Esta teoría es una catástrofe

Hay nombres demoledores, hay nombres atractivos y hay nombres nefastos para las teorías.  Podríamos hablar del Big Bang o la Relatividad y discutir sobre lo acertado o no de los nombres. Seguro que se generaría un apasionado debate. Pero de lo que me gustaría hablar hoy es de una teoría matemática que ha sufrido a causa de su nombre y a causa del abuso que se ha hecho de ella. Me refiero a la teoría de catástrofes.

Sí, el nombre es ciertamente sugestivo y estoy casi seguro de que ya nos hemos hecho todos una imagen mental de qué es lo que nos va a contar dicha teoría.  Esa fue su desgracia.

Intentaré explicar qué es la teoría de catástrofes y algunos de sus abusos.

René Thom, el hombre que vio catástrofes en las fórmulas

Podríamos decir que el que inició el estudio de la teoría de catástrofes fue René Thom, un matemático francés galardonado con la medalla Fields en 1958 por su contribución esencial a la teoría de cobordismos.  Esta rama de la matemática tiene actualmente gran influencia en la física matemática y sobre todo en la rama conocida como teoría cuántica de campos topológica.

La teoría de catástrofes tiene su origen en dos artículos publicados a finales de los años 60:

A dynamical theory of morphogenesis —  Donde intentó explicar el desarrollo embrionario y la diferenciación celular con unas novedosas, quizás no tan novedosas, técnicas matemáticas.  (Si buscáis — A dynamical theory of morphogenesis — en vuestro buscador os llevaréis la sorpresa de las pocas entradas que hay).

Topology and meaning — Aquí aplicó estas técnicas al campo de la semiótica y el significado.

Estos dos trabajos se concretaron y ampliaron en un libro:

Structural Stability and Morphogenesis — Que es una delicia de lectura sin lugar a dudas.  Quitando todo el intento de aplicar la matemática descrita a los problemas anteriormente indicados.

En castellano podéis encontrar el libro:

Parábolas y Catástrofes  —  Reflexiones del propio Thom sobre sus contribuciones a la matemática, especialmente sobre la teoría de catástrofes. Un libro que recomiendo a todo estudiante de matemáticas o física y a cualquier persona interesada en estos temas.

¿Qué es la teoría de catástrofes?

Esta teoría es bastante dura desde el punto de vista matemático.  Su origen se puede englobar en una derivación de la teoría de singularidades y bifurcaciones de la topología.  Evidentemente no nos vamos a meter en estos vericuetos, intentaré explicar la idea de la teoría de la forma más simple posible.

Si alguno de ustedes siente la necesidad o la curiosidad por saber más de esta teoría no hay referencia mejor — para mi gusto — que esta:

Catastrophe Theory —  Escrito por uno de los más didácticos matemáticos sobre temas complejos, Vladimir I. Arnold.  Todo estudiante de física y matemática debería de leer sus textos, especialmente este — Mathematical Methods of Classical Dynamics –.

Estabilidad o inestabilidad, esa es la cuestión

Estabilidad e inestabilidad son palabras de uso común. Pero en matemáticas o en física tienen un sentido muy preciso.

Si seguimos nuestra intuición diremos que algo es estable cuando vuelve a un estado original que hemos perturbado ligeramente.  Si algo es inestable el estado cambiará de forma drástica por pequeña que sea la perturbación inicial.

En física, tenemos un modo de definir lo que es estable o inestable gracias a la energía de un sistema.  Como sabemos todo sistema tiende a su mínimo de energía.  La energía de un sistema será una función de las características del mismo tales como posiciones, velocidades, etc. Y dicha energía podremos graficarla en unos ejes.  Nos podemos encontrar con diferentes perfiles de energía, con máximos locales, mínimos locales, etc.

Inestabilidad

Supongamos que tenemos un sistema con este perfil de energía:

Si el sistema se encuentra en su máximo de energía cualquier perturbación que le hagamos le hará tender hacia valores cada vez menores de la misma y por lo tanto se alejará de la posición inicial que tenía.

Estabilidad

Si por el contrario tenemos un sistema con este otro perfil de energía:

Tenemos un mínimo de la energía, ese es el estado con menor energía posible.  Si el sistema se encuentra en él y lo perturbamos intentará volver al mínimo, así que tendremos que esa posición es estable para el sistema.

Perfiles más complicados

Ahora nos presentan un sistema con este perfil de energías:

Si seguimos nuestra discusión anterior podemos ver que hay dos puntos interesantes.  Un mínimo, que daría lugar a una posición o configuración de estabilidad del sistema y un máximo que sería una posición o configuración inestable.

Nota técnica:  El potencial representado responde a la fórmula

Vamos a representarlos para tenerlos localizados:

Nota técnica:  Los puntos máximo y mínimo local son respectivamente, y .

Cuando el perfil de energía cambia

Los perfiles de energía de los sistemas tal y como los hemos presentado, en realidad nos referimos a energías potenciales, puede parecer que están dadas de una vez para siempre.  Eso no es lo que suele pasar.  Los sistemas están en interacción con otros sistemas o con el medio que los rodea.  Esas interacciones se traducen en cambios en su energía que pueden cambiar la localización de los estados inestables y estables.

Supongamos que tenemos un potencial que cambia debido a interacciones del sistema con otros agentes.  Eso se puede traducir en que hay cambios de temperaturas, de presiones, o de otras características físicas.

Nota técnica:  En la figura se muestra la evolución del potencial , donde es un parámetro que toma valores de -2 a 2.  En la figura se muestra la evolución del potencial para cambios en el parámetro de 0.2 unidades en cada caso.

