Son las -17:00, muy probablemente

El tiempo es uno de los conceptos que más interesan a los científicos. Su papel en la física es fundamental ya que actúa como el parámetro que rige la evolución dinámica de los sistemas.

Sin embargo, su papel en las distintas teorías físicas es, cuanto menos, curioso. Casi siempre aparece como un elemento externo, como algo que está ahí fuera y del que nos servimos para determinar como evoluciona el sistema que estemos considerando. Aún más, en Relatividad General, el tiempo parece que desaparece, que no podemos definirlo. Esto se vuelve un grave problema a la hora de definir una teoría cuántica de la gravedad en todas sus variantes y propuestas.

Lo que es más sorprendente aún es que el tiempo podemos medirlo, tenemos relojes, así pues nos enfrentamos a un problema interesante y perturbador. ¿Qué es eso que llamamos tiempo que podemos medir pero no sabemos qué es?

En esta entrada, que esperamos que sea la primera de una serie que trate sobre el concepto de tiempo, vamos a intentar explicar que sorprendentemente no podemos definir un reloj (el instrumento que mide el paso del tiempo) en teoría cuántica.

Cuántica, estados y observables

Ya hablamos de la diferencia entre estados y observables en la cuántica en la entrada: Estados y observables… ¿me explicas de una vez lo que son?. Daremos aquí un breve resumen:

1. Un estado viene representado por una función que depende de los parámetros propios del sistema que están sujetos a leyes de evolución. Estos parámetros pueden ser energías, momentos, posiciones, etc.
2. Un observable es todo aquello que podemos medir en un sistema.

Una diferencia esencial entre la física cuántica y la clásica es la siguiente:

1. En física clásica los estados y los observables vienen representados por el mismo objeto matemático, la función que depende de todos los parámetros representativos del sistema. Esto es así porque en la física clásica podemos medir, teóricamente, todos estos parámetros simultánemente.
2. En cuántica, los observables vienen  definidos por operadores y los estados por funciones (generalmente complejas). Los operadores cuánticos actúan sobre los estados (funciones) siguiendo una regla determinada. Generalmente cambián la forma de la función. Además estos observables, desde el punto de vista matemático, no conmutan generalmente. Es decir, aplicar uno detrás de otro en un sentido no da al mismo resultado que aplicarlos en el sentido inverso.  Esto se traduce en el principio de indeterminación, que esencialmente nos dice que cuando dos observables no conmutan no se pueden medir simultáneamente con total precisión porque sus valores no están definidos a la vez.

El tiempo en cuántica

El tiempo entra en las ecuaciónes de la cuántica, está presente en la definición de las funciones de onda (representación de estados) o en la definición de los operadores (que describen los observables). Y sin embargo, su papel en la teoría y su representación es totalmente diferente al resto de los observables.

Cuando uno habla del observable energía esta viene representada por un operador que actúa derivando el estado respecto al tiempo (en esta entrada los operadores se representarán con un gorro).  La posición también tiene asociado un operador, el momento, el momento angular, el espín, etc.

Sin embargo, el tiempo, que obviamente medimos con relojes, no tiene ningún operador asociado. Lo cual lo singulariza frente al resto de parámetros físicos que asignamos a los sistemas.  El tiempo es un parámetro «externo», un «algo» que nos ayuda a explicar la evolución del sistema.

La pregunta es:  ¿Es posible definir un reloj cuántico que esté representado por un operador aceptable en cuántica?

¿Reloj cuántico?

Imaginemos que queremos describir un reloj cuántico. Esto estará representado por un operador que nos de el tiempo que está pasando en un sistema cuántico durante un proceso, .

¿Qué le deberíamos de exigir a un reloj cuántico?

Pues sería muy bueno que verificara las siguiente características:

• Definimos un operador . Este operador tendrá unos estados característicos, . Evidentemente este operador podrá dar lugar a todos los valores posibles de T. Es lo que se denomina un operador de espectro continuo.
• La probabilidad de pasar de un estado a un estado , con j>i es distinta de cero. Es decir, la evolución se hará hacia adelante en el tiempo.
• La probabilidad de pasar de un estado a un estado , con j<i es NULA.  Es decir, nuestro reloj no puedo evolucionar hacia atrás en el tiempo.

Pero aquí surge el problema que fue puesto de manifiesto en el artículo, Time and the interpretation of canonical quantum gravity, de William G. Unruh y Robert M. Wald (dos de los grandes físicos de nuestro tiempo), en el que si este operador se define de esta forma implicaría que la energía de los sistemas no tendría ningún mínimo. Esto es desastroso, si la energía de un sistema no tiene una cota inferior significa que el sistema podría decaer a valores de la energía cada vez menores y emitiría continuamente.

Es evidente que este no pasa, la energía de los sistema está actada por abajo. Y la consecuencia es que este reloj tendría una probabilidad no nula de marchar hacia atrás en el tiempo. Esto lo invalida como un reloj aceptable.

Este ha sido nuestro primer acercamiento a las sorpresas que nos depara el concepto de tiempo en física. Seguiremos con el tema.

Nos seguimos leyendo…