La que se avecina. Las ondas gravitacionales 1

Pues todo parece que LIGO anunciará el jueves 11 de febrero de 2016 que han encontrado una señal de ondas gravitacionales.  Para más detalles aquí hay una entrada al respecto del amigo Francis:

Advanced LIGO anunciará en rueda de prensa sus primeros resultados sobre ondas gravitacionales

Así que preparándonos para lo que se avecina nos pondremos más o menos al día de qué es eso de las ondas gravitacionales y el porqué todo el mundo está tan contento con la posibilidad de la noticia de su primera detección directa.

Haremos dos entradas sobre el tema. En esta primera entrada vamos a tratar de entender el problema real, que no es moco de pavo. En principio tendríamos que controlar un par de detalles matemáticos que, realmente espero, no solemos tener frescos si no somos especialistas en el tema. Pero creo que es bonito poder vislumbrar dónde está el problema.  Luego hablaremos del significado de las ondas gravitacionales y su detección.  Introduciremos varios enlaces a entradas que han tratado estos temas en el tiempo de vida del blog.

Rasca y Gana:  Las ecuaciones diferenciales

Difícil será que no hayáis jugado a uno de esos juegos de -rasca y gana-.  Sí, esos que hay que rascar con una moneda, una uña en su defecto, para saber si te ha tocado premio o no.  Generalmente lo que uno obtiene es un frustrante – Siga jugando-. Claro, siga gastando dinero porque es divertido rascar esta cosa gris y tal, eso es como explotar las bombas de aire en esas cosas de plástico con burbujas, un vicio.

Pero el caso es que eso nos servirá para introducir el concepto de ecuación diferencial.  (Aviso para especialistas y tiquismiquis, la falta de rigor en esta sección no es solo fortuita sino que es buscada con ahínco. Dicho queda).   Si nos ponen esta ecuación:

Tenemos claro que la incógnita es la y queremos saber su valor.  Este caso es lo suficientemente simple como para saber que , que esa es la solución a la ecuación.  Lo interesante es que aquí hay poco que rascar, la solución sale directa aplicando esos métodos que nos enseñaban en el colegio o pensando un poco, tú eliges.

Casos más complicados se pueden dar en situaciones como esta:

En esta ecuación la cosa se pone un poco más fea, pero no mucho. El caso interesante es que la incógnita aparece nítidamente ante nosotros, es la de nuevo.  Podéis comprobar que si se resuelve la ecuación, es decir, el lado de la izquierda y de la derecha de la igualdad valen lo mismo.  Eso es resolver la ecuación esa.  Decimos que es una solución a la ecuación.  En ocasiones, una misma ecuación puede tener varias soluciones, pero no es algo que nos interese ahora mismo. (Si sientes curiosidad, la ecuación anterior también tiene por solución , es decir tiene dos soluciones).

Las ecuaciones que hemos presentado son interesantes pero son simplonas.  Hay casos más interesantes para la física.  Son casos en los que la incógnita no es un número sino una función que representa una magnitud física y en la que dicha incógnita no aparece de forma clara en la ecuación sino escondida a través de una derivada.  Las derivadas son objetos que nos dicen como cambian una magnitud en función del cambio producido por otra magnitud de la que dependen.  Quizás no haya quedado claro del todo eso.  Pero piensa en lo siguiente:

1.-  Tenemos un cuerpo que se está moviendo.

2.-  En cada instante el cuerpo tendrá una posición que vendrá determinada por el punto que ocupe en el espacio en un instante de tiempo dado.

3.-  Así tenemos que la posición del móvil es una función del tiempo .

4.-  La velocidad del móvil será la medida de como varía la posición, representado por , cuando varía el tiempo (que es la variable de la que depende), representado por $dt$.

Se dice que la velocidad del cuerpo es la derivada de la posición respecto al tiempo. Pero vamos, que solo es saber cómo varía la posición cuando variamos la variable de la que depende, en este caso el tiempo.