Si el perfil de energía del sistema cambia es evidente que los puntos que marcan la estabilidad y la inestabilidad del mismo cambian con él.  En el ejemplo que hemos puesto, hay un punto donde el punto estable y el inestable se identifican, son el mismo punto:

Nota técnica:  Representamos el mismo potencial que antes en función del parámetro que ahora corre desde el valor -2 hasta el valor 0.  Vemos como el punto estable e inestable se acercan en cada paso y se identifican justo cuando el parámetro toma el valor 0.

Si la evolución del perfil de energía continua ya no hay noción de estabilidad o inestabilidad, de hecho todos los puntos se convierten en inestables y tenderán a caer lo máximo posible hacia valores cada vez menores de la energía.  Eso es lo que podemos deducir en la siguiente figura:

Nota técnica:  A partir del valor 0 para el parámetro , para todos los valores positivos hasta 2 no hay puntos estables o inestables en el parámetro.  De hecho podemos considerar que cualquier punto es altamente inestable y que el sistema decaerá hasta valores cada vez más bajos de la energía.

¿Dónde está la catástrofe?

La catástrofe hace referencia a la pérdida de puntos estables del sistema. Para ello tenemos que tener una energía del mismo que evolucione en función de uno o varios parámetros de forma continua y suave pero que a partir de un determinado valor de los mismos el comportamiento del sistema cambie de forma brusca.  A eso se le denomina catástrofe.

En nuestro ejemplo la catástrofe ocurre cuando el sistema adquiere valores del parámetro mayores que cero.

Un ejemplo que solo es un ejemplo

Por favor, no tomen este ejemplo al pie de la letra, solo es una motivación y una indicación de los peligros que puede tener esta teoría si se aplica de forma indebida.

Hoy día se habla mucho del cambio climático y de si es posible cambiarlo o no. Supongamos que el clima está regido por una energía como la anterior.  Las modificaciones de dicha energía, modificaciones del parámetro, dependerán de las concentraciones de gases de efecto invernadero.  Imaginen que dicho parámetro aumenta de forma suave con la concentración de dichos gases.

Mientras el parámetro permita estados estables no pasará nada, habrá aumentos de temperaturas, lluvias con mayor o menor frecuencia en zonas no habituales, etc.  Pero si el parámetro llega a su valor de catástrofe y lo sobrepasa el clima entrará en un estado descontrolado, una verdadera catástrofe.

Bueno, insisto otra vez en que esto solo es un ejemplo, en el clima influyen muchos factores y las cosas no son tan simples como para estar gobernadas por un solo parámetro.  Yo no soy experto en el tema, así que esto solo es un ejemplo y esperemos que siga así.

Modelos más complejos

Todo esto se puede extender a energías que dependan de más parámetros.  En el caso de tenemos dos parámetros en juego, y .  Jugando con los valores que pueden tomar dichos parámetros encontramos que la superficie de energía en este caso (no es una curva) toma la forma (daremos varios puntos de vista de la superficie):

Este tipo de representaciones no es tan fácilmente interpretables como las anteriores.  No pasa nada, los matemáticos nos han enseñado que podemos hacer una interpretación más cómoda si representamos la derivada de esta superficie, es decir, como varía la función al variar las variables de las que depende.  Al representar eso encontramos la figura más famosa y más manipulada de la teoría de catástrofes.

Si estamos en la parte de arriba de la gráfica podemos ir a la parte de abajo, la marcada como estable (Stable, en inglés) de dos formas:

Podemos ir de una forma suave, siguiendo una pendiente tranquila o podemos encontrarnos con un salto en el que el sistema de repente cambia de propiedades, la catástrofe.

En definitiva, eso de catástrofes solo hace referencia a la forma en la que un sistema cambia de características, de forma gradual o de forma repentina y dramática.

Nota técnica:  En termodinámica nos encontramos con este tipo de comportamientos cuando estudiamos los cambios de fase de los sistemas.  Los cambios de fase, por cambios de temperatura, presión, etc, pueden realizarse de forma continua o de forma abrupta.  Esto se ve en la clasificación de las transiciones de fase como de primer orden, con una discontinuidad en la energía libre de Gibbs (catástrofe), o de segundo orden, con una evolución continua de la energía libre de Gibbs.

Usos y abusos

En la década de los 70 cuando apareció el trabajo de Thom los medios llegaron a decir que era una contribución al entendimiento del universo comparable al cálculo infinitesimal de Newton y compañía.  Además dijeron que se entenderían las catástrofes y hubo muchos trabajos aplicando esta teoría, que solo es matemática, a cualquier cosa que sonara a catastrófica.

Hubo gente que se dedicó a decir que con estos métodos se podía entender el paso de una persona considerada un genio a un maniaco depresivo:

(Sacado del libro de Arnold, recomiendo leer la crítica tan ácida que hace al respecto).

También se explica cómo un perro agresivo puede llegar a atacar:

No señalaré culpables, aunque hay uno muy claro en esta historia, pero todo esto son chorradas.

Concluyendo

La teoría de catástrofes es un mal nombre para una teoría que no necesita nombre.  El aparato matemático no es discutible, aunque se podría en algunos contextos, está fundamentada en la topología y en la teoría de grupos.  Lo malo es que se abusa de la teoría únicamente a causa de su nombre.  Basta buscar por internet para encontrar muchos ejemplos, la desgracia es que es difícil discernir entre un buen trabajo que usa estas técnicas y la morralla que abusa del nombre.

Un ejemplo claro de abuso es el que yo he cometido anteriormente para asustar a la gente con una conclusión sobre el cambio climático basada en una teoría que se llama de catástrofes.

Tengan cuidado con el nombre que el ponen a sus teorías, un mal nombre podría ser catastrófico.

Nos seguimos leyendo…