Hasta el fondo

Hoy nos vamos a parar a pensar sobre una pregunta que estoy seguro que más de una vez te ha dejado sin sueño.

Si sumerjo en aguja una piedra pómez durante 30 segundos, ¿llegará el agua hasta el centro de la piedra?

La respuesta evidente es que si la piedra es lo suficientemente porosa el agua llegará a su centro y si no es lo suficientemente porosa el agua no llegará a su centro.

Esa, sin duda, es la respuesta evidente, la menos evidente es que este problema dio origen a un campo de estudio que conocemos como:

PERCOLACIÓN

Esta teoría es interesante por diversos motivos de entre los cuales lo que más me impresionan son los siguientes:

a)  Es el modelo más simple en el que se puede apreciar una transición de fase.

b)  Las teorías matemáticas involucradas van desde los procesos estocásticos (azarosos) hasta la teoría de grafos.

c)  Sus aplicaciones son muy diversas e importantes en muchos ámbitos de la actividad humana.

Y quizás lo más importante es que uno puede jugar con los modelos con las manos, con lápiz y papel, con piezas de lego, con dados y monedas. Esto es lo que hemos hecho mi amigo Ventura y yo para probar de qué va esto de la percolación. Prometemos aprender a hacerlo con un ordenador para la próxima ;).

Espero que la entrada, que ha quedado un poco larga, le guste a mi amigo Luís F. Rull.  Hace ya algunos meses, tomando café, me habló de la percolación que era un tema que yo tenía olvidado. Y después de muchas lecturas y de sorprenderme y maravillarme con el tema, al que nunca le había dedicado tanto tiempo, me he decidido a publicar esta entrada. Muchas gracias, Luís.

¿Qué es la percolación?

Si uno busca en la RAE la definición de percolación encuentra esto:

percolación.

1. f. Acción y efecto de percolar.

Real Academia Española © Todos los derechos reservados

Y percolar es:

percolar.

(Dellat.percolāre, filtrar, colar).

1. intr. Dicho de un líquido: Moverse a través de un medio poroso.

Real Academia Española © Todos los derechos reservados

Puede que no nos aclare mucho el tema. Pero podemos intuir que la percolación tiene que ver con el hecho de que «algo» fluya por un sistema compuesto de elementos que están «unidos» de alguna manera.

Lo que fluye puede ser un fluido (líquido o gas) en un medio poroso como el agua por el interior de una piedra pómez sumergida. Puede ser también la información por nuestros ordenadores o dispositivos de conexión a internet, etc.

La percolación es la teoría físico-matemática que se encarga de ver si una determinada magnitud puede fluir por un sistema.

El problema es tan general que tiene amplias aplicaciones como veremos posteriormente y, en esencia, es un problema universal que nos puede interesar en muchos aspectos.

Para entender lo que es la percolación en términos más formales tendremos que dotarnos de un modelo simple y establecer claramente los problemas abordar.

Elementos esenciales de la percolación. Modelo simple

El modelo más simple que podemos imaginar en la percolación que presenta ya comportamientos interesantes es el de una malla bidimensional.

En la malla dibujaremos una serie de puntos que denominaremos nodos que serán los elementos a los que queremos que llegue una determinada magnitud.

Para que el sistema tenga algo de interés vamos a unir los nodos con una determinada probabilidad p.  Es decir, entre dos nodos vecinos  cualesquiera de la red aparecerá un nexo con probabilidad p y no aparecerá un nexo con probabilidad (1-p).  Asumiremos que la probabilidad de que aparezca o no un nexo entre dos nodos vecinos es independiente de lo que pase entre los nodos vecinos próximos.  Cada uno va a su aire.

Por ejemplo, podemos usar una moneda y decidir que entre cada par de nodos vecinos aparecerá un nexo si sale cara y no aparecerá nexo si sale cruz.  Eso es lo mismo que decir que la probabilidad de tener un nexo es de 0.5 y la de no tenerlo es de (1-0.5)=0.5.    También podríamos elegir hacerlo con un dado eligiendo que aparecerá nexo cuando la tirada del dado salga 3 y no aparecerá nexo con cualquier otro resultado.  Esto equivale a tener una aparición de nexos con una probabilidad de 1/6  y la no aparición de nexos de 5/6.

Evidentemente, podemos elegir diferentes asignaciones de probabilidades y obtendremos diferentes redes de conexión entre los nodos. Una imagen típica es:

El parámetro fundamental aquí es la probabilidad p de conexión entre nodos vecinos.  Podemos estudiar qué le pasa al sistema con diferentes valores de p.

Es el momento de meternos en los problemas que podemos plantearnos en este tema.