Ahora el problema puede ser que nos den la velocidad y nos pidan conocer la posición en cada instante.  Por ejemplo que nos digan:

¿Dónde está ahí la posición del móvil?  Buena pregunta, pues aquí es donde hay que jugar al rasca y gana.  Nosotros queremos saber quién es , pero la incógnita está escondida.  La incógnita, la función está detrás de un rasca, la derivada.

Lo que hay que conseguir es rascar la derivada y ver qué función es la .  El término rascar aquí se puede traducir en un verdadero infierno en determinadas ocasiones.  Estas ecuaciones, por lo general, no son ni mucho menos fáciles, (bueno, la que he puesto ahí sí lo es, pero es que el ejemplo es mío y pongo el que quiero).

La cosa se puede complicar un poco más, pensemos que en vez de darnos la velocidad nos dan la aceleración y nos piden como solución la posición en función del tiempo.  La aceleración no es más que la forma en la que varía la velocidad cuando varía el tiempo, es decir, cómo varía la velocidad por unidad de tiempo.  Como eso ya lo hemos leído antes no nos sorprenderá que escribamos:

Pero un momento, la velocidad, a su vez, es la variación de la posición respecto al tiempo, es decir:

Eso quiere decir que si nos dan la aceleración y nos piden la posición en función del tiempo hemos de rascar dos capas de derivadas:

En este caso tenemos que rascar dos veces para saber qué función nos da la función al derivarla dos veces respecto al tiempo.

La cosa se puede poner mucho más desagradable si estamos interesados en encontrar una cosa como .  Eso es una magnitud física que depende no solo del tiempo sino de las coordenadas espaciales.  En este caso uno puede estudiar como varía dicha magnitud respecto a cambios en la coordenada únicamente, o respecto a cambios de la coordenada únicamente, etc.  Es decir, podemos hacer derivadas respecto a cada una de las coordenadas independientemente, esas son las conocidas como derivadas parciales.  Se denominan parciales porque algo que depende de solo lo derivamos respecto a una de sus variables ignorando todas las demás.  Así podemos definir:

Esa es la derivada parcial respecto a variaciones en la coordenada x.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una estufa en la esquina de una habitación cerrada, la encendemos y nos preguntan cual será la temperatura de cada punto de la habitación en cada instante de tiempo.  Guau!  ese es un bonito y formidable problema.  Lo primero que haremos será decir que la temperatura será una función tanto de la posición como del tiempo, es decir, será una función de y que la habitación inicialmente estará a una temperatura ambiente e irá subiendo la temperatura desde la estufa hasta el otro extremo.  Seguro que encontramos un perfil de temperaturas, etc.   Lo que nos preguntan es y tan solo nos dicen como varía la temperatura cuando variamos dos veces las coordenadas espaciales, es decir, segundas derivadas parciales, y la variación de la temperatura cuando varía el tiempo:

Que visto como un juego de rasca y gana tenemos:

Y esto no es trivial, aunque es muy bello. Rascar de ahí la temperatura no es nada fácil, aunque se ha conseguido, eso es una ecuación, o se parece mucho, muy famosa que dio lugar a toda una rama de la matemática, el análisis de Fourier.  La cuestión es que las ecuaciones en derivadas parciales no se dejan rascar fácilmente, son bastante tercas.

Ondas electromagnéticas

Estoy seguro que si estás por estas páginas alguna vez habrás leído, escuchado o visto, eso de que existen ondas electromagnéticas. Pero, ¿qué significa eso?

Bien, empecemos recordando al bueno de Maxwell.  Este señor tuvo a bien recuperar y unificar todas las ecuaciones que habían sido definidas por muchos científicos para los distintos fenómenos que involucraban a cargas eléctricas, corrientes, campos eléctricos y campos magnéticos.

Repasemos eso del electromagnetismo brevemente.

Las cargas eléctricas generan un campo eléctrico

Pues eso, que si tenemos cargas eléctricas dotan al espacio de una característica denominada campo eléctrico.  Este campo eléctrico es el responsable de que otra carga eléctrica separada de las que generan el campo sienta su presencia, bien repulsión o atracción.  El campo eléctrico por lo tanto será una magnitud que dependa del punto del espacio, las coordenadas y puede que varíe en el tiempo, así que también será una función de .

