La conservación de la energía en Mecánica Cuántica (o no). Solución

No hay nada como tomar distancia de un problema que no puedes solucionar para tener un «momento Eureka». En mi caso esos momentos de inspiración repentina suelen venir o fregando los platos o volando en avión. Supongo que todo se basa en dejar de pensar de forma consciente en el problema y que el subconsciente tome las riendas y encaje las piezas.

Hace algunos meses publiqué en este blog una entrada titulada «La conservación de la energía en Mecánica Cuántica (o no)» en la que planteaba mi (nuestra) sorpresa al no saber explicar en términos de conservación de la energía un fenómeno Mecánico Cuántico de interacción láser-materia. Tras un reciente viaje a Suecia en el avión se me ocurrió la solución. La realidad es tozuda y la energía se conserva en el proceso, aunque hay que tener mucho cuidado a la hora de interpretar lo que está sucediendo. Vamos a ello.

Supongamos un sistema cualquiera de tres niveles en el que un láser acopla el estado fundamental con el primer estado excitado (láser rojo, láser Pump), y otro el primer estado excitado con el segundo estado excitado (láser azul, láser Stokes). Vamos a considerar ambos láseres desintonizados de las frecuencias de resonancias respectivas por Δi. Ωi son las frecuencias de Rabi, es decir la energía de interacción dividida por  .

Para simplificar la solución es importante asumir que el láser de prueba, en nuestro caso el láser que acopla el estado con el estado no perturba de forma significativa el sistema. En otras palabras podemos asumir que estamos en el regimen de «weak measurements».

Es posible demostrar que aunque la desintonización del láser que acopla el estado y el estado sea mayor que el ancho de banda del pulso láser ( siendo la duración temporal del pulso Pump) es posible transferir población  de forma transitoria del estado fundamental al primer estado excitado. En otras palabras, aunque la frecuencia de resonancia de la transición no esté contenida en las frecuencias del pulso láser (recordemos que para un pulso Gaussiano el ancho de banda y la duración temporal están relacionadas por ), es posible excitar un electrón de forma transitoria.  A este fenómeno mecánico cuántico se le conoce como CPR (Coherent Population Return) es una consecuencia de la naturaleza coherente de la radiación láser.

En esta situación, se podría pensar, y así lo hacía yo, que si el láser de Stokes  esta en resonancia entre los estados y es posible transferir población del estado fundamental al último estado excitado siendo la energía absorbida por el sistema menor que la diferencia de energía entre éstos.

Sin embargo esta descripción no es correcta. Y este el el quid de la cuestión, y la fuente de todos nuestros quebraderos de cabeza. Al interaccionar el láser de Pump con el sistema, los estados y se tienen que sustituir por unos nuevos estados que tienen en cuenta la interacción láser-materia . El estado casi no se perturba porque hemos asumido en el régimen de «weak measurement» siendo el láser de Stokes una perturbación muy pequeña. Es decir, de una forma técnica, es necesario diagonalizar el hamiltoniano que tiene en cuenta la interacción y trabajar en la base de estados «dressed» para tener una imagen clara de la situación. Si llevamos a cabo estos cálculos, el sistema se transforma en:

Donde

La situación se puede simplificar si tenemos en cuenta que durante el proceso de CPR solo se puebla el estado «dressed» .

Ahora la situación es mucho más clara. Para pasar población al estado el detuning del láser de Stokes no puede ser como se representaba en una figura anterior ya que el estado «no existe». En su lugar tenemos que tener en cuenta el estado , y para transferir población desde este estado al estado es necesario que

donde la línea punteada es simplemente una referencia para tener en cuenta el origen de energía según la definición de . Expresándolo con palabras: cuando el pulso de Pump interacciona con el sistema, los estados disminuyen su energía de tal forma que es necesario aportar más energía al sistema para conseguir una transferencia al estado final .

Ahora todo queda mucho más claro. Para tener una imagen adecuada del proceso es necesario trabajar con aquellos estados que tienen en cuenta la interacción con la luz, y los estados del sistema «bare» (desnudo=sin la radiación). Pensándolo ahora con perspectiva, este fenómeno es muy similar a otros fenómenos de interacción coherente como Autler-Townes splitting o Electromagnetic Induced Transparency y de hecho la descripción que he hecho en este post es muy similar a la de estos procesos. Supongo que lo difícil es darse cuenta y hacer la analogía adecuada.

Y hasta aquí la duda con la Conservación de la Energía en Mecánica Cuántica. Al menos tras muchas discusiones hemos podido encontrar la respuesta a esta paradoja aparente. Moraleja: si no encuentras la solución de un problema cambia de base. Suele ayudar. 🙂

PD: Si tenéis alguna duda o queréis más información estaré encantado de responder en los comentarios.