El problema de la percolación

El principal problema de la percolación se puede parafrasear como sigue:

¿En qué circunstancias podremos encontrar caminos que nos lleven de un extremo del sistema a otro?

Es decir, si empezamos en la izquierda, ¿podremos llegar hasta la derecha siguiendo un camino?  Si empezamos abajo, ¿podemos llegar hasta arriba?

Otra manera de verlo es:

¿Empezando en algún nodo de los extremos del sistema podemos encontrar un camino que nos lleve a su región central?

Evidentemente las respuestas a esta pregunta dependerán del grado de conexión de los nodos y, por lo tanto, del parámetro p.

No es difícil imaginar que para p‘s elevadas será posible ir de un extremo a otro del sistema. Sin embargo, para p‘s pequeñas esto no será probable.

Entonces otra pregunta pertinente es:

¿A partir de qué valor de p es posible encontrar al menos un camino que nos lleve de un extremo a otro del sistema?

Esto supone un cambio radical en el comportamiento del sistema.  Imaginemos que la malla es una red por la que va a circular corriente eléctrica, conectando los nodos de un extremo y su opuesto a una pila.  Evidentemente si no hay caminos que conecten dichos extremos no habrá paso de la corriente y en caso de que sí sea posible encontrar dichos caminos sí pasará la corriente. Sin duda, el cambio en el comportamiento del sistema es más que evidente en este ejemplo.

Esto supone que estamos jugando con un sistema muy simple en el que se da una transición de fase.  Las transiciones de fases se dan en los sistemas cuando ciertas magnitudes físicas toman determinados valores que producen un cambio radical en las características de los mismos. El caso más evidente es el de hacer hervir o congelar agua.  En esos casos las magnitudes importantes son la temperatura del sistema, su presión, etc.  En el sistema que nos ocupa todo el comportamiento variará en función de la probabilidad p de encontrar nexos entre nodos vecinos.  Todo está contenido en la estructura geométrica del sistema, lo que lo hace un modelo estupendo para estudiar y jugar con él.

La función de percolación

Se supone que debe de existir una función, denominada función de percolación , que nos informa de la probabilidad de encontrar caminos que conectan los extremos del sistema en función de la probabilidad de que dos nodos vecinos estén o no conectados.

Como hemos deducido antes:

1. Si la probabilidad de crear nexos entre nodos vecinos es muy baja, la probabilidad de encontrar caminos que nos lleven de un extremo a otro del sistema debe de ser nula:  para p’s muy pequeñas.
2. Si la probabilidad de crear nexos entre nodos vecinos es muy alta, la probabilidad de encontrar caminos que nos lleven de un extremo a otro del sistema ha de ser 1, es decir, es seguro que podemos encontrar tales caminos.  para p’s muy altas (muy cercanas a 1).

ATENCIÓN:  Aquí estamos trabajando con dos probabilidades.  p = probabilidad de encontrar un nexo entre dos nodos vecinos.  = probabilidad de encontrar en el sistema un camino que conecte dos extremos del mismo.  No hay que confundirlas.

Sería de esperar que exista un valor crítico de la probabilidad de crear nexos entre nodos vecinos tal que probabilidades    den probabilidades de encontrar caminos entre los extremos del sistema nulas y parar probabilidades $p>p_c$ la probabilidad de encontrar tales caminos aumente hasta la unidad (la certeza de que vamos a tener dichos caminos). Cuando tenemos la posibilidad de encontrar caminos que conectan los extremos del sistema diremos que la percolación es posible o realizable. La forma hipotética de esta función de percolación será por tanto:

Sí, he escrito «hipotética». ¿Por qué?  Pues porque no hay una demostración general de que este sea el caso. Hay resultados interesantes en dos casos:

1. Para redes cuadradas infinitas.  La probabilidad crítica es justamente 0.5.  Probabilidades mayores que esta aseguran que existen caminos que conectan los extremos del sistema.
2. En casos particulares donde se pueden hacer simulaciones por ordenador con grandes números de puntos en la malla y para muchos valores de probabilidades de conexión entre nodos.

Desde el punto de vista matemático determinar la forma de la función de percolación es complicado técnicamente.  Además, determinar la probabilidad crítica también es difícil porque no tenemos a nuestra disposición sistemas infinitos.  En los sistemas finitos la probabilidad crítica depende del tamaño del sistema, con lo que hay que analizar caso por caso (Evidentemente cuanto mayor sea el sistema hay que encontrar caminos más largos para poder conectar los extremos del mismo).

Percolación y Fractales

Hay algunas características interesantes cuando estamos cerca de la probabilidad crítica (nos centramos en resultados para sistemas infinitos).