La visión que tendremos será:

Y eso viene dado por una ecuación del tipo:

Sabiendo como están distribuidas las cargas por el espacio podemos deducir tres componentes del campo eléctrico que es un vector .

Eso se traduce en una notación más simplificada:

No hay cargas magnéticas, no hay monopolos magnéticos

La segunda ecuación nos dice que, al contrario que pasa con el campo eléctrico, el campo magnético no tiene cargas asociadas, no hay monopolos magnéticos.  Si representamos el campo magnético por entonces, mirando la ecuación anterior podemos deducir que tendremos una relación:

Que podremos escribir como:

O en forma compacta:

Las corrientes eléctricas generan un campo magnético

Esta es la base de la inducción electromagnética.  Se encontró que una corriente eléctrica generaba un campo magnético y que campos magnéticos variables a través de circuitos generaban corrientes eléctricas.  Una curiosa y útil relación.

Eso se encuadra en esta ecuación:

Un campo magnético variable con el tiempo genera campo eléctrico y corrientes

El problema

Sí hemos prestado atención a la sección anterior sabremos responder a esta pregunta:

Dadas unas cargas eléctricas y unas corrientes, ¿cómo son los campos eléctricos y magnéticos generados?

Pues a poco que lo pensemos tendremos que determinar que esa respuesta solo la obtendremos si rascamos las derivadas parciales respecto a cada una de las coordenadas espaciales y del tiempo del campo eléctrico y el campo magnético.  Pero es guay que solo haya que rascar una sola vez en cada una de esas ecuaciones.  Es decir, solo hay una derivada por variable.

La sorpresa

La sorpresa es la siguiente.  Si hemos seguido todo hasta aquí podemos pensar en la siguiente cadena de razonamiento:

1.-  Tenemos unas cargas y unas corrientes que generan un campo eléctrico y magnético que son variables en el tiempo.  Centrémonos en el campo eléctrico que varía en el tiempo.  Es decir, es un campo que toma valores en cada pero cuyo valor varía en cada instante de tiempo.

2.-  Si tenemos un campo eléctrico variable en el tiempo, se creará porque así lo dicen las ecuaciones de Maxwell un campo magnético variable en el tiempo.

3.-  Pero ese campo magnético variable en el tiempo a su vez creará un campo eléctrico variable en el tiempo.

4.-  Pero ese campo eléctrico variable en el tiempo creará un campo magnético variable en el tiempo

5.- …

Resumiendo, que si produzco una perturbación en el campo eléctrico(magnético) que varíe en el tiempo en los puntos del espacio se producirá una propagación de esa perturbación.  Acabamos de describir la formación de una onda electromagnética.

Lo más curioso de todo es que combinando las ecuaciones de Maxwell en el caso en el que no hay cargas en la región de interés bajo estudio pero que se han producido campos eléctricos y magnéticos variables en el tiempo en alguna región se obtiene una ecuación del siguiente tipo:

Esas ecuaciones son vectoriales, es decir, son válidas para la componentes ,  y  de los campos magnéticos y eléctricos.  Si tomamos la primera y miramos la componente  veríamos:

 

Y sí, hay que rascar dos veces para obtener , análogamente para y .  Pero esta sabemos resolverla y, como no podía ser de otra manera, nos da una función que se propaga por el espacio aumentando y disiminuyendo su valor en cada punto del espacio en cada instante. Una onda, vamos.

Lo mismo pasa para el resto de componentes del campo eléctrico y el campo magnético.

La Relatividad General

Si quieres una revisión somera de la relatividad general que hemos publicado en este blog pincha donde dice aquí:  AQUÍ.

La Relatividad General nos ha enseñado que la gravedad no es más que la manifestación de la geometría del espaciotiempo interactuando con los campos físicos.   Es decir, si tenemos electrones, quarks, neutrinos, haciendo sus cosas por ahí, intercambiando energías, fluyendo de un sitio a otro, el espaciotiempo adapta su geometría a esas distribuciones y flujos de energía.  Eso es lo que condensan las ecuaciones de Einstein:

=  Ese objeto esconde los secretos de la geometría del espaciotiempo.  Se construye a través de lo que nos permite medir distancias, ángulos, áreas, tiempos, etc, la métrica:  .  Con la es con lo que podemos medir las características geométricas espaciotemporales comentadas.

