El producto $\phi^*\dfrac{\partial \phi}{\partial t}=e^{i(Et-px)}(-iE)e^{-i(Et-px)}=-iE$

Por lo tanto sustituyendo en la expresión de $\rho$

$\rho=i\left(\phi^*\dfrac{\partial\phi}{\partial}-\phi\dfrac{\partial\phi^*}{\partial t}\right)=i(-iE-iE)=2E$

Aparentemente esto es una solución positiva al problema… Pero recordemos que estamos en relatividad especial y como vimos en la entrada anterior:

$E=\pm\sqrt{p^2+m^2}$

Es decir, que la energía puede ser negativa, por lo tanto la densidad de probabilidad también puede ser negativa. Con esto se unifican ambos problemas y hacen que esta ecuación no se pueda interpretar como una ecuación para una única partícula relativista. Veremos que esto se resuelve pasando a una interpretación de campos en vez de partículas.

Nos seguimos leyendo…

15 Respuestas a “Probabilidades negativas”

David | 8 febrero, 2018 en 20:30 | Responder

Continuaréis con el mini curso en un futuro? Lo veo muy interesante y creo que aún faltan cosas por dar
josemalopezfernandez | 6 abril, 2015 en 18:19 | Responder

Muy interesantes todas estas entradas. Había leido al estudiar la ecuación de Dirac, que la de Klein-Gordon tenía problemas, pero nunca la había visto. Entiendo que esto se solucionó con la ecuación de Dirac y sus matrices para el electrón (4 espinores) que nos da una ecuación relativista de primer orden en t y r con lo que desaparecen las probabilidades negativas, aunque no las energías negativas de dos de los spinores (positrón) y que por eso se habla de un «campo electrónico» más que de un electrón como partícula. Me ha ayudado mucho tanto entemas de mates como conceptuales que para mí son aún más importantes. Muchísimas gracias y enhorabuena por estos cursos tan formativos.
Curioso | 22 agosto, 2013 en 13:20 | Responder

Buenas.

En la segunda ecuación creo que te has comido una i, y luego cuando sustituyes las derivadas espaciales por las temporales y la masa, de repente la masa desaparece y no entiendo por qué. También me pierdo en lo de la densidad de probabilidad.

Un saludo.
- Cuentos Cuánticos | 31 agosto, 2013 en 15:53 | Responder
  
  Gracias por avisar de lo de la i. Ya está corregido.
  
  Lo de la masa sucede porque si desarrollas encontramos: $-im^2\phi^*\phi +im^2\phi\phi^*$ y eso da cero.
  
  Lo de la densidad de probabilidad, ¿podrías precisar un poco más?
  
  Gracias y saludos.
  - Curioso | 31 agosto, 2013 en 16:00 | Responder
    
    Buenas, tienes toda la razón.
    
    Lo de la densidad de probabilidad. En la primera ecuación que pones no sé de dónde sacarla debido a que no he llegado a estudiar eso aún en la universidad. Si pudieses ponerme un poco en situación te lo agradecería ya que esta entrada me aporta muchos conceptos nuevos y me gustaría entenderla bien.
    
    Un saludo.
    - Cuentos Cuánticos | 31 agosto, 2013 en 16:05 | Responder
      
      A ver si esto te aclara un poco el tema: http://cuentos-cuanticos.com/2011/12/04/la-ecuacion-de-continuidad/
Pingback: Ecuación de Dirac – Primera parte | Cuentos Cuánticos
45cr CharlieC | 2 febrero, 2012 en 20:02 | Responder

Eso de una interpretaciòn de campos en vez de partìculas, se refiere a la probabilidad negativa, me dejò completamente en el aire, no entendì nada.
Anónimo | 22 diciembre, 2011 en 13:58 | Responder

Estoy estudiando este año introducción a la teoría cuántica de campos. Estos post me vienen genial. Espero impaciente las próximas entradas (más que nada porque los exámenes son en enero-febrero jejej)
Edazez | 29 noviembre, 2011 en 21:36 | Responder

Creo que a veces introduces términos como Corriente de Probabilidad o Densidad de Probabilidad que nos hacen perder un poco el hilo del razonamiento. Para algunos de nosotros son cosas nuevas y nos encontramos de repente con algo desconocido y casi sin definir.
Pero de todas formas, gracias por la entrada.
Creo que es posible entenderla.
- Cuentos Cuánticos | 29 noviembre, 2011 en 22:32 | Responder
  
  Ten en cuenta que estas entradas son destinadas a un curso técnico sobre teoría cuántica de campos. Es decir, que se presupone un mínimo conocimiento de cuántica que es donde se introducen estos conceptos.
  
  De todas formas somos conscientes de esto y procuramos hacer las cosas ordenadas, por eso pusimos un minicurso de cuántica donde se introdujeron apropiadamente todos estos conceptos.
  
  Siempre puedes preguntar y te responderemos a la mayor brevedad.
  
  Un saludo
  - Edazez | 30 noviembre, 2011 en 10:38 | Responder
    
    Creo que te he seguido desde el principio y he leído todos las entradas, pero no consigo encontrar nada sobre la Corriente de Probabilidad. Quizás podrías aclarar un poco el concepto?
    Gracias mil.
    - Cuentos Cuánticos | 1 diciembre, 2011 en 16:22 | Responder
      
      Es cierto, no hemos hablado de la corriente de probabilidad. Nos ponemos a ello enseguida.
      
      Gracias por el aviso.
Cuentos Cuánticos | 29 noviembre, 2011 en 12:38 | Responder

Muchas gracias, corregido 🙂
Salvador Parra | 29 noviembre, 2011 en 11:58 | Responder

Hay una leve errata en las expresiones de la densidad de probabilidad en función de las primeras derivadas parciales de $\Phi$ respecto a $t$: está ausente $t$ en uno de los términos.

Muchas gracias por mantener esta página.