Cuando tenemos nodos conectados por nexos los podemos agrupar asignando diferentes colores:

Así podemos visualizar si hay percolación o no en un sistema.

Lo que se puede demostrar es que la región de percolación, lo que se llama el cluster de percolación, tiene dimensión fractal. Es decir, su dimensión está comprendida entre 1 y 2. (Para refrescar lo que son los fractales: Cuestión de dimensiones).  Además tenemos que esa imagen es autosimilar, es decir, si aumentamos o disminuimos la imagen nos sigue pareciendo la misma.

Los usos de la percolación

1.-  Control de epidemias:

En las epidemias los nodos somos nosotros y algún contacto con un infectado puede infectarnos a todos. El cluster de infectados puede dominar el sistema y eso sería muy malo. Para controlar la epidemia tenemos que saber cómo se propaga la misma (probabilidad de crear nexos entre nodos vecinos) y cuántos nodos tenemos que aislar para evitar la percolación por todo el sistema.

2.-  Control de incendios:

Cuando se hace una repoblación forestal queremos saber cual es el número máximo de árboles que podemos plantar en un área minimizando el riesgo de propagación de un incendio (percolación) a toda la zona.

Veamos una gráfica que nos da el porcentaje de árboles quemados en función de la densidad de árboles. (Si la densidad es alta el fuego podrá saltar de uno a otro y eso será considerado los nexos entre los árboles que juegan el papel de nodos)

Por eso cuando vemos zonas reforestadas la disposición de los árboles es tan simétrica. Siguen una malla equiespaciada de tal forma que la distancia entre árboles asegura que la propagación de un fuego originado en esa zona sea improbable.

3.-  Campañas de marketing

Algunas compañías quieren propagar su publicidad por una red social. En este caso quieren saber a quiénes de la red social tienen que convencer para que propaguen su producto por toda la red (percolación).

4.-  Seguridad de la red de redes

¿Cuántos nodos tenemos que destruir para hacer caer internet?  Este es un problema de percolación en dos vertientes.  ¿Cuántos servidores tenemos que hacer caer para que internet no llegue a todos los sitios del mundo?  ¿Cómo hemos de distribuir los servidores de forma que internet sobreviva a un ataque a los mismos?

5.-  ¿Cómo se hace un expreso perfecto?

¿Cuánto café tenemos que poner y cuánto tenemos que presionarlo para que el vapor de agua pase por todo el café produciendo un expreso delicioso?

Como veis, los problemas de percolación son interesantes y variados.

Nuestro juego

Mi amigo Ventura y yo hemos jugado un poco con esto de la percolación. Lo que hemos hecho es lo siguiente (tengo que decir que los aspectos teóricos del tema fueron discutidos también con Salvador que, amablemente, nos dejó la realización experimental a nosotros 😉 ) :

a)  Hemos dispuesto una malla de 15×15 nodos.

b)  Hemos pintado todas las conexiones posibles entre nodos vecinos.

Ahora hemos jugado con distintas probabilidades de activar o desactivar un nodo.

Con una moneda. Probabilidad de aparición de un nexo 0.5.  Si el lanzamiento de la moneda resultaba cara dibujábamos una línea verde entre los dos nodos correspondientes para indicar que el nexo estaba activado y podíamos ir de un nexo a otro.  Si el lanzamiento resultaba cruz no hacíamos nada.

El resultado es:

Ahora con un dado.  En este caso activamos el nexo cuando la tirada del dado salía 3 y no lo activábamos con cualquier otro resultado de la tirada. Eso equivale a que la probabilidad de aparición de un nexo sea 1/6.  Los nexos, en esta ocasión, están marcados por el color rosa.

Luego hicimos tiradas del dado en el que todos los resultados salvo el 1 activaban los nexos. Es decir, la probabilidad de crear nexos es de 5/6. Aquí, Ventura y yo nos cansamos ya, porque llevábamos mucho tiempo y porque enseguida se ve que hay percolación por donde mires ;).

Referencias

Percolation phenomena: a broad-brush introduction with some recent applications to porous media, liquid water, and city growth

En este artículo nos cuentan los resultados y algunas cosas muy chulas de la percolación. Hay aplicaciones muy interesantes en ese trabajo.

Percolation notes

Estas son unas lecciones sencillitas sobre percolación. Por si quieres entrar en detalles matemáticos.

A mini course on percolation theory

Por si tienes más ganas de profundizar en los vericuetos matemáticos de la teoría.

Y esto seguro que combinando palabras como percolación, epidemias, reforestación, bolsa, etc, encontraremos mil y una aplicaciones chulas.

Nos seguimos leyendo…