=  Es un objeto matemático que depende de la distribución de las energías presentes en el espaciotiempo y de sus flujos, es decir, de como se propagan por el espaciotiempo.

¿Y las ondas gravitacionales?

¿Podría ocurrir que como en el caso del electromagnetismo el espaciotiempo sufriera procesos de propagación ondulatoria? Es decir, ¿podemos hacer que la métrica del espaciotiempo $g_{ab}$ tenga una ecuación de ondas como el campo eléctrico y el campo magnético?

En principio la respuesta es monumentalmente complicada. La relatividad general nos presenta 10 ecuaciones en derivadas parciales que dependen unas de otras.  Por ejemplo, supongamos que queremos estudiar la gravedad, la geometría del espaciotiempo, en un sitio donde no hay energías ni flujos de energías.  En esas condiciones .  Por lo tanto tenemos que resolver las ecuaciones:

Y de ahí obtener la métrica .

¿Pero dónde está la métrica ahí escondida?

Fijémonos en la siguiente secuencia de imágenes:

Vamos a destripar a para que muestre como esconde a :

Bueno, no está mal, ya tenemos una métrica por ahí suelta.  Pero podemos seguir más porque hay unas R que seguro que tienen algo escondido:

Ya van saliendo más métricas, pero aparecen unas que tienen mala pinta.  Y sí, las ‘s son:

Es decir que dentro de la hay derivadas de la métrica. Productos de derivadas, en los términos donde se multiplican dos  . Y derivadas segundas de la métrica en función de las coordenadas, en los términos en los que las tienen cuatro índices, el último, el separado por una coma, indica que hay que derivar.

Os podéis imaginar que de ahí salen ecuaciones muy feas, con muchas rascas a las que enfrentarse.  De hecho, no conocemos muchas soluciones de esas ecuaciones, por ejemplo no conocemos la ecuación correspondiente a dos cuerpos atrayéndose uno al otro y orbitando conjuntamente.  Tenemos aproximaciones pero no soluciones exactas.

Por la mala pinta que tienen esas ecuaciones casi que podríamos afirmar que no existen ondas gravitacionales, para que así fuera se tendría que tener una estructura tan benigna como las ecuaciones del electromagnetismo.  Cosas así llevaron a Einstein a pensar que no existirían tales ondas del espaciotiempo. Aunque, tras un giro inesperado de la historia, fue el que junto a un colaborador, Rosen, acabó proponiendo su existencia.  Esa es una historia fascinante que puedes encontrar aquí: El mal genio del genio.

Y sin embargo, se ondula

Podemos decir que las ondas gravitacionales son una predicción de la relatividad general.  ¿Por qué?  Bueno, porque se puede demostrar que si tenemos sistemas como dos agujeros negros rotando uno alrededor del otro se producen perturbaciones en el espaciotiempo que se propagan como ondas.  Literalmente ondulaciones del espaciotiempo.  En esas situaciones, si nos ponemos lejos de la fuente emisora y estudiamos la métrica, lo mismo que hicimos con el caso electromagnético, resulta algo sorprendente.

Lo que encontramos es que al situarnos en una región lejana de la perturbación, la relatividad general se simplifica, se acerca a la teoría de Newton.  Evidentemente, la Relatividad General se ha de convertir en la gravedad de Newton para campos gravitatorios débiles.

¿Es eso una ventaja?  La respuesta es, SÍ.

En ese caso se puede demostrar que la métrica tiene una ecuación de ondas.  Es decir, se predice que la geometría del espaciotiempo se propaga ondulatoriamente.

Y eso andamos buscando.

Como habíamos comentado en esta entrega nos hemos metido en harina sobre el transfondo técnico del asunto.  Quizás no sea necesario, pero es interesante y no está de más conocerlo.

Nos seguimos leyendo…

Y cuidado con las olas gravitacionales